極點(diǎn)與極線在高考解題中的應(yīng)用

PAGEPAGE15極點(diǎn)與極線在高考解題中的應(yīng)用摘要要學(xué)生能完全掌握極點(diǎn)與極線在圓錐曲線中的解題方法，老師必須重視自己的教學(xué)策略以及學(xué)生必須提高自己對圓錐曲線的認(rèn)知發(fā)展水平.在文中，我首先對這兩方面進(jìn)行說明，然后對極點(diǎn)與極線在高考解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析.其次通過近幾年的有關(guān)圓錐曲線的高考題進(jìn)行分析，找出命題規(guī)律，得到需用極點(diǎn)與極線方法解題的圓錐曲線考題在每年的高考題中不同的省份出現(xiàn)的概率.然后總結(jié)出極點(diǎn)與極線在圓錐曲線中的性質(zhì)及定理，分析近幾年高考題，總結(jié)出有關(guān)極點(diǎn)與極線的圓錐曲線的題的解題方法.最后通過實(shí)際的例子來說明此研究的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.關(guān)鍵詞：極點(diǎn)；極線；高考AbstractIfthestudentscanfullygraspthemethodofsolvingtheproblemofthepoleandthepolarlineintheconicalcurve,theteachermustattachimportancetohisteachingstrategyandthestudentsmustimprovetheircognitivedevelopmentofconicalcurves.Inthisarticle,Ifirstexplainthetwoaspects,andthenanalyzetheapplicationofthepoleandpoleinthecollegeentranceexamination.Secondly,throughtheanalysisoftheconicalcurvesinrecentyears,wefindouttheruleoftheproposition,andgettheconictestquestionswiththepoleandpolemethodtosolvetheprobleminthecollegeentranceexamination.Theprobabilityoftheprovinceappears.Thenthepropertiesandtheoremsofthepolesandpolarlinesintheconiccurvearesummedup,andtheproblemsofthecollegeentranceexaminationinrecentyearsareanalyzed,andthemethodofsolvingtheproblemoftheconiccurvesofthepolesandthepolarlinesissummarized.Finally,thepracticalapplicationvalueofthestudyisillustratedbythepracticalexamples.Keywords:Pole;poleline;collegeentranceexamination1.極點(diǎn)與極線的定義PPEFGHMANB圖11.1幾何定義如圖，是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)，連接交于，連接交于，則直線為點(diǎn)對應(yīng)的極線.若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線即為極線.由圖1可知，同理為點(diǎn)對應(yīng)的極線，為點(diǎn)所對應(yīng)的極線.稱為自極三點(diǎn)形.若連接交圓錐曲線于點(diǎn)，則恰為圓錐曲線的兩條切線.事實(shí)上，圖1也給出了兩切線交點(diǎn)對應(yīng)的極線的一種作法.1.2代數(shù)定義已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換(另一變量也是如此)即可得到點(diǎn)極線方程.特別地：(1)對于橢圓，與點(diǎn)對應(yīng)的極線方程為；(2)對于雙曲線，與點(diǎn)對應(yīng)的極線方程為；(3)對于拋物線，與點(diǎn)對應(yīng)的極線方程為.2.極點(diǎn)與極線的基本結(jié)論定理1(1)當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，則極線是曲線在點(diǎn)處的切線；(2)當(dāng)在外時(shí)，則極線是曲線從點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線(即切點(diǎn)弦所在直線)；(3)當(dāng)在內(nèi)時(shí)，則極線是曲線過點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.證明：假設(shè)同以上代數(shù)定義，對的方程，兩邊求導(dǎo)得，解得，于是曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故切線的方程為，化簡得，又點(diǎn)在曲線上，故有，從中解出，然后代和可得曲線在點(diǎn)處的切線為.PMN圖2(2)設(shè)過點(diǎn)所作的兩條切線的切點(diǎn)分別為，則由(1)知，在點(diǎn)處的切線方程分別為和，又點(diǎn)PMN圖2在切線上，所以有和，觀察這兩個(gè)式子，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)都在直線上，又兩點(diǎn)確定一條直線，故切點(diǎn)弦所在的直線方程為.Q(m,n)TS圖3P(x0,Q(m,n)TS圖3P(x0,y0).設(shè)兩切線的交點(diǎn)為，則有，，觀察兩式可發(fā)現(xiàn)在直線上，又兩點(diǎn)確定一條直線，所以直線的方程為，又直線過點(diǎn)，所以，因而點(diǎn)在直線上.所以兩切線的交點(diǎn)的軌跡方程是.定理2若圓錐曲線中有一些極線共點(diǎn)于點(diǎn)，則這些極線相應(yīng)的極點(diǎn)共線于點(diǎn)相應(yīng)的極線，反之亦然.PPABP點(diǎn)P的極線點(diǎn)P的極線圖4(1)圖4(2)即極點(diǎn)與極線具有對偶性.如圖4(1)(2)所示.

3.極點(diǎn)與極線在教材中的體現(xiàn)極點(diǎn)與極線反映的是圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，所以在解析幾何教材中必然有所體現(xiàn).3.1圓錐曲線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線如果圓錐曲線是橢圓，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線變?yōu)?，恰是橢圓的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是雙曲線，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線變?yōu)?，恰是雙曲線的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是拋物線，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線變?yōu)?，恰是拋物線的準(zhǔn)線.3.2極點(diǎn)與極線方法求解ABCOxy圖5F【例1ABCOxy圖5F證明：由于,，，故三點(diǎn)對應(yīng)的極線方程分別是，和，由于三點(diǎn)共線，根據(jù)定理2可知，對應(yīng)的三條極線共點(diǎn)，將代入后面兩式得，，兩式相除得.作為課本一習(xí)題，2001年全國高考試卷19題以此為背景命制.利用本例結(jié)論可迅速證明這一高考題.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且平行于軸，證明直線必過原點(diǎn).簡證：如圖5，設(shè)，則，從而，，故，所以，即直線過原點(diǎn).3.3極點(diǎn)與圓錐曲線【例2】(1)已知拋物線的方程為，直線過定點(diǎn)，斜率為，問為何值時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn)？(2)已知雙曲線，過點(diǎn)能否作直線，與雙曲線交于兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)？解：(1)直線的方程為，即.設(shè)直線對應(yīng)的極點(diǎn)為，則相應(yīng)的極線應(yīng)為，即，故，當(dāng)時(shí)，，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)在拋物線外，解得且；同理可求得當(dāng)或或時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)直線與拋物線沒有公共點(diǎn).(2)設(shè)，則由是線段的中點(diǎn)得，而在雙曲線上，故，兩式相減得，即，而是點(diǎn)對應(yīng)的極線，但點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，故極線與雙曲線相離，這和已知“直線與雙曲線相交”矛盾，故這樣的直線不存在.4.極點(diǎn)與極線在各種考試中的深層體現(xiàn)4.1高考試題中的極點(diǎn)與極線極點(diǎn)與極線作為具體的知識點(diǎn)盡管不是《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)然也不屬于高考考查的范圍，但是極點(diǎn)與極線作為圓錐曲線的一種基本特征，在高考試題中必然會有所反映.事實(shí)上，極點(diǎn)與極線的知識常常是解析幾何高考試題的命題背景.ABPOxy圖6F【例3】(2006年全國試卷=2\*ROMANIIABPOxy圖6F的焦點(diǎn)為，是拋物線上的兩動點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，并設(shè)其交點(diǎn)為.(1)證明為定值；(2)設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值.解：(1)設(shè)點(diǎn)，三點(diǎn)對應(yīng)的極線方程分別為，，，由于三點(diǎn)共線，故相應(yīng)的三極線共點(diǎn)于，代入極線方程得，兩式相減得.又，故.(2)設(shè)的方程為，與拋物線的極線方程對比可知直線對應(yīng)的極點(diǎn)為，把代入并由弦長公式得，所以.顯然，當(dāng)時(shí)，取最小值.【例4】(2005江西卷22)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，動點(diǎn)在直線上運(yùn)動，過作拋物線的兩條切線，ABPABPOxy圖7Fl兩點(diǎn).(1)求的重心的軌跡方程；(2)證明.解：(1)設(shè)點(diǎn)，與對比知直線對應(yīng)的極點(diǎn)為，為直線上的動點(diǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)的極線必恒過點(diǎn).設(shè)，可化為，故直線對應(yīng)的極點(diǎn)為，將直線的方程代入拋物線方程得，由此得，的重心的軌跡方程為，消去即得.(2)由(1)可設(shè)點(diǎn)，，且，所以，，..同理.所以有.評析：上述解法不僅簡潔易懂，而且適用范圍很廣，很多解析幾何試題，尤其是共點(diǎn)共線問題，往往都能起到事半功倍的效果.命題1橢圓，點(diǎn)對應(yīng)的極線.雙曲線，點(diǎn)對應(yīng)的極線.拋物線，點(diǎn)對應(yīng)的極線.命題2圓錐曲線中極線共點(diǎn)于P，則這些極線相應(yīng)的極點(diǎn)共線于點(diǎn)P相應(yīng)的極線.反之亦然.稱為極點(diǎn)與相應(yīng)極線對偶性.以上結(jié)論在文[2]中有證明.如圖給出橢圓的極點(diǎn)與對應(yīng)極線的簡圖：P在橢圓內(nèi)P在橢圓內(nèi)P在橢圓外題1、（2010湖北文15）.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,點(diǎn)滿足,則||+|的取值范圍為_______，直線與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_____.解析：第一個(gè)問題，依題意知，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部.畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合可得范圍為.第二個(gè)問題，其實(shí)是非常容易做錯的題目.因?yàn)樵跈E圓的內(nèi)部，所以很多學(xué)生誤以為直線與橢圓一定有兩個(gè)交點(diǎn)，但直線并不經(jīng)過.還有學(xué)生看到這樣的結(jié)構(gòu)，認(rèn)為是切線，所以判斷有一個(gè)公共點(diǎn).事實(shí)上，是對應(yīng)的極線，在橢圓的內(nèi)部，由命題2畫出相應(yīng)極線，此直線與橢圓不可能有交點(diǎn)，故交點(diǎn)數(shù)為0個(gè).如果能夠用極點(diǎn)與極線理論，本題能夠快速解決.而常規(guī)方法只能聯(lián)立方程用判別式判斷了.題2、（2010重慶文21）已知以原點(diǎn)為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線的離心率.（Ⅰ）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（Ⅱ）如題圖，已知過點(diǎn)的直線：與過點(diǎn)（其中）的直線：的交點(diǎn)在雙曲線上，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，求的值.解析：（I）C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C的漸近線方程為（II）如圖，直線和上顯然是橢圓的兩條切線，由題意點(diǎn)在直線和上，MN即是由E點(diǎn)生成的橢圓的極線.因此直線MN的方程為MN的方程求出后剩下工作屬常規(guī)計(jì)算.設(shè)G、H分別是直線MN與漸近線及的交點(diǎn)，由方程組解得故因?yàn)辄c(diǎn)E在雙曲線所以分析：如果是常規(guī)方法求直線MN的方程，只能是觀察：由題意點(diǎn)在直線和上，因此有故點(diǎn)M、N均在直線上，因此直線MN的方程為應(yīng)該說很難觀察，所以很多學(xué)生只能不了了之.題3、（2010江蘇18）、在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,.（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（Ⅱ）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（Ⅲ）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很簡單，略.（Ⅲ）我們先看看常規(guī)做法：點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線，與橢圓聯(lián)立得直線，與橢圓聯(lián)立得當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：令，解得：.此時(shí)必過點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）.所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）.分析：怎么樣？目瞪口呆吧.應(yīng)該說，一點(diǎn)也不難，但是很難算對.如果知道點(diǎn)T的坐標(biāo)為，事實(shí)上T的軌跡是，可以看成是一條極線：，所以它一定過定點(diǎn)D（1，0）.題4、已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為，。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。解法一：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為。 … 1分∵，，∴，。 ……………… 4分∴橢圓的方程為。 ……… 5分（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為 …………7分,若，由對稱性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為?！?分以下證明對于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則。………… 9分設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得……… 10，……12分∴，即與重合，這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。 13分解法二：（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為 ………… 7分取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為∴若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。 ……………8分以下證明對于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則?！?分的方程是的方程是消去得… ①以下用分析法證明時(shí)，①式恒成立。要證明①式恒成立，只需證明即證即證……………… ②∵∴②式恒成立。這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。解法三：（Ⅱ）由得即。記，則?！? 6分的方程是的方程是 …… 7分由得 … 9分即 ……………… 12分這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上?！? 13分4.2競賽試題中的極點(diǎn)與極線作為更高要求的數(shù)學(xué)競賽，有關(guān)極點(diǎn)與極線的試題更是頻頻出現(xiàn)，而且越來越受到重視.【例5】(2002澳大利亞國家數(shù)學(xué)競賽)已知為銳角三角形，以為直徑的⊙分別交于，分別過和作⊙的兩條切線交于點(diǎn)，分別過和作⊙的兩條切線交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在線段上.KKABCPQR(-a,y2)KABCPQRSS(a,y1)圖8xy下面將圓加強(qiáng)為橢圓，并給出證明.證明：以為軸，線段為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)的極線，代入橢圓方程解得點(diǎn)，直線，同理我們可以得到直線，將直線的方程與的方程聯(lián)立解得，可驗(yàn)證其坐標(biāo)滿足直線的方程，所以三點(diǎn)共線.評析：原題用純平面幾何方法證明，難度較大【1】，而用極點(diǎn)與極線方法證明不僅顯得簡潔，而且此結(jié)論顯然還可推廣到其他圓錐曲線上.【例6】(《中等數(shù)學(xué)》2006年第8期P42)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，作直線與橢圓交于點(diǎn)，過分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，過分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，求連線所在的直線方程評析：該題實(shí)質(zhì)上就是求橢圓內(nèi)一點(diǎn)對應(yīng)的極線方程，由定理1立即可得答案為.【例7】(《中學(xué)數(shù)學(xué)》2006年第7期新題征展77)設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，求證點(diǎn)的軌跡是一條定直線.評析：顯然該定直線為點(diǎn)對應(yīng)的極線：.從例6、例7可以看到，以極點(diǎn)與極線為背景的試題深受命題者的青睞.4.3一些結(jié)論中的極點(diǎn)與極線圓錐曲線中有關(guān)極點(diǎn)與極線的性質(zhì)，一直是人們探討的熱點(diǎn)，文【2】與文【3】所述的圓錐曲線性質(zhì)都源于圓錐曲線中極點(diǎn)與相應(yīng)的極線的性質(zhì).譬如【定理】線段是過橢圓長軸上定點(diǎn)的弦，是長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與直線交于兩點(diǎn)，并且直線的斜率存在且不為零，則有.這個(gè)定理在雙曲線與拋物線中也成立.利用該定理還可證明文【5】至【13】中所述的結(jié)論.評析：由定理1知，該定理中定點(diǎn)，直線即為一對極點(diǎn)與極線，從另一方面來說，該定理是【例1】的推廣形式，作者把它稱為一個(gè)基礎(chǔ)性定理，是因?yàn)樵摱ɡ砜梢宰C明很多圓錐曲線的性質(zhì).事實(shí)上，文【2】所述的圓錐曲線性質(zhì)也都可以用極點(diǎn)與極線的性質(zhì)證明，文【3】則完全是定理1的一種特例.定理1和定理2反映極點(diǎn)與相應(yīng)的極線的基本性質(zhì)，應(yīng)用非常廣泛.一點(diǎn)一線，闡述著數(shù)學(xué)的樸素之美，也是極致之美.結(jié)論極點(diǎn)與極線是高等幾何中的重要概念，當(dāng)然不是《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也不屬于高考考查的范圍，但由于極點(diǎn)與極線是圓錐曲線的一種基本特征，因此在高考試題中必然會有所反映，自然也會成為高考試題的命題背景，應(yīng)當(dāng)了解極點(diǎn)與極線的概念，掌握有關(guān)極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)，只有這樣，才能“識破”試題中蘊(yùn)含的有關(guān)極點(diǎn)與極線的知識背景，進(jìn)而把握命題規(guī)律.參考文獻(xiàn)[1]張留杰.極點(diǎn)極線的又一性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2016(11):30-31.[2]邵瓊.極點(diǎn)與極線背景下高考圓錐曲線試題研究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2016(04):50-52.[3]黃嘉欣.高觀點(diǎn)下再看問題本質(zhì)——圓錐曲線極點(diǎn)與極線的一個(gè)性質(zhì)應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2015(08):12-14.[4]趙臨龍.一道幾何命題射影解法的啟示[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào),2015,31(03):11-13.[5]王文彬.極點(diǎn)、極線與圓錐曲線試題的命制[J].數(shù)學(xué)通訊,2015(08):62-66.[6]黃燕華,林生放.利用極線極點(diǎn)的性質(zhì)巧解有關(guān)圓的幾何題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜