材料力學課件

第1章緒論本章主要內容§1-1材料力學的任務§1-2變形固體的基本假設§1-3外力、內力及應力的概念§1-4位移、變形及應變的概念§1-5構件的分類桿件的基本變形橋梁結構§1-1材料力學的任務四、工程力學的典型應用案例木牛流馬工業(yè)機器人并聯(lián)機床鳥巢國家大劇院蘇通大橋鳥巢國家大劇院航空航天比薩斜塔四川彩虹橋坍塌一、對構件的三項基本要求具有足夠的強度

構件在外載作用下，抵抗破壞的能力。例如儲氣罐不應爆破。(破壞——斷裂或變形過量不能恢復）具有足夠的剛度

構件在外載作用下，抵抗可恢復變形的能力。例如機床主軸不應變形過大，否則影響加工精度。滿足穩(wěn)定性要求

構件在某種外載作用下，保持其原有平衡狀態(tài)的能力。例如柱子不能彎等。

上面提到了術語1、構件ComponentorMember：組成機械的零件或構筑物的桿件統(tǒng)稱為構件。2、結構Structure：由構件組成的體系，工程結構是工程實際中采用的結構。3、載荷Load：構件和結構承受的負載或荷重。載荷有——內載荷與外載荷4、變形Deformation：在載荷的作用下，構件的形狀及尺寸發(fā)生變化稱為變形。二、材料力學的任務1）研究材料的力學性能

2）研究構件的強度、剛度和穩(wěn)定性等

3）合理解決安全與經濟之間的矛盾

構件的強度、剛度和穩(wěn)定性不僅與構件的形狀有關，而且與所用材料的力學性能有關，因此在進行理論分析的基礎上，實驗研究是完成材料力學的任務所必需的途徑和手段。三、材料力學的作用——

承前啟后的階段性

1.后續(xù)的力學（其它的變形體力學）學好材料力學對學習其他變形體力學的奠基作用結構力學，彈性力學，塑性力學，斷裂力學，流體力學

2.后續(xù)的專業(yè)課程建筑結構機械設計結構設計原理3.有助于學習其它工程：土木、機械、航空、航天、交通、運輸、材料、生物、工程、儀表等4.今后工程工作中直接受益§1-2變形固體的基本假設連續(xù)性假設：認為整個物體體積內毫無空隙地充滿物質

在外力作用下，一切固體都將發(fā)生變形，故稱為變形固體，而構件一般均由固體材料制成，故構件一般都是變形固體。均勻性假設：認為物體內的任何部分，其力學性能相同各向同性假設：認為在物體內各個不同方向的力學性能相同小變形與線彈性范圍ABCFδ1δ2

δ遠小于構件的最小尺寸，所以通過節(jié)點平衡求各桿內力時，把支架的變形略去不計。計算得到很大的簡化?！?-3外力及其分類外力：按外力作用的方式體積力:是連續(xù)分布于物體內部各點的力如物體的自重和慣性力面積力:如油缸內壁的壓力，水壩受到的水壓力等均為分布力若外力作用面積遠小于物體表面的尺寸，可作為作用于一點的集中力。如火車輪對鋼軌的壓力等按時間分布力：集中力：靜載：動載：緩慢加載（a≈0）快速加載（a≠0），或沖擊加載

外力作用引起構件內部的附加相互作用力。求內力的方法－－截面法1、切2、留3、代4、平內力§1-4內力、截面法及應力的概念FSMFFaa一點的應力：當面積趨于零時，平均應力的大小和方向都將趨于一定極限，得到應力的國際單位為Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）1MPa=106Pa1GPa=109Pa應力總量P可以分解成:垂直于截面的分量σ－－正應力平行于截面的分量τ－－切應力應力§1-5變形及應變F位移線位移角位移變形線變形角變形應變線（正）應變角（切）應變AA’C’D’E’CDE構件的分類：桿件、板殼、塊體桿件：直桿：折桿：曲桿：等截面直桿、變截面直桿等截面折桿、變截面折桿*等截面曲桿、變截面曲桿*拉壓變形拉（壓）、剪切、扭轉、彎曲剪切變形桿件的基本變形：§1-6構件的分類桿件的基本變形扭轉變形彎曲變形本章小結一、知識點1、了解材料力學的任務，基本假設。2、了解外力、內力、應力等基本概念。3、掌握截面法求內力的方法。4、了解基本變形的分類及對應實例。二、重點內容1、掌握截面法求內力的方法。第2章軸向拉伸與壓縮§2–1引言§2–2用截面法計算拉(壓)桿的內力§2–3拉壓桿的強度條件§2-4拉壓桿的變形胡克定律§2-5材料拉伸和壓縮時的力學性能§2-6溫度和時間對材料力學性能的影響§2-7拉伸、壓縮超靜定問題本章主要內容§2–1引言軸向拉壓的受力特點：外力的合力作用線與桿的軸線重合。一、概念軸向拉壓的變形特點：軸向拉伸：桿的變形是軸向伸長，橫向縮短。軸向壓縮：桿的變形是軸向縮短，橫向變粗。軸向壓縮，對應的外力稱為壓力。軸向拉伸，對應的外力稱為拉力。力學模型如圖二、工程實例一、內力

指由外力作用所引起的、物體內相鄰部分之間分布內力系的合成（附加內力）?！?–2用截面法計算拉(壓)桿的內力二、截面法·

軸力

內力的計算是分析構件強度、剛度、穩(wěn)定性等問題的基礎。求內力的一般方法是截面法。1.截面法的基本步驟：①截開：在所求內力處，假想地用截面將桿件切開。②代替：任取一部分，棄去部分對留下部分的作用，以內力（力或力偶）代替。③平衡：對留下的部分建立平衡方程，求未知內力。（此時截開面上的內力對所留部分而言是外力）2.軸力——軸向拉壓桿的內力，用N表示。例如：截面法求N。

APP簡圖APPPAN截開：代替：平衡：①反映出軸力與截面位置的變化關系，較直觀；②反映出最大軸力的數值及其所在面的位置，即危險截面位置，為強度計算提供依據。三、軸力圖—N(x)的圖象表示。3.軸力的正負規(guī)定:

N與外法線同向,為正軸力(拉力)N與外法線反向,為負軸力(壓力)N>0NNN<0NNNxP+意義[例1]圖示桿的A、B、C、D點分別作用著大小為5P、8P、4P、

P

的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。解：求OA段內力N1：設置截面如圖ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN1同理，求得AB、BC、CD段內力分別為：

N2=–3P

N3=5PN4=P軸力圖如右圖BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP++–軸力(圖)的簡便求法：自左向右:軸力圖的特點：突變值=集中載荷遇到向左的P

，軸力N增量為正；遇到向右的P

，軸力N增量為負。5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN解：x坐標向右為正，坐標原點在自由端。取左側x段為對象，內力N(x)為：qq

LxO[例2]圖示桿長為L，受分布力q=kx

作用，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。Lq(x)Nxxq(x)NxO–四、應力的概念問題提出：PPPP1.內力大小不能衡量構件強度的大小。2.強度：①內力在截面分布集度

應力；

②材料承受荷載的能力。1.定義：由外力引起的（構件某截面上一點處）內力集度。

工程構件，大多數情形下，內力并非均勻分布，集度的定義不僅準確而且重要，因為“破壞”或“失效”往往從內力集度最大處開始。

P

AM①平均應力(

A上平均內力集度)②全應力（總應力）：(M點內力集度)2.應力的表示：③全應力分解為：p

M

垂直于截面的應力稱為“正應力”(NormalStress)；位于截面內的應力稱為“剪應力”(ShearStress)。

應力單位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m2變形前1.變形規(guī)律試驗及平面假設：平面假設：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。（直桿在軸向拉壓時）

abcd受載變形后：各縱向纖維變形相同。PPd′a′c′b′五、拉（壓）桿橫截面上的應力均勻材料、均勻變形，內力當然均勻分布，即各點應力相同。2.拉伸應力：sNP軸力引起的正應力——

：在橫截面上均布。危險截面：內力最大的面，截面尺寸最小的面。危險點：應力最大的點。3.危險截面及最大工作應力：拉正壓負.5.應力集中（StressConcentration）：

在截面尺寸突變處，應力急劇變大。

4.Saint-Venant原理：離開載荷作用點一定距離，應力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。變形示意圖：(紅色實線為變形前的線，紅色虛線為紅色實線變形后的形狀。)應力分布示意圖：二、安全系數n：靜載:n=1.25~2.5一、極限應力sjx：指材料破壞時的應力.三、許用應力：

動載:n=2~3.5or3~9(危險性大)桿件能安全工作的應力最大值

采用安全系數原因:1.極限應力的差異. 2.橫截面尺寸的差異. 3.載荷估計不準. 4.應力計算的近似性. 5.構件與工程的重要性. 6.減輕設備自重的要求.n↑安全?n↓經濟

§2–3拉（壓）桿的強度條件其中

max--（危險點的）最大工作應力②設計截面尺寸：依強度準則可進行三種強度計算：①校核強度：③確定許可載荷：

四、強度條件(拉壓桿)：

五、三類強度問題：

[例3]已知一圓桿受拉力P=25kN，直徑d=14mm，許用應力

[

]=170MPa，試校核此桿是否滿足強度要求。解：①軸力：N=P

=25kN②應力：③強度校核：④結論：此桿滿足強度要求，能夠正常工作。[例4]已知三鉸屋架如圖，承受豎向均布載荷，載荷的分布集度為：q=4.2kN/m，屋架中的鋼拉桿直徑d=16mm，許用應力[

]=170MPa。試校核剛拉桿的強度。鋼拉桿4.2mq8.5m①整體平衡求支反力解：鋼拉桿8.5mq4.2mRARBHA③應力：④強度校核與結論：

此桿滿足強度要求，是安全的。②局部平衡求軸力：

qRAHARCHCN[例5]簡易起重機構如圖，AC為剛性梁，吊車與吊起重物總重為P，為使BD桿最輕，角

應為何值？已知BD

桿的許用應力為[

]。分析：xLhqPABCD

BD桿面積A：解：

BD桿內力N(q)：取AC為研究對象，如圖YAXAqNBxLPABCBD桿軸力最大值:YAXAqNBxLPABC③求VBD

的最小值：拉(壓)桿斜截面上的應力設有一等直桿受拉力P作用。求：斜截面k-k上的應力。PPkka①采用截面法切開,左部平衡由平衡方程：Pa=P則：Aa：斜截面面積；Pa：斜截面上內力。由幾何關系：代入上式，得：其中s0為a=0面,即橫截面上的正應力.PkkaPa②仿照證明橫截面上正應力均布也可證斜截面……PPkka斜截面上全應力：PkkaPa③pa分解為：pa=反映：通過構件上一點不同截面上應力變化情況。當

=90時，當

=0,90時，當

=0時，(橫截面上存在最大正應力)當

=±45時，(45°斜截面上剪應力達到最大)tasaa2、單元體：

單元體—構件內的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。

單元體的性質—a、平行面上，應力均布；

b、平行面上，應力相等。3、拉壓桿內一點M

的應力單元體:

1.一點的應力狀態(tài)：過一點有無數的截面，這一點的各個截面上的應力情況，稱為這點的應力狀態(tài)。補充：

sPMssss取分離體如圖3，a逆時針為正；ta繞研究對象順時針轉為正；由分離體平衡得：4、拉壓桿斜截面上的應力ssss

tasaxs0圖3例6直徑為d=1cm桿受拉力P=10kN的作用，試求最大剪應力，并求與橫截面夾角30°的斜截面上的正應力和剪應力。解：拉壓桿斜截面上的應力，直接由公式求之：例7圖示拉桿沿mn由兩部分膠合而成,受力P，設膠合面的許用拉應力為[

]=100MPa；許用剪應力為[

]=50MPa，并設桿的強度由膠合面控制,桿的橫截面積為A=4cm2，試問:為使桿承受最大拉力,

角值應為多大?(規(guī)定:

在0~60度之間)。聯(lián)立(1)、(2)得：PPmna解：Pa6030B(1)、(2)式的曲線如圖(2)，顯然，B點左側由正應力控制桿的強度，B點右側由剪應力控制桿的強度，當a=60°時，由(2)式得解(1)、(2)曲線交點處：討論：若Pa6030B1

1、桿的縱向總變形：

3、縱向線應變：2、線應變：單位長度的變形量。一、拉壓桿的變形及應變§2－4拉壓桿的變形胡克定律abcdLPPd′a′c′b′L15、橫向線應變：4、桿的橫向變形：二、胡克定律(彈性范圍內)

※“EA”稱為桿的抗拉壓剛度。

3、泊松比（或橫向變形系數）

1、拉壓桿的胡克定律

2、單向應力狀態(tài)下的胡克定律E—拉壓彈性模量

C'1、怎樣畫小變形放大圖？

變形圖嚴格畫法，圖中弧線；

求各桿的變形量△Li

，如圖；

變形圖近似畫法，圖中弧之切線。例8小變形放大圖與位移的求法。ABCL1L2PC"2、寫出圖2中B點位移與兩桿變形間的關系ABCL1L2B'解：變形圖如圖2，B點位移至B'點，由圖知：例9設橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為76.36mm2的鋼索繞過無摩擦的定滑輪。設P=20kN，試求剛索的應力和C點的垂直位移。設剛索的E=177GPa。解：方法1：小變形放大圖法

1）求鋼索內力：以ABCD為對象2)鋼索的應力和伸長分別為：800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXACPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）變形圖如左圖,C點的垂直位移為：§2－5材料拉伸和壓縮時的力學性能一、試驗條件及試驗儀器1、試驗條件：常溫(20℃)；靜載（極其緩慢地加載）；

2、試驗對象：標準試件。dh力學性能：材料在外力作用下,在強度與變形方面表現(xiàn)出的特性。3、試驗設備：萬能試驗機；變形儀（常用引伸儀）。二、低碳鋼試件的拉伸圖(P--

L圖)三、低碳鋼試件的應力--應變曲線(

--

圖)(二)低碳鋼拉伸的屈服(流動）階段(es

段)es--屈服段:

s---屈服極限滑移線：塑性材料的失效應力:

s

。２、卸載定律：１、

ｂ---強度極限３、冷作硬化：４、冷拉時效：(三)、低碳鋼拉伸的強化階段(ｓｂ段)

1、延伸率:

2、截面收縮率：

3、脆性、塑性及相對性(四)、低碳鋼拉伸的頸縮（斷裂）階段(bf段)

四、無明顯屈服現(xiàn)象的塑性材料

0.2s0.2名義屈服應力:

0.2

，即此類材料的失效應力。五、鑄鐵拉伸時的機械性能

ｂL---鑄鐵拉伸強度極限（失效應力）六、材料壓縮時的機械性能

ｂy---鑄鐵壓縮強度極限；

ｂy

（4—6）

ｂL

七、安全系數、容許應力、極限應力n1、許用應力：2、極限應力：3、安全系數：解：變形量可能已超出了“線彈性”范圍，故，不可再應用“彈性定律”。應如下計算：例10銅絲直徑d=2mm，長L=500mm，材料的拉伸曲線如圖所示。如欲使銅絲的伸長為30mm，則大約需加多大的力P？由拉伸圖知：s(MPa)e(%)一、溫度對材料力學性能的影響（短期，靜載下）§2–6溫度和時間對材料力學性能的影響

但在260°以前隨溫度的升高，

b反而增大，同時

、

卻減小。但象低碳鋼這種在260°以前的特征，并非所有的鋼材都具有。總趨勢:溫度升高,E、

S

、

b下降；

、

增大。0100200300400500216177137700600500400300200100100908070605040302010Ed溫度對鉻錳合金力學性能的影響200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800d80706050403020100

P(kN)------0510153020100

Dl(mm)---0510153020100

P(kN)

Dl(mm)溫度降低，塑性降低，強度極限提高1、蠕變：

在高溫和長期靜載作用下，即使構件上的應力不變，塑性變形卻隨時間而緩慢增加，直至破壞。這種現(xiàn)象稱為蠕變。注意：應力沒增加，桿自己在長長！P經過較長時間后P加靜載二、蠕變與松馳（高溫，長期靜載下）構件的工作段不能超過穩(wěn)定階段！

etOABCDE不穩(wěn)定階段穩(wěn)定階段加速階段破壞階段

e0材料的蠕變曲線應力不變溫度越高蠕變越快T1T2T3T4s1s2s3s4溫度不變應力越高蠕變越快蠕變變形是不可恢復的塑性變形。2、應力松弛：

在一定的高溫下，構件上的總變形不變時，彈性變形會隨時間而轉變?yōu)樗苄宰冃危ㄔ驗槿渥儯?，從而使構件內的應力變小。這種現(xiàn)象稱為應力松弛。桿也是自己長了一段！經過較長時間后卸載加靜載溫度不變e2e1e3初應力越大，松弛的初速率越大初始彈性應變不變T1T3T2溫度越高，松弛的初速率越大§2－7拉伸、壓縮超靜定問題1、超靜定問題：單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力

（外力、內力、應力）的問題。一、超靜定問題及其處理方法2、超靜定的處理方法：平衡方程、變形協(xié)調方程、物理方程相結合，進行求解。不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡靜定問題超靜定問題例11設1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：L1=L2、

L3=L

；各桿面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內力。CPABD123解：

、平衡方程:PAN1N3N2

幾何方程——變形協(xié)調方程：

物理方程——彈性定律：

補充方程：由幾何方程和物理方程得。

解由平衡方程和補充方程組成的方程組，得:CABD123A1

平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調方程；

物理方程——胡克定律；

補充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補充方程組成的方程組。3、超靜定問題的方法步驟：例12木制短柱的四角用四個40

40

4的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為[

]1=160MPa和[

]2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa

和E2=10GPa；求許可載荷P。

幾何方程

物理方程及補充方程：解：

平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2

解平衡方程和補充方程，得:

求結構的許可載荷：

方法1:角鋼面積由型鋼表查得:

A1=3.086cm2所以在△1=△2

的前提下，角鋼將先達到極限狀態(tài),即角鋼決定最大載荷。

求結構的許可載荷：另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？

若將木的邊長變?yōu)?5mm，又怎樣？結構的最大載荷永遠由鋼控制著。方法2:

、幾何方程解：

、平衡方程:2、超靜定問題存在裝配應力。二、裝配應力——預應力1、靜定問題無裝配應力。

如圖，3號桿的尺寸誤差為

，求各桿的裝配內力。ABC12ABC12DA13A1N1N2N3

、物理方程及補充方程：

、解平衡方程和補充方程，得:dA1N1N2N3AA1

、幾何方程1、靜定問題無溫度應力。三、溫度應力ABC12CABD1232、超靜定問題存在溫度應力。（可自由伸縮）（不可自由伸縮，→內力→應力＝熱應力）

aaaaN1N2例13如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5℃

時被固定,桿的上下兩段的面積分別

=cm2，

=cm2，當溫度升至T2

=25℃時,求各桿的溫度應力。

(線膨脹系數

=12.5×；

彈性模量E=200GPa)

、幾何方程：解：

、平衡方程：

、物理方程解平衡方程和補充方程，得:

、補充方程

、溫度應力(一)低碳鋼拉伸的彈性階段(oe段)1、op--比例段:

p--比例極限2、pe--曲線段:

e--彈性極限一、知識點1、掌握橫截面和斜截面的應力計算方法2、掌握軸力圖的畫法3、了解虎克定律4、了解拉壓桿的強度條件5、掌握超靜定問題的解法二、重點內容1、軸力圖的畫法2、超靜定問題的解法本章小結第3章剪切和擠壓

本章主要內容§3-1剪切與擠壓的概念§3-2剪切和擠壓的強度計算剪切的工程實例§3-1剪切與擠壓的概念剪切件簡化如下圖螺栓連接鉚釘連接銷軸連接平鍵連接榫連接焊接連接剪切受力特點：作用在構件兩側面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線很近。變形特點：位于兩力之間的截面發(fā)生相對錯動。一.剪切的強度計算FF得切應力計算公式：切應力強度條件：常由實驗方法確定

假設切應力在剪切面（m-m截面）上是均勻分布的§3-2剪切和擠壓的強度計算二.擠壓的強度計算

假設應力在擠壓面上是均勻分布的得實用擠壓應力公式擠壓強度條件：常由實驗方法確定*注意擠壓面面積的計算FF擠壓強度條件：切應力強度條件：脆性材料：塑性材料：

為充分利用材料，切應力和擠壓應力應滿足例1：圖示接頭，受軸向力F作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，鉚釘和板的材料相同，試校核其強度。

2.板的剪切強度解：1.板的拉伸強度3.鉚釘的剪切強度

4.板和鉚釘的擠壓強度

結論：強度足夠。例2：沖頭簡化如圖所示。沖頭由優(yōu)質碳鋼制成，沖床最大沖裁力為F=400kN，沖頭材料的許用壓應力MPa，鋼板的許用切應力MPa，求在最大沖力作用下所能沖剪得圓孔最小直徑d和板的最大厚度t。解：(1)確定圓孔的最小直徑d。(2)計算鋼板的最大厚度t。mmmmmm

焊縫剪切計算有效剪切面三.其它連接件的實用計算方法本章小結一、知識點1、了解剪切變形的特點2、掌握剪切實用計算3、掌握擠壓實用計算二、重點內容1、剪切實用計算2、擠壓實用計算第4章扭轉本章主要內容

§4-1圓軸扭轉的概念與實例扭矩與扭矩圖

§4-2圓軸扭轉時的應力和強度計算

§4-3圓軸扭轉時的變形與剛度計算

§4-1圓軸扭轉的概念與實例扭矩與扭矩圖一、圓軸扭轉的概念與實例

1、扭轉的概念

桿件的兩端受到大小相等、轉向相反且作用平面直垂于桿軸線的力偶的作用，致使桿件各橫截面都繞桿軸線發(fā)生相對轉動，桿件表面的縱向線將變成螺旋線。

2、扭轉的受力特點：受一對等值、反向、作用面在橫截面內的力偶作用時，圓軸產生扭轉變形。

3、圓軸扭轉的變形特點：各橫截面繞桿軸線發(fā)生相對錯動。

軸：以扭轉變形為主的桿件稱為軸4、實例

發(fā)生扭轉變形的水輪機軸

二、扭矩與扭矩圖１、外力偶矩的計算

已知軸傳遞的功率，軸的轉速，力偶矩的計算公式為：其中：P---功率（kW)

T---外力偶矩(N.m)

n---軸的轉速（r/min)２、扭矩：（１）、截面法分析扭轉的內力——扭矩(T)當桿件受到外力偶矩作用發(fā)生扭轉變形時其橫截面上的內力偶矩。（用T表示；單位：N.m或kN.m)（２）、扭矩的正負號規(guī)定右手螺旋法則。（３）、指定截面扭矩的計算方法。用一假想的截從要求內力處將桿件切開分成兩段，取其中的任意一段為研究對象，畫出其受力圖，利用平衡方程，求出內力（扭矩）注意：在受力圖中，扭矩最好假設成正方向，如上圖。

由力偶平衡得：

Me-T=0即：T=Me

3、扭矩圖：用一個圖形來表示截面上的扭矩隨其截面位置變化關系。例1：圖示圓軸的外力偶矩

MB=636.6N.m，MA=1591.5N.m，MC=954.9N.m。試作出其扭矩圖。解：1、用一截面從1-1處將軸切開，取左部分為研究對象，受力圖如圖（c)由（c）圖可得：T1-MB=0所以

T1=636.6N.m2、用一截面從2-2處將軸切開，取右部分為研究對象，受力圖如圖（d)由（d）圖可得：T2+MC=0所以

T2=-954.9N.m3、作扭矩圖如圖(b)§4-2圓軸扭轉時的應力和強度計算目的要求：掌握扭轉橫截面上的應力分布規(guī)律和強度條件的應用。

教學重點：強度條件及其應用。

教學難點：切應力互等定理和剪切胡克定律。

§4-2圓軸扭轉時的應力和強度計算一、切應力互等定理和剪切胡克定律

１、切應力互等定理

相互垂直兩個平面上的切應力必然成對存在，且大小相等、方向都垂直指向或背離兩平面的交線。２、剪切胡克定律τ＝τ’

（１）、切應變：切應力只產生角應變，單元體的直角的改變量稱為切應變。

（２）、剪切胡克定律在剪切比例極限的范圍內，切應力和切應變成正比。比例常數為材料的切變模量（G）。

τ＝Gγ

二、圓軸扭轉時橫截面上的應力１、切應力及其分布規(guī)律２、橫截面上任一點的切應力計算公式其中：T---截面上的扭矩

ρ---要求應力的點到圓心O點的距離３、橫截面上最大切應力發(fā)生在周邊上，計算公式為4、實心和空心圓截的慣性矩Ip和抗扭截面系數Wp

(1)實心圓截面（2）空心圓截面三、圓軸扭轉時的強度計算１、強度條件２、例題例1：如圖所示，一鋼制圓軸兩端受外力偶m作用，已知m=2.5KN，直徑d=6cm，許用應力[τ]=60MPa，試校核該軸的強度。解：1、計算軸的扭矩T

將軸在離左端任一距離處用截面切開，取左段為脫離體，畫出其受力圖如下圖，由平衡條件可得：T=M2、校核強度

此軸滿足強度要求§4-3圓軸扭轉時的變形與剛度計算目的要求：掌握圓軸扭轉的變形計算和剛度條件。

教學重點：圓軸扭轉的剛度條件。教學難點：對圓軸扭轉的剛度條件的理解和應用。

§4-3圓軸扭轉時的變形與剛度計算一、圓軸扭轉時的變形計算

1、扭轉角(φ)：圓軸扭轉時兩橫截面相對轉過的角度。

2、單位扭轉角(θ)：單位長度上的扭轉角。(rad/m)

其中：T---截面上的扭矩

Iρ---截面對圓心O點的極慣性矩

L---兩截面之間的距離G---剪切彈性模量二、圓軸扭轉時的剛度計算

１、剛度條件

其中：[θ]---許用單位扭轉角（rad/m或°/m)三、剛度計算舉例

例2：如圖所示的實心傳動軸，Nk1=50KW，Nk2=150KW，Nk3=100KW，n=300r/min，許用應力[τ]=100MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa，試設計此軸的直徑D。

解：1、求外力偶矩

2、求各段的扭矩

T1=M1=1591.7N.m

T2=M1-M2=3183.3N.m

4、設計直徑由5、按剛度條件設計D

由強度計算和剛度計算可知

D≥69.4mm【例9】已知解放牌汽車的傳動軸AB，如圖所示，是由45號無縫鋼管制成，外徑D=90mm，壁厚t=2.5mm，傳遞的最大力矩為M=1.5kN?m，材料的許用應力[τ]=60MPa，剪切彈性模量G=80GPa，[θ]=2o/m。(1)試校核其強度和剛度；(2)若改用相同材料的實心軸，并要求它和原來的傳動軸的強度相同，試計算其直徑D1

；生物力學中，動物骨頭的內外直徑比為8：11，若采用這一比例，試計算其外徑D2；

(3)比較以上三種設計的重量。解：(1)校核傳動軸AB的強度和剛度

按強度條件

MPa<按剛度條件

o/m<(2)計算另外兩種軸的直徑。

mmmm(3)比較以上三種設計的重量：結論：雖然最好的設計方法是第二種設計方案，但第三種設計方案外徑較小，當然在實際的工程應用中根據實際情況，選取合適的設計方案。

本章小結一、知識點1、掌握圓軸扭轉切應力的計算2、了解圓軸扭轉時的強度條件3、了解圓軸扭轉時的剛度條件二、重點內容1、圓軸扭轉時的強度計算2、圓軸扭轉時的剛度計算第5章平面的幾何性質

§5–1面積矩與形心位置

§5–2慣性矩、慣性積、極慣性矩

§5–3慣性矩和慣性積的平行移軸定理

§5–4慣性矩和慣性積的轉軸定理、截面的主慣性軸和主慣性矩本章主要內容一、面積（對軸）矩：(與力矩類似)

是面積與它到軸的距離之積。dAxyyx§5-1靜矩與形心位置二、形心：(等厚均質板的質心與形心重合。)等厚均質質心：等于形心坐標dAxyyx例1

試確定下圖的形心。解：組合圖形，用正負面積法解之。1.用正面積法求解，圖形分割及坐標如圖(a)801201010xyC2圖(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用負面積法求解，圖形分割及坐標如圖(b)圖(b)C1（0,0）C2（5,5）C2負面積C1xy一、慣性矩：(與轉動慣量類似）

是面積與它到軸的距離的平方之積。

dAxyyxr二、極慣性矩：是面積對極點的二次矩?！?-2慣性矩、慣性積、極慣性矩dAxyyxr三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。如果x或y

是對稱軸，則Ixy=0一、平行移軸定理：（與轉動慣量的平行移軸定理類似）以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖dAxyyxrabCxCyC§5-3慣性矩和慣性積的平行移軸定理注意:C點必須為形心例2

求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解：求解此題有兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理等知識求。B建立形心坐標如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。AdxyO圓一、慣性矩和慣性積的轉軸定理dAxyyxax1y1x1y1§5-4慣性矩和慣性積的轉軸定理、截面的主慣性軸和主慣性矩二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩1.主慣性軸和主慣性矩：坐標旋轉到

=

0

時；恰好有與

0

對應的旋轉軸x0

y0

稱為主慣性軸；平面圖形對主軸之慣性矩主慣性矩。2.形心主軸和形心主慣性矩：

主軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩形心主慣性矩：3.求截面形心主慣性矩的方法①建立坐標系②計算面積和面積矩③求形心位置④建立形心坐標系；求：IyC

，

IxC

，

IxCyC⑤求形心主軸方向

—

0

⑥求形心主慣性矩例3

在矩形內挖去一與上邊內切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d)解：①建立坐標系如圖。②求形心位置。③

建立形心坐標系；求：IyC

，IxC

，IxCy

db2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1本章小結一、知識點1、熟練計算典型形狀的靜矩和形心2、熟練計算典型形狀的慣性矩、慣性積、慣性半徑3、掌握平行移軸公式的應用方法二、重點內容1、常見形狀的二次矩計算2、平行移軸公式第6章梁彎曲內力及強度計算

本章主要內容

§6-1概述

§6-2受彎桿件的簡化

§6-3剪力和彎矩

§6-4剪力圖和彎矩圖

§6-5載荷集度剪力和彎矩間的關系

§6-6平面剛架和曲桿的內力

§6-7橫力彎曲時的正應力及正應力強度計算

§6-1概述起重機大梁1鏜刀桿車削工件火車輪軸彎曲特點以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁受力特點：外力垂直于軸線變形特點：軸線由直線變成曲線常見彎曲構件截面具有縱向對稱面外力都作用在此面內彎曲變形后軸線變成對稱面內的平面曲線平面彎曲梁的載荷與支座集中載荷分布載荷集中力偶固定鉸支座活動鉸支座固定端§6-2受彎桿件的簡化2火車輪軸簡化吊車大梁簡化均勻分布載荷簡稱均布載荷非均勻分布載荷簡支梁外伸梁懸臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA靜定梁的基本形式FNFSM

FS剪力，平行于橫截面的內力合力

M

彎矩，垂直于橫截面的內力系的合力偶矩FByFNFSM§6-3剪力和彎矩3FAyFAyFNFSMFByFNFSM

截面上的剪力對梁上任意一點的矩為順時針轉向時，剪力為正；反之為負。+_

截面上的彎矩使得梁呈凹形為正；反之為負。+_

左上右下為正；反之為負

左順右逆為正；反之為負解：1.確定支反力FAyFBy2.用截面法研究內力FAyFSEME

求圖示簡支梁E截面的內力FAyFByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEOFAyFBy

截面上的剪力等于截面任一側外力的代數和。FAyFSE2FFAyFBy

截面上的彎矩等于截面任一側外力對截面形心力矩的代數和。FAy2FMEq懸臂梁受均布載荷作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：任選一截面x，寫出剪力和彎矩方程x依方程畫出剪力圖和彎矩圖FSxMxl由剪力圖、彎矩圖可見。最大剪力和彎矩分別為

§6-4剪力圖和彎矩圖4qxBAlFAYFBY圖示簡支梁C點受集中力作用試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．寫出剪力和彎矩方程x2FSxMxx1ACCB3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CFabBAlFAYFBY圖示簡支梁C點受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．寫出剪力和彎矩方程x2x1ACCB3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CMabBAlFAYqFBY簡支梁受均布載荷作用試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝FBy＝ql/22．寫出剪力和彎矩方程yxCx3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。FSxMx§6-5載荷集度剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩關系：5

載荷集度、剪力和彎矩關系：q＝0，F(xiàn)s=常數，剪力圖為水平線；M(x)為x的一次函數，彎矩圖為斜直線。2.q＝常數，F(xiàn)s(x)為x的一次函數，剪力圖為斜直線；M(x)為x的二次函數，彎矩圖為拋物線。分布載荷向上（q>0），拋物線呈上凹形；分布載荷向下（q<0），拋物線呈下凹形。3.

剪力Fs=0處，彎矩取極值。4.

集中力作用處，剪力圖突變；集中力偶作用處，彎矩圖突變q(x)=0的區(qū)間q(x)=C的區(qū)間集中力F作用處力偶M作用處FS圖M圖

載荷集度、剪力和彎矩關系：水平線FS>0,斜直線，斜率>0FS<0,斜直線，斜率<0FS=0,水平線，斜率=0q(x)>0,斜直線，斜率>0q(x)<0,斜直線，斜率<0q(x)>0,拋物線，上凹q(x)<0,拋物線，下凹FS=0,拋物線有極值有突變突變量=F斜率有突變圖形成折線突變量=F無影響有突變突變量=M微分關系繪制剪力圖與彎矩圖的方法：

根據載荷及約束力的作用位置，確定控制面。

應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩數值。

建立FS一x和M一x坐標系，并將控制面上的剪力和彎矩值標在相應的坐標系中。

應用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。BAlFAYqFBY簡支梁受均布載荷作用試畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝FBy＝ql/2yxFSxMx2．確定控制面支座反力內側截面均為控制面。即A、B截面。

3．建立坐標系建立FS－x和M－x坐標系4．應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標在FS－x和M－x坐標系中。

5．根據微分關系連圖線BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN

梁簡支受力的大小和方向如圖示。試畫出其剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力求得A、B

二處的約束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根據力矩平衡方程

2．確定控制面

在集中力和集中力偶作用處的兩側截面以及支座反力內側截面均為控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO

3．建立坐標系建立FS－x和M－x坐標系

5．根據微分關系連圖線4．應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標在FS－x和M－x坐標系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN（-）（+）解法2：1．確定約束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．確定控制面為A、C、D、B兩側截面。

FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．從A截面左側開始畫剪力圖。Fs（kN）0.891.11（-）（-）4．從A截面左側開始畫彎矩圖。

M（kN.m）從A左到A右從C左到C右從D左到D右從A右到C左1.3300.330從C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11從D右到B左從B左到B右qBADa4aFAyFBy試畫出梁剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力根據梁的整體平衡，由求得A、B二處的約束力qa2．確定控制面

由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個截面為控制面，約束力FBy右側的截面，以及集中力qa左側的截面，也都是控制面。C

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

qa

3．建立坐標系建立FS－x和M－x坐標系4．應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標在FS－x和M－x坐標系中。

5．根據微分關系連圖線9qa/47qa/4qa（+）Mx

81qa2/32qa2xFS

(kN)解法2：1．確定約束力2．確定控制面，即A、B、D兩側截面。3．從A截面左側開始畫剪力圖。

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪力為零的點到A的距離。B點的彎矩為

-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段為上凸拋物線。且有極大值。該點的彎矩為

1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．從A截面左側開始畫彎矩圖

81qa2/32qa2（-）（-）（+）（+）（-）

Fs試畫出圖示有中間鉸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力從鉸處將梁截開qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA平面剛架：

某些機器的機身（壓力機等）由幾根直桿組成，而各桿在其聯(lián)接處的夾角不能改變，這種聯(lián)接稱為剛節(jié)點。有剛節(jié)點的框架稱為剛架。各直桿和外力均在同一平面內的剛架為平面剛架。平面剛架的內力一般有軸力、剪力和彎矩。7§6-6平面剛架和曲桿的內力橫桿CB：C點向左為xBqlyBFN(x)M(x)xFS(x)x

已知平面剛架上的均布載荷集度q,長度l。試：畫出剛架的內力圖。解：1、確定約束力2、寫出各段的內力方程豎桿AB：Bqly3、根據各段的內力方程畫內力圖橫桿CB：MFNFSql＋－＋平面曲桿

某些構件（吊鉤等）其軸線為平面曲線稱為平面曲桿。當外力與平面曲桿均在同一平面內時，曲桿的內力有軸力、剪力和彎矩?！?-7橫力彎曲時的正應力

正應力強度計算利用上式可以進行三方面的強度計算：①已知外力、截面形狀尺寸、許用應力，校核梁的強度②已知外力、截面形狀、許用應力，設計梁的截面尺寸③已知截面形狀尺寸、許用應力，求許可載荷梁的正應力強度條件BAl=3mq=60kN/mxC1mFSx90kN90kNMx30zy180120K1.C截面上K點正應力2.C截面上最大正應力3.校核梁的強度解：求支反力2.求C截面上K點正應力例題6-7

圖示簡支梁，受均布載荷作用，材料的許用應力［σ］=160MPa，求：2.C截面最大正應力C

截面彎矩C

截面慣性矩BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kNFSx90kN90kN例題BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN3.校核梁的強度全梁最大彎矩截面慣性矩例題例6-8：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應力［σ］=160MPa，校核該梁的強度。解：由彎矩圖可該梁滿足強度條件，安全型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示試校核梁的強度。作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時滿足分析：yz52（1）求截面形心(2）求截面對中性軸z的慣性矩

解：（4）B截面校核（3）作彎矩圖（5）C截面要不要校核？本章小結一、知識點1、熟練求解各種形式靜定梁的支座反力2、明確剪力和彎矩的概念，及剪力和彎矩的正負號規(guī)定3、熟練建立剪力方程、彎矩方程，繪制剪力圖和彎矩圖4、熟練計算任意截面上的剪力和彎矩的數值和彎曲正應力強度條件及其應用二、重點內容1、剪力圖和彎矩圖2、彎曲正應力強度條件及其應用

第7章彎曲變形的計算§7-1概述§7-2撓曲線的近似微分方程§7-3用積分法求彎曲變形§7-4用疊加法求彎曲變形§7-6梁的剛度條件及提高梁剛度的措施§7-5簡單超靜定梁本章主要內容§7-1概述§7-2撓曲線的近似微分方程1.基本概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓度轉角關系為：撓曲線撓度轉角撓度w：截面形心在y方向的位移向上為正轉角θ：截面繞中性軸轉過的角度。逆鐘向為正2.撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形的影響由數學知識可知：略去高階小量，得所以

由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：

由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉角和撓度。撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：

積分常數C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形例1求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF§7-3用積分法求彎曲變形4）由位移邊界條件確定積分常數代入求解5）確定轉角方程和撓度方程6）確定最大轉角和最大撓度ABF例2求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：4）由邊界條件確定積分常數代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件5）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：6）確定最大轉角和最大撓度令得，令得，§7-4用疊加法求彎曲變形

設梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉角為，撓度為w，則有：

若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，故由于梁的邊界條件不變，因此重要結論：梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。例3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC

；B截面的轉角

B1）將梁上的載荷分解wC1wC2wC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。解wC1wC2wC33）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和

例4已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC和轉角

C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。解3）將結果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角?！?-5簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：支反力數目大于有效平衡方程數目的梁。多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束。超靜定次數：多余約束或多余支反力的數目。2.求解方法：解除多余約束，建立相當系統(tǒng)——比較變形，列變形協(xié)調條件——由物理關系建立補充方程——利用靜力平衡條件求其他約束反力。相當系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)。例5：試分析細長軸車削過程中頂尖的作用，已知：工件的抗彎剛度為EIZ，切削力為F，且作用在零件的中間位置，零件長度為l。l/2l/2+解：分析：此題屬于1次超靜定問題。用變形比較法列出變形比較條件其中，解得：FBB(a)ACFC(b)BAFFBFAMAABCl/2l/2FFBFAMA+用疊加法解得C處的撓度為：FC(b)BAFBB(a)AC其中，BAl/2l/2FFBFAMA+FC(b)BAFBB(a)AC如果沒用頂尖的作用，在刀尖作用點處撓度為：求得有無頂尖作用時，在刀尖處變形比為：結論：可見用頂尖可有效地減小工件的變形，因而，在細長軸加工中要設置頂尖，甚至使用跟刀架。BA解例6

求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數2）解除多余約束，建立相當系統(tǒng)3）進行變形比較，列出變形協(xié)調條件4）由物理關系，列出補充方程所以5）由整體平衡條件求其他約束反力

例7

梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。

從B處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。變形協(xié)調方程為：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理關系解FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得補充方程：確定A端約束力：FBFBMAFAMCFCyB1yB2確定C

端約束力MAFAMCFCA、C

端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩圖例8：結構如圖所示，設梁AB和CD的彎曲剛度EIz相同，拉桿BC的拉壓剛度EA為已知，求拉桿BC的軸力。解：將桿BC移除，則AB,CD均為靜定結構，桿BC的未知軸力FN作用在AB、CD梁上，如圖（b）、（c）所示。為1次超靜定。對于AB梁：對于CD梁：

BC桿的伸長：補充方程：§7-6梁的剛度條件及提高梁剛度的措施1.剛度條件

建筑鋼梁的許可撓度：機械傳動軸的許可轉角：精密機床的許可轉角：

根據要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B處轉角不超過許用數值。

B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉角為：

解例8已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉角

θ

=0.5°。根據剛度要求確定軸的直徑d。例7已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉角

θ

=0.5°。根據剛度要求確定軸的直徑d。B2）由剛度條件確定軸的直徑：2.提高梁剛度的措施1）選擇合理的截面形狀2）改善結構形式，減少彎矩數值改變支座形式2）改善結構形式，減少彎矩數值改變載荷類型3）采用超靜定結構1、明確撓曲線、撓度和轉角的概念2、掌握計算梁變形的積分法和疊加法3、學會用變形比較法解簡單超靜定問題本章小結一、知識點二、重點內容1、掌握計算梁變形的積分法和疊加法2、學會用變形比較法解簡單超靜定問題第8章應力狀態(tài)分析§8-1應力狀態(tài)的概念§8-2二向應力狀態(tài)分析——解析法§8-3二向應力狀態(tài)分析——圖解法§8-4三向應力狀態(tài)§8-5廣義胡克定律§8-6復雜應力狀態(tài)下的應變能密度本章主要內容低碳鋼

塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵§8-1應力狀態(tài)的概念脆性材料扭轉時為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵FlaS13S平面zMzT4321yx

單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力，分別用表示，并且該單元體稱為主單元體?？臻g（三向）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零平面（二向）應力狀態(tài)：一個主應力為零單向應力狀態(tài)：兩個主應力為零xyα

1.斜截面上的應力dAαnt§8-2二向應力狀態(tài)分析——解析法列平衡方程dAαnt利用三角函數公式并注意到化簡得xya正負號規(guī)則：正應力：拉為正；反之為負切應力：使微元順時針方向轉動為正；反之為負。α角：由x軸正向逆時針轉到斜截面外法線時為正；反之為負。αntx確定正應力極值設α＝α0

時，上式值為零，即2.

正應力極值和方向即α＝α0

時，切應力為零

由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力所在平面。

所以，最大和最小正應力分別為：主應力按代數值排序：σ1

σ2

σ3試求（1）

斜面上的應力；

（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。例題1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。

已知解：（1）

斜面上的應力

（2）主應力、主平面

主平面的方位：

代入表達式可知主應力方向：主應力方向：（3）主單元體：

這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓

§8-3二向應力狀態(tài)分析——圖解法RC

1.應力圓的畫法D(sx,txy)D/(sy,tyx)cRADxyoB1BA1A2.應力圓上某一點的坐標值與單元體某一截面上的正應力和切應力一一對應D(sx,txy)D/(sy,tyx)cxyHn

oB1BAA1H

例題2：分別用解析法和圖解法求圖示單元體

(1)指定斜截面上的正應力和剪應力; (2)主應力值及主方向，并畫在單元體上。 單位：MPa解：(一)使用解析法求解

(二)使用圖解法求解作應力圓，從應力圓上可量出：三個主應力都不為零的應力狀態(tài)

§8-4三向應力狀態(tài)1.