湖南省長(zhǎng)沙市麓山教育共同體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

2023-2024-1麓山共同體高一上第一次聯(lián)考試卷高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷總分：150分時(shí)量：120分鐘一?單選題（每小題5分，共40分）1.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合M中元素的特征，對(duì)元素進(jìn)行判斷.【詳解】且，則；且，則，所以.故選：A2.若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意可知和是方程的兩個(gè)根，且，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得.故選：B.3.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】解法一：由化簡(jiǎn)得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡(jiǎn)即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳解】解法一：因?yàn)椋?，所以，即，即，所?所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C4.若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】【詳解】由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．5.已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，根據(jù)二次方程根的分布可得式子，計(jì)算即可.【詳解】令由題可知：則，即故選：C6.若關(guān)于x的不等式在時(shí)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合求出二次函數(shù)在時(shí)的最大值即可.【詳解】不等式在時(shí)有解，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，.由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A.7.若不等式對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】原不等式可化為，設(shè).只需求出在時(shí)的最小值，即可得出答案.【詳解】原不等式可化為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，函數(shù)有最小值為2.因?yàn)楹愠闪?，所?故選：C.8.定義：表示集合中元素的個(gè)數(shù)，.已知集合，集合，集合，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.且【答案】D【解析】【分析】由題意，，由，得或，分類討論集合B中元素個(gè)數(shù)即可.【詳解】，，，又，或，方程的解為；方程可能有0個(gè)解，2個(gè)相同的解，2個(gè)不同的解，或或，故只需要排除，若，①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)方程的解為，時(shí)方程的解為，或，成立，②若是方程的根，則，方程的解為和，，成立，③若1是方程的根，則，方程的解為和，，成立，0不可能是方程的根，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，，故的取值范圍是且.故選：D．二?多選題（每小題5分，共20分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分，全部選對(duì)得5分）9.已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的運(yùn)算性質(zhì)、特殊值法分析運(yùn)算判斷即可得解.【詳解】選項(xiàng)A，∵，∴，，∴，故A正確；選項(xiàng)B，取，，滿足，但，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，∵，∴.又∵，由成立，則∴，則有，∴，故C正確；選項(xiàng)D，∵，∴，∴，故D正確；故選：ACD.10.下列說(shuō)法中，以下是真命題的是（）．A.存在實(shí)數(shù)，使 B.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】由已知結(jié)合真命題的定義逐一驗(yàn)證每一選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以A選項(xiàng)是真命題；對(duì)于B：因?yàn)樗財(cái)?shù)2不是奇數(shù)，所以B選項(xiàng)是假命題；對(duì)于C：因?yàn)闀r(shí)有，當(dāng)時(shí)有，所以，，所以C選項(xiàng)是真命題；對(duì)于D：因?yàn)楫?dāng)時(shí)有，所以，，所以D選項(xiàng)是真命題.故選：ACD.11.“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的必要不充分條件有（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】討論二次項(xiàng)系數(shù)，求出滿足條件的的范圍，根據(jù)題中條件考查選項(xiàng)即可.【詳解】若關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式為，滿足題意；時(shí)，則必有且解得，故的范圍為，故“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的必要不充分條件的集合必真包含集合，考查選項(xiàng)知滿足條件.故選：12.若x，y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．三?填空題（每小題5分，共20分）13.“?x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)全稱命題“”的否定為特稱命題“”即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，否定全稱命題時(shí)，一是要將全稱量詞改寫為存在量詞，二是否定結(jié)論，所以，命題“?x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是“”.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱命題的否定，屬于簡(jiǎn)單題.全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞、存在量詞改寫為全稱量詞;二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.14.若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到，得到取值范圍.【詳解】，故，則，又，故.故答案為：15.已知正數(shù)，滿足，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得最小值.詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：16.關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】不等式化為，討論與1的大小解出不等式即可得出.【詳解】關(guān)于x的不等式可化為，當(dāng)時(shí)，解得，要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)無(wú)解，當(dāng)時(shí)，解得，要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.四?解答題17.解下列不等式．（1）．（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解一元二次不等式．（2）分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，解二次不等式即可.【小問(wèn)1詳解】不等式，即，解得，所以不等式解集為.【小問(wèn)2詳解】不等式，即，等價(jià)于，解得，所以不等式解集為18.已知集合.（1）若“”是“”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)充分不必要條件可以得出，再列出不等式組計(jì)算即可.（2）分和兩種情況分類討論集合間關(guān)系列不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，，解得，.由“”是“”的充分不必要條件，得，則且等號(hào)不能同時(shí)取到，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，得，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，得，即，由，得或，解得或，或；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知，.（1）若不等式恒成立，求的最大值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）12；（2）4.【解析】【分析】（1）對(duì)給定不等式分離參數(shù)，再利用1的妙用求出最小值作答.（2）變形給定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等式作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，依題意，不等式恒成立，于是所以m的最大值為12.【小問(wèn)2詳解】若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，于是，而，解得，所以的最小值為4.20.某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個(gè)小矩形加一個(gè)正方形面積共為200平方米．計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4200元，在四個(gè)相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)角上鋪設(shè)草坪，造價(jià)為每平方米80元．（1）設(shè)AD長(zhǎng)為x米，總造價(jià)為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)S最小值.【答案】（1）（2），118000元【解析】分析】（1）根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題意，由（1）中的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，且，則，則【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)米時(shí)，元.21.解關(guān)于的不等式:.【答案】答案見解析【解析】【分析】分成，，，，幾種情況分別討論不等式的解集；【詳解】原不等式可化為..（1）當(dāng)時(shí)，有.（2）當(dāng)時(shí)，式，∵，①當(dāng)時(shí)，，∴.②當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)解集為.③當(dāng)時(shí)，.∴.（3）當(dāng)時(shí)，式，∵，∴.∴或.綜上所述，原不等式的解集為:當(dāng)時(shí)，為或；當(dāng)時(shí)，為；當(dāng)時(shí)，為；當(dāng)時(shí)，為；當(dāng)時(shí)，為.22.已知一元二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為且當(dāng)時(shí),恒有(1)求出不等式的解(用表示)；(2)若以二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為8,求的取值范圍；(3)若不等式對(duì)所有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用求得關(guān)于表達(dá)式，進(jìn)而求得不等式的解集.（2）根據(jù)（1）求得三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用面積列方程，求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的取值范圍.（3）根據(jù)（1）中求得的表達(dá)式化簡(jiǎn)不等式.對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）依題意可知，即①，由，故①式