第11章《三角形》（教師版）

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)易錯(cuò)題真題匯編（提高版）第11章《三角形》考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?武山縣一模）若四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，則它一定是（）A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上說(shuō)法均不正確解：對(duì)角線互相垂直且相等平行四邊形是正方形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；所以無(wú)法確定其形狀．故選：D．2．（2分）（2023春?義烏市月考）如圖，有一特定的紙帶，其邊沿夾角為15°，現(xiàn)將該紙帶沿BD翻折，∠GEA＝30°，則∠EDB＝（）A．67.5° B．75° C．45° D．50°解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由題意可知，∠M＝15°，∵∠AEG＝30°，∴∠DEB＝30°，∴∠EDM＝180°﹣∠DEB﹣∠M＝135°，由折疊可知，∠EDB＝∠MDB，∴∠EDB＝135°÷2＝67.5°．故選：A．3．（2分）（2023?開原市一模）將一副三角板如圖放置，使點(diǎn)A落在DE上，三角板ABC的頂點(diǎn)C與三角板CDE的直角頂點(diǎn)C重合，若BC∥DE，AB與CE交于點(diǎn)F，則∠AFC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°解：∵BC∥DE，∠E＝30°，∴∠BCE＝∠E＝30°，∵∠B＝45°，∠AFC＝∠B+∠BCE，∴∠AFC＝∠B+∠BCE＝45°+30°＝75°，故選：D．4．（2分）（2023春?惠山區(qū)期中）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有（）①同位角相等；②三角形的高相交于三角形的內(nèi)部；③三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)內(nèi)角；④一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和就增加180°；⑤兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)解：①只有兩平行直線被第三條直線所截時(shí)，同位角才相等，故說(shuō)法①錯(cuò)誤；②只有銳角三角形的三條高相交于三角形的內(nèi)部，故說(shuō)法②錯(cuò)誤；③三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，故說(shuō)法③錯(cuò)誤；④一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和就增加180°，此說(shuō)法④正確；⑤兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角可能相等，也可能互補(bǔ)，故說(shuō)法⑤錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故選：B．5．（2分）（2022秋?中山市期末）如圖．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．120° D．360°解：如圖：∵∠1＝∠2+∠C，∠2＝∠A+∠D，∴∠1＝∠A+∠C+∠D，∵∠1+∠B+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，故選：B．6．（2分）（2023?長(zhǎng)陽(yáng)縣一模）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④解：∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③錯(cuò)誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正確；故選：C．7．（2分）（2023春?廣饒縣期中）如圖：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，則∠O1+∠O2+∠O3＝（）度．A．84 B．111 C．225 D．201解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴①中，∠2+∠4＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝（180°﹣42°）＝69°，故∠O1＝180°﹣69°＝111°；②中，∠O2＝∠4﹣∠2＝[（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝∠A＝21°；③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，則∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+180°﹣138°＝222°故∠O3＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣×222°＝69°∴∠O1+∠O2+∠O3＝111°+21°+69°＝201°故選：D．8．（2分）（2022春?東坡區(qū)期末）如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，點(diǎn)M在線段CD上，且MN⊥CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，則∠N的度數(shù)為（）A．22° B．27° C．30° D．37°解：如圖所示，∠NAC是三角形ABC的一個(gè)外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，∵M(jìn)N⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA與∠COM互為對(duì)頂角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故選：B．9．（2分）（2021秋?滕州市期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，則∠BA'C的度數(shù)為（）A．120° B．110° C．100° D．90°解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°．故選：A．10．（2分）（2022秋?廣州期中）如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)為22，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，則BC長(zhǎng)的可能值有（）個(gè)．A．4 B．5 C．6 D．7解：∵△ABC的周長(zhǎng)為22，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，∴AC＝為整數(shù)，∴BC邊長(zhǎng)為偶數(shù)，∴BC＝4，6，8，10，即BC的長(zhǎng)可能值有4個(gè)，故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023春?秦淮區(qū)期末）如圖，五邊形ABCDE的兩個(gè)外角的平分線交于點(diǎn)P．若∠P＝112°，則∠A+∠B+∠E＝316°．解：在△PCD中，∵∠P＝112°，∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠P＝180°﹣112°＝68°，∵五邊形ABCDE的兩個(gè)外角的平分線交于點(diǎn)P，∴∠BCD+∠EDC＝360°﹣2（∠PCD+∠PDC）＝360°﹣2×68°＝224°，∵∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠E＝540°﹣∠BCD﹣∠EDC＝540°﹣224°＝316°．故答案為：316．12．（2分）（2023?海棠區(qū)一模）如圖所示，在正六邊形ABCDEF內(nèi)，以AB為邊作正五邊形ABGHI，則∠CBG＝12°．解：在正六邊形ABCDEF內(nèi)，正五邊形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．故答案為：12°．13．（2分）（2023春?南京期中）南京大報(bào)恩寺琉璃塔地基平面可以看成八邊形，它的每個(gè)內(nèi)角都相等，則每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是135°．解：∵一個(gè)八邊形，它的每個(gè)內(nèi)角都相等，∴這個(gè)八邊形的每個(gè)外角都相等，∴每個(gè)外角的度數(shù)＝360°÷8＝45°，∴每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)＝180°﹣45°＝135°．故答案是：135．14．（2分）（2023春?宛城區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn)，當(dāng)△BDF為直角三角形時(shí)，則∠ADF的度數(shù)為20°或60°．解：如圖所示，當(dāng)∠BFD＝90°時(shí)，∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；如圖，當(dāng)∠BDF＝90°時(shí)，同理可得∠BAD＝30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE＝50°，∴∠BFD＝∠BCE＝50°，∴∠ADF＝∠BFD﹣∠BAD＝20°，綜上所述，∠ADF的度數(shù)為20°或60°．故答案為：20°或60°．15．（2分）（2023春?天門期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2＝∠A＝30°，則∠ADB＝120°．解：∵∠1＝∠2＝∠A＝30°，∠ADB+∠A+∠2＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠2＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案為：120°．16．（2分）（2022春?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中有兩個(gè)內(nèi)角相等，且BD是△ABC的角平分線，∠BAE＝∠BAC，∠EDF＝∠EDA．若DF∥BC，則∠BAE＝或22.5°．解：∵∠BAE＝∠BAC，∠EDF＝∠EDA，∴設(shè)∠BAE＝x，∠EDF＝y(tǒng)，則：∠BAC＝3x，∠FDA＝3y，∵DF∥BC，∴∠ACB＝∠FDA＝3y，∠CBD＝∠EDF＝y(tǒng)，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABC＝2y，①當(dāng)∠ABC＝∠BAC時(shí)，由題意得：．∴，∴∠BAE＝x＝（）°，②當(dāng)∠BAC＝∠C時(shí)，由題意得：∴．∴∠BAE＝22.5°．故答案為：或22.5．17．（2分）（2023春?常州期末）將一副三角尺按如圖所示放置，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C，∠B＝60°，∠E＝45°，斜邊AB⊥DE，垂足為F，則∠ACD＝15°．?解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，∵DE⊥AB，∴∠AFM＝90°，∴∠AMF＝90°﹣∠A＝60°，∴∠AMF＝∠CME＝60°，∵∠E＝45°，∴∠MCE＝180°﹣∠E﹣∠CME＝75°，∵∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠DCE﹣∠MCE＝15°，故答案為：15°．18．（2分）（2023春?金牛區(qū)校級(jí)期中）△ABC中，∠A＝90°．現(xiàn)進(jìn)行第一次操作：如圖1作射線BA1，使得∠ABA1＝∠ABC，作射線CA1，使得∠ACA1＝∠ACD．再進(jìn)行第二次操作：如圖2作射線BA2，使得∠A1BA2＝∠A1BC，作射線CA2，使得∠A1CA2＝∠A1CD．再進(jìn)行第三次操作：如圖3作射線BA3使得∠A2BA3＝∠A2BC，作射線CA3，使得∠A2CA3＝∠A2CD．則∠A3＝20°．解：第一次操作：∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵∠ABA1＝∠ABC，∠ACA1＝∠ACD，∴∠DCA1＝（90°+∠ABC）＝45°+，∠CBA1＝∠ABC，第二次操作：∵∠A1BA2＝∠A1BC，∠A1CA2＝∠A1CD，∴A2BC＝∠A1BC＝∠ACB，∠A2CD＝∠A1CD＝（90°﹣∠ABC）＝60°﹣∠ABC，第三次操作：∵∠A2BA3＝∠A2BC，∠A2CA3＝∠A2CD，∴∠A3BC＝∠ACB，∠A3CD＝40°﹣∠ABC，∴∠A3＝∠A3CD﹣∠A3BC＝40°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；故答案為：20°．19．（2分）（2023春?吳江區(qū)期中）如圖，將△ABC沿BC方向平移到△DEF（B、E、F在同一條直線上），若∠B＝46°，AC與DE相交于點(diǎn)G，∠AGD和∠DFB的平分線GP、FP相交于點(diǎn)P，則∠P＝67°．解：∵△ABC沿BC方向平移到△DEF（B、E、F在同一條直線上），∴DF∥AC，AB∥DE，∴∠DEF＝∠B＝46°，∠D＝∠AGD，∴∠DFE+∠D＝180°﹣46°＝134°，∵∠P+∠DGP＝∠D+∠DFP，∴∠P＝∠D+∠DFP﹣∠DGP＝∠DFE+∠D＝（∠DFE+∠D）＝67°．故答案為：67．20．（2分）（2022春?鐵西區(qū)期末）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，點(diǎn)D在邊AB上，請(qǐng)?jiān)谶匓C上找一點(diǎn)E，將紙片沿直線DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，若EF與三角形紙片ABC的邊AC平行，則∠BED的度數(shù)為25°或115°．解：①當(dāng)點(diǎn)F在AB的上方時(shí)，如圖：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠BEF＝∠C＝50°，∴∠BED＝∠FED＝∠BEF＝×50°＝25°；②當(dāng)點(diǎn)F在BC的下方時(shí)，如圖：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠CEF＝∠C＝50°，∵∠F＝∠B＝30°，∴∠BGD＝50°+30°＝80°，∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠BDE＝∠BDG＝×70°＝35°；∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝180°﹣30°﹣35°＝115°綜上所述，∠BDE的度數(shù)為25°或115°．故答案為：25°或115°．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?高安市期中）如圖，在△ABC中，AD、AE分別是△ABC的角平分線和高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE．解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵AD是角平分線，∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∵AE是高，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．22．（6分）（2023春?鹽城期末）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高，且∠ABC＝∠DAC，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE交AC于點(diǎn)F．求證：（1）∠BAC＝90°；（2）∠ADF＝∠AFD．解：（1）∵AD是高，∴∠BAD+∠ABD＝90°．又∠ABC＝∠DAC，∴∠BAD+∠DAC＝90°，即∠BAC＝90°．（2）∵DF∥BE，∴∠DBE＝∠CDF，∠BED＝∠ADF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠CDF．∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∴∠ADF＝∠BED＝∠CDF+∠BAE．∵AD是高，∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠DAC+∠C＝90°．又∠ABC＝∠DAC，∴∠BAE＝∠C．∴∠ADF＝∠CDF+∠C．又∠AFD＝∠CDF+∠C，∴∠ADF＝∠AFD．23．（8分）（2023春?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上．（1）填空：∠1＝120°，∠2＝90°．（2）如圖2，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，當(dāng)0＜n＜90，且點(diǎn)C恰好落在DG邊上時(shí)，①請(qǐng)直接寫出∠1＝（120﹣n）°，∠2＝90+n°．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）；②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．（3）如圖1三角板ABC的放置，現(xiàn)將AB繞點(diǎn)A以每秒1°的轉(zhuǎn)速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)CF繞點(diǎn)C以每秒2°的轉(zhuǎn)速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF第一次旋轉(zhuǎn)回到起點(diǎn)時(shí)，CF、AB均停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（s）．請(qǐng)求出當(dāng)t為何值時(shí)，AB∥CF．解：（1）由圖1可知：∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝∠ACF＝90°．故答案為：120，90．（2）①如圖2，∵DG∥EF，∴∠DCB＝∠CBF＝n°，∴∠ACD＝90°﹣n°，∴∠1＝∠A+∠ACD＝（120﹣n）°，∵DG∥EF，∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）＝（90+n）°．故答案為：（120﹣n），（90+n）．②當(dāng)時(shí)，，解得n＝30．∴n的值是30．答：n的值是30．（3）分類如下：①0＜t＜90，如圖：由題意，得∠ACF'＝（90+2t）°，∠CAB'＝（t﹣30）°，∵AB'∥CF'，∴∠ACF'+∠CAB'＝180°，即（90+2t）°+（t﹣30）°＝180°，解得t＝40．②90≤t＜120，如圖：由題意，得∠ACF'＝（270﹣2t）°，∠CAB'＝（t﹣30）°，∵AB'∥CF'，∴∠ACF'＝∠CAB'，即（270﹣2t）°＝（t﹣30）°解得t＝100．③120≤t＜180，如圖：由題意，得∠F'CA＝（2t﹣270）°，∠CAB'＝（t﹣30）°，∵AB'∥CF'，∴∠F'CA+∠CAB'＝180°，即（2t﹣270）°+（t﹣30）°＝180°，解得t＝160．綜上所述，當(dāng)t＝40，100，160時(shí)，AB∥CF．24．（8分）（2022春?漣水縣校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A、B分別在∠MON的邊OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線交∠OAB的平分線于點(diǎn)D．（1）如圖（1）當(dāng)∠MON＝90°，∠OAB＝60°時(shí)，∠D＝45°．（2）如圖（2）當(dāng)∠D＝60°時(shí)，∠MON＝120°．（3）在解題過(guò)程中，你認(rèn)為∠D與∠MON是否有數(shù)量關(guān)系，如有請(qǐng)寫出關(guān)系式并說(shuō)明理由．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠OBD＝∠CBN＝×150°＝75°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案為：45；（2）設(shè)∠BAD＝α，∠MON＝β，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝β+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝β+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝β+α﹣α＝β＝60°，∴β＝120°．故答案為：120；（3）∠D＝∠MON，理由如下：設(shè)∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，設(shè)∠MON＝β，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝β+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝β+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝β+α﹣α＝β＝∠MON．25．（8分）（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)Q．（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，則∠DPC＝115°，∠Q25°；（2）若∠A＝50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由；（3）若△PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)45°或60°或120°或135°．解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝70°，∴∠BCP＝∠ACB＝35°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，∵∠PDE＝∠ADE＝30°，∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；又∵∠ACQ＝∠ACF，∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP＝（∠ACF+∠ACB）＝90°，∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；故答案為：115，25；（2）∠DPC、∠Q的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化．理由：由（1）得：∵∠PDE＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB，∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝115°；∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；（3）設(shè)∠A＝x，則，∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，∴，，∴，，因?yàn)椤鱌CQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，∴①當(dāng)∠Q＝3∠QPC時(shí)，，∴x＝135°，②當(dāng)∠QPC＝3∠Q時(shí)，，∴x＝45°，③當(dāng)∠PCQ＝3∠Q時(shí)，，∴x＝60°，④當(dāng)∠PCQ＝3∠QPC時(shí)，，∴x＝120°，綜上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°．故答案為：45°或60°或120°或135°．26．（8分）（2021秋?寧安市期末）以直線MN上點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，將直角三角板AOB的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（1）如圖①，三角板AOB的邊OB在射線ON上，若∠BOC＝40°，則∠AOC＝50°．（2）如圖②，將三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，使得OB平分∠CON，請(qǐng)判斷OA平分∠COM嗎？并說(shuō)明理由．（3）若∠CON＝50°，將三角板AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，使得，則∠BON＝30°或60°.（可用備用圖．）解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°；故答案為：50°；（2）OA平分∠COM，理由：∵OB平分∠CON，∴∠BON＝∠BOC，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+BOC＝90°，∠AOM+∠BON＝90°，∴∠AOC＝∠AOM，∴OA平分∠COM；（3）當(dāng)BO在∠CON內(nèi)部，如圖：設(shè)∠BOC＝x°，則∠AOM＝3x°，∵∠AOM+∠AOB+∠BON＝180°，∠CON＝50°，∴3x+90+50﹣x＝180，解得x＝20，即∠BOC＝20°，∴∠BON＝∠CON﹣∠BOC＝50°﹣20°＝30°；當(dāng)BO在∠CON外部，如圖：設(shè)∠BOC＝x°，則∠AOM＝3x°，∵∠AOM+∠AOB+∠BON＝180°，∠CON＝50°，∴3x+90+50+x＝180，解得x＝10，