微分中值定理

./微分中值定理班級：姓名：學(xué)號：摘要微分中值定理是一系列中值定理的總稱,是研究函數(shù)的有力工具,包括費(fèi)馬中值定理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理.以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個(gè)微分學(xué)的重要理論。它不僅溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,而且也是微分學(xué)理論應(yīng)用的橋梁,本文在此基礎(chǔ)上,綜述了微分中值定理在研究函數(shù)性質(zhì),討論一些方程零點(diǎn)〔根的存在性,和對極限的求解問題,以及一些不等式的證明.羅爾定理定理1若函數(shù)f滿足下列條件：<1>在閉區(qū)間連續(xù)；<2>在開區(qū)間可導(dǎo)；<3>,則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的連續(xù)曲線上,若端點(diǎn)值相等則在曲線上至少存在一條水平曲線?！沧ⅲ涸诹_爾定理中,三個(gè)條件有一個(gè)不成立,定理的結(jié)論就可能不成立.例1若在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明：在內(nèi)方程至少存在一個(gè)根.證明：令顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),而且根據(jù)羅爾定理,至少存在一個(gè),使至少存在一個(gè)根.例2求極限：解：用有拉格朗日中值定理定理2：若函數(shù)滿足如下條件：<1>在閉區(qū)間連續(xù)；<2>在開區(qū)間可導(dǎo),則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得顯然,特別當(dāng)時(shí),本定理的結(jié)論即為羅爾中值定理的結(jié)論．這表明羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形．拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn),該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線．此外,拉格朗日公式還有以下幾種等價(jià)表示形式,供讀者在不同場合適用：；,；,．值得注意的是：拉格朗日公式無論對于,還是都成立,而則是介于與之間的某一定數(shù)．而后兩式的特點(diǎn),在于把中值點(diǎn)表示成了,使得不論為何值,總可為小于1的某一正數(shù)．例3求證.證明：當(dāng)時(shí),顯然設(shè)對在以1與為端點(diǎn)的閉區(qū)間上用拉格朗日中值定理,存在介于1與之間的,使,即當(dāng)時(shí),,,但此時(shí)注意與均為負(fù)值,所以仍有,即對不等式恒成立.當(dāng)時(shí),,,所以有.例4證明當(dāng)時(shí),。證明：要證,只要證設(shè),,由在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且于是,即故原式成立.推論1若函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),且,則為上的一個(gè)常量函數(shù)。推論2若函數(shù)和在區(qū)間上可導(dǎo),且,則在區(qū)間上和只相差某一常數(shù),即：〔為某一常數(shù)推論3〔導(dǎo)函數(shù)極限定理設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且極限存在,則在點(diǎn)可導(dǎo),且.柯西中值定理定理3〔柯西中值定理設(shè)函數(shù)和滿足<1>在閉區(qū)間上都連續(xù)；<2>在開區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)；<3>和不同時(shí)為0；<4>,則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得例5證明證明：令則就是求對在〔0,1上用柯西中值定理有：當(dāng)即.所以原式成立。例6函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),試證：存在,使得.證明：令,易知,在上滿足柯西中值定理的條件,于是可得存在,使,即,亦即.求不定式極限:1.型不定式極限定理4若函數(shù)和滿足：〔1；〔2在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo),且；〔3〔可為實(shí)數(shù),也可為或,則例7求解：這是型不定式,故例8求解容易檢驗(yàn)與在點(diǎn)的條件下滿足洛必達(dá)法則的條件,又因所以.2、型不定式極限定理5若函數(shù)和滿足〔1〔2在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo),且；〔3〔可為實(shí)數(shù),也可為或,則.例9求解：這是型不定式,故微分中中值定理在級數(shù)方面的應(yīng)用例10設(shè)g<x>在點(diǎn)x=0的某領(lǐng)域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),并且有下面的極限：.例11證正項(xiàng)級數(shù)收斂.證明：作輔助函數(shù)則.當(dāng)時(shí),在上用中值定理,有于是由收斂,即得所證.討論方程根的問題:例12為多項(xiàng)式的二重根的充要條件是同為與的根.證明：必要性設(shè)為的二重根,則是多項(xiàng)式,于是故充分性若是、的根,則有多項(xiàng)式,使兩邊求導(dǎo)有故即是的根,則從而即是的二重根.一些不等式的證明:例13設(shè)都是正數(shù),有不等式≤其中等號成立證明：取函數(shù),它的定義域是區(qū)間故不妨設(shè)≤≤≤令或有≤≤將函數(shù)在展開泰勒公式〔到二階導(dǎo)數(shù)有其中于與之間,顯然≤0于是,有當(dāng)時(shí),分別有…………將上述n個(gè)不等式兩端分別相加,有：≤即：≤亦即：≤因?yàn)樗?不等式中等號成立亦即：因?yàn)樗?不等式中等號成立。參考文獻(xiàn)[1]楊鴻忠.微分中值定理的應(yīng)用<一>[J].2011,27<08>144-145.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析<上冊>[M].北京:高等教育出版社,2010:122-137.[3]黨艷霞,淺談微分中值定理及其應(yīng)用.XX師范學(xué)院學(xué)報(bào)[J].<自然科學(xué)報(bào)>2010