人教A版高中數(shù)學(選擇性必修第一冊)同步講義第08講 拓展二：直線與平面所成角的傳統(tǒng)法與向量法（含解析）

第08講拓展二：直線與平面所成角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問題）一、知識點歸納知識點一：直線與平面所成角1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內的射影.注意：斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上.如圖，直線SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一條斜線，斜足為SKIPIF1<0，斜線上一點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0是斜線SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影.2、直線和平面所成角：（有三種情況）（1）平面的斜線與它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為SKIPIF1<0；（2）直線與平面垂直時，它們的所成角為SKIPIF1<0；（3）直線與平面平行（或直線在平面內）時，它們的所成角為0.結論：直線與平面所成角的范圍為SKIPIF1<0.3、傳統(tǒng)法之定義法（如右圖）：具體操作方法：①在直線SKIPIF1<0上任取一點SKIPIF1<0（通常都是取特殊點），向平面SKIPIF1<0引（通常都是找+證明）垂線SKIPIF1<0；②連接斜足與垂足SKIPIF1<0；③則斜線SKIPIF1<0與射影SKIPIF1<0所成的角SKIPIF1<0，就是直線與平面所成角.4、傳統(tǒng)法之等體積法求垂線段法(如右圖）①利用等體積法求垂線段SKIPIF1<0的長；②SKIPIF1<05、利用向量法求線面角設直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，直線與平面所成的角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的角為SKIPIF1<0，則有①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.（注意此公式中最后的形式是：SKIPIF1<0）二、題型精講題型01求直線與平面所成角（定值）（傳統(tǒng)法）【典例1】（2022秋·安徽·高三石室中學校聯(lián)考階段練習）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設SKIPIF1<0，連接OD，因為SKIPIF1<0,所以四邊形SKIPIF1<0為正方形，因此SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以BD與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2022秋·上海閔行·高三上海市文來中學?？计谥校┰谡襟wSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為__________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】連接SKIPIF1<0，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正切值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【典例3】（2022春·廣東江門·高一江門市第一中學?？计谥校┤鐖D，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為4的正方形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(3)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0．【詳解】（1）因為四邊形SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0為點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．所以SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．（3）若SKIPIF1<0，由（2）可知，點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．【典例4】（2022春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體SKIPIF1<0的棱長均相等，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行且相等，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，則SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）如圖，設AC，BD交于點O，連接SKIPIF1<0．因為平行六面體SKIPIF1<0中，設各棱長均為2，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為邊長為2等邊三角形，四邊形ABCD為菱形，所以O為BD的中點，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．等邊三角形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．解SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在平面ABCD上的射影Q落在AC上，連接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0到平面ABCD的距離為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0到平面ABCD的距離為SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0到平面ABCD的距離SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0【變式1】（2022春·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學?？计谀┤鐖D，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是________．

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】如圖，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,由已證知，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由已證知，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0.

故答案為：SKIPIF1<0【變式2】（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為d，又SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.題型02求直線與平面所成角（定值）（向量法）【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）在正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動點，當線段SKIPIF1<0的長最小時，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，因為點M，N分別是SKIPIF1<0上的動點，當點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0交點時，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的公垂線，即線段SKIPIF1<0的長最小，設正方體邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，同上可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.

故選：B【典例2】（2023秋·山東德州·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知直角梯形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為正方形，且平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0；(2)點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）已知直角梯形ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等腰直角三角形，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因為平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0．（2）根據(jù)（1）中所證可得：SKIPIF1<0兩兩垂直，故以C為坐標原點，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸建立如圖所示空間直角坐標系：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為平面MAB的一個法向量，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．即直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角正弦值為SKIPIF1<0．【典例3】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為底面SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）將題干圖形調整一下位置，記SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，

因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，底面SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，如圖，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近點SKIPIF1<0的四等分點，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）．

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.易知平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C.

【變式2】（2023春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學?？茧A段練習）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上一點.

(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為M，N分別為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0為正交基底建立如下圖所示的空間直角坐標系SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以直線SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角正弦值為SKIPIF1<0.【變式3】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩垂直，以SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0軸的正方向建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，如圖，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面DBE，所以SKIPIF1<0平面DBE.（2）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面DBE的一個法向量，因此SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面DBE所成角的正弦值為SKIPIF1<0.題型03易錯題型利用向量法求直線與平面所成角的余弦值（忽視最后正弦轉余弦）【典例1】（2023·高二單元測試）已知四棱柱SKIPIF1<0的底面是邊長為2的正方形，側棱與底面垂直，若點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】如圖，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則根據(jù)三角形面積得SKIPIF1<0，代入解得SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為__________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】依題意，以SKIPIF1<0為坐標原點，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量.設SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級中學?？计谥校┤鐖D，在底面為矩形的四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）依題意，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）解法一：向量法在SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標原點，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，過點SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，建立如圖空間直角坐標系，設SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設面SKIPIF1<0法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.（2）解法二：幾何法過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線，交點為SKIPIF1<0，連結SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，連結SKIPIF1<0，連結SKIPIF1<0，取中點SKIPIF1<0，連結SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為線SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的角.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由同一個三角形面積相等可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，由勾股定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高三對口高考）正三棱柱SKIPIF1<0的所有棱長都相等，則SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設三棱柱的棱長為1，以B為原點，以過B作SKIPIF1<0的垂線為x軸，以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個法向量可取為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為θ，SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【變式2】（2023春·高二課時練習）若正三棱柱SKIPIF1<0的所有棱長都相等，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為______.【答案】SKIPIF1<0/0.6【詳解】如圖，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0,所以以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸正方向建系如圖，設SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為:SKIPIF1<0.【變式3】（2023·福建莆田·?？寄M預測）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，