專題01開放探索型問題-2022年中考數(shù)學專題拓展提高講練(解析版)

1.考點解析所謂開放探索型問題指的是有些數(shù)學問題的條件、結論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的特點進行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個、多個或所有答案)或探索出解決問題的多種方法．?????2.考點分類：考點分類見下表考點分類考點內容考點分析與常見題型?？紵狳c等腰三角形構成解答題求符合要求的點坐標一般考點平行四邊形的構成解答題求符合要求的點坐標冷門考點圓的相切討論解答題求動點運動時間【方法點撥】?由于開放探究型試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學們在復習時，首先對于基礎知識一定要復習全面，并力求扎實牢靠；其次是要加強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強、結構獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：??1．利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．?2．反演推理法（反證法），即假設結論成立,根據(jù)假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致．?3．分類討論法．當命題的題設和結論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果．?4．類比猜想法．即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴密的論證一、中考題型分析本節(jié)考點在2019年中考數(shù)學試卷中出現(xiàn)概率還會很高，也會延續(xù)以前的考查方式和規(guī)律，不會有很大變化。由于開放探究型問題對考查學生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年中考命題的一個熱點．通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結論開放和探索，條件與結論都開放與探索及方案設計、命題組合型、問題開放型等。二、典例精析★考點一：全等三角形，相似三角形問題◆典例一：問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系.小王同學探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG＝BE，連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 ；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；結論應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°，試求此時兩艦艇之間的距離．能力提高：如圖4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，則MN的長為 ．【考點】全等三角形，構造全等【解析】本題的核心是根據(jù)已知的相等線段的條件構造出一組全等三角形，然后再利用二次全等去證明線段之間的關系。如何利用全等三角形的性質和角度之間的關系是解題的關鍵解答：問題背景：EF＝BE＋FD.………………2分◆典例二：如圖2－1－1，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為F，連結DF，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝eq\r(2).其中正確的結論有 ()A．4個 B．3個C．2個 D．1個圖2－1－1第1題答圖【考點】相似三角形，相似比，三角函數(shù)學科#￥網(wǎng)【解析】如答圖，過點D作DM∥BE交AC于點N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC于點F，∴∠ABC＝∠EFA＝90°，∴△AEF∽△CAB.故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴eq\f(AE,BC)＝eq\f(AF,CF)，∵AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，∴eq\f(AF,CF)＝eq\f(1,2)，∴CF＝2AF.故②正確；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝eq\f(1,2)BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC.故③正確；設EF＝1，則BF＝2，∵∠BAD＝90°，BE⊥AC，∴∠BAF＋∠FAE＝90°，∠FAE＋∠AEF＝90°，∴∠BAF＝∠AEF，∴△ABF∽△EAF，∴eq\f(AF,EF)＝eq\f(BF,AF)，∴AF＝eq\r(EF·BF)＝eq\r(2)，∴tan∠CAD＝tan∠ABF＝eq\f(AF,BF)＝eq\f(\r(2),2).故④錯誤．故選B.★考點二：等腰三角形線段與角度的關系探究◆典例一：已知O為直線MN上一點，OP⊥MN，在等腰直角三角形ABO中，∠BAO＝90°，AC∥OP交OM于C，D為OB的中點，DE⊥DC交MN于E.圖2－1－8(1)如圖2－1－8①，若點B在OP上，則①AC__＝__OE(選填“>”“<”或“＝”)；②線段CA，CO，CD滿足的等量關系式是__CO＋CA＝eq\r(2)CD__；(2)將圖①中的等腰直角三角形ABO繞O點順時針旋轉α(0°<α<45°)，如圖②，那么(1)中的結論②是否成立？請說明理由；(3)將圖①中的等腰直角三角形ABO繞O點順時針旋轉α(45°<α<90°)，請你在圖③中畫出圖形，并直接寫出線段CA，CO，CD滿足的等量關系式__CO－CA＝eq\r(2)CD__．【考點】圖形的旋轉，全等三角形【解答】解：(1)①＝；②CO＋CA＝eq\r(2)CD；(2)如答圖①，連結AD，∵D為等腰直角三角形ABO斜邊OB的中點，∴AD＝OD，AD⊥DO，又∵DE⊥DC，∴∠ADC＝∠ODE，又∵AC⊥OC，∴∠ADO＋∠ACO＝180°，∴∠DAC＋∠DOC＝180°，∴∠DAC＝∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC＝OE，在Rt△CDE中，CO＋OE＝CO＋CA＝eq\r(2)CD. 第9題答圖①第9題答圖②(3)如答圖②，CO－CA＝eq\r(2)CD.學#￥科網(wǎng)◆典例二：如圖2－2－1，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點，則以下結論：①PM＝PN恒成立；②OM＋ON的值不變；③四邊形PMON的面積不變；④MN的長不變，其中正確的個數(shù)為(B)A．4B．3 C．2 D．1 圖2－2－1 第1題答圖∴EM＝NF，PM＝PN，故①正確；∴S△PEM＝S△PNF，∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值，故③正確；∵OM＋ON＝OE＋ME＋OF－NF＝2OE＝定值，故②正確；MN的長度是變化的，故④錯誤．故選B.1.如圖2－1－5，CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB.E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：①如圖①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE____CF；EF____|BE－AF|(選填“＞”“＜”或“＝”)；②如圖②，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關于∠α與∠BCA關系的條件__，使①中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立．(2)如圖③，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請寫出EF，BE，AF三條線段數(shù)量關系的合理猜想(不要求證明)．圖2－1－5【考點】全等三角形的證明，圖形角度的關系替換∴△BCE≌△CAF(AAS)，∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF－CE，∴EF＝|BE－AF|.(2)猜想：EF＝BE＋AF.證明：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝EC＋CF＝BE＋AF.2.如圖2－2－3，∠AOB＝45°，點M，N在邊OA上，OM＝x，ON＝x＋4，點P是邊OB上的點，若使點P，M，N構成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是___．【考點】等腰三角形構成問題，注意分類討論，可以通過兩圓一線法來找點學科￥%網(wǎng)以MN為半徑畫圓，與直線OB相離，說明此時以∠PNM為頂角，以MN為腰，符合條件的點P不存在，還有一個是以NM為底邊的符合條件的點P；點M沿OA運動，到M1時，發(fā)現(xiàn)⊙M1與直線OB有一個交點，∴當4＜x＜4eq\r(2)時，圓M在移動過程中，則會與OB除了O外有兩個交點，滿足點P恰好有三個．綜上所述，若使點P，M，N構成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是x＝0或x＝4eq\r(2)－4或4＜x＜4eq\r(2).3.如圖2－2－4，正方形ABCD邊長為1，以AB為直徑作半圓，P是CD中點，BP與半圓交于點Q，連結DQ.給出如下結論：①DQ＝1；②eq\f(PQ,BQ)＝eq\f(3,2)；③S△PDQ＝eq\f(1,8)；④cos∠ADQ＝eq\f(3,5).其中正確結論是____(填序號)． 圖2－2－4第3題答圖【考點】圓的切線長定理，以及相似三角形，勾股定理4.如圖2－2－8①，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A(－1，0)，點B(0，eq\r(3))．(1)求∠BAO的度數(shù)；(2)如圖①，將△AOB繞點O順時針旋轉得△A′OB′，當A′恰好落在AB邊上時，設△AB′O的面積為S1，△BA′O的面積為S2，則S1與S2有何關系？為什么？(3)若將△AOB繞點O順時針旋轉到如圖②所示的位置，S1與S2的關系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷．① ②【考點】三角函數(shù)與旋轉的性質【解析】(1