高三數(shù)學 復習試題69 正態(tài)分布 理（含解析）

69正態(tài)分布導學目標：利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．自主梳理1．正態(tài)分布密度曲線及性質(zhì)(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ(x)＝__________________________(其中實數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù))的圖象為正態(tài)分布密度曲線．(2)正態(tài)分布密度曲線的特點①曲線位于x軸________，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線________對稱；③曲線在________處達到峰值____________；④曲線與x軸之間的面積為____；⑤當σ一定時，曲線隨著____的變化而沿x軸移動；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ________，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ________，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．2．正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X≤b)＝________________________，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作________________．(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝____________；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝____________；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝____________.自我檢測1．(2011·大連模擬)下列說法不正確的是()A．若X～N(0,9)，則其正態(tài)曲線的對稱軸為y軸B．正態(tài)分布N(μ，σ2)的圖象位于x軸上方C．所有的隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布D．函數(shù)φ(x)＝eq\f(1,\r(2π))(x∈R)的圖象是一條兩頭低、中間高、關于y軸對稱的曲線2．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(ξ<3)等于()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)3．(2011·湖北)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于()A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．某隨機變量ξ服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布密度函數(shù)為φ(x)＝eq\f(1,\r(8π))，則ξ的期望和標準差分別是()A．0和8 B．0和4C．0和eq\r(2) D．0和25.(2011·遼寧十校聯(lián)考)設兩個正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2探究點一正態(tài)曲線的性質(zhì)例1如圖所示，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布密度曲線的解析式，并求出正態(tài)總體隨機變量的均值和方差．變式遷移1若一個正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π)).(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(－4,4]的概率．探究點二服從正態(tài)分布的概率計算例2設X～N(5,1)，求P(6<X≤7)．變式遷移2設X～N(1,22)，試求：(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X≥5)．探究點三正態(tài)分布的應用例3(2011·青島期末)在某次數(shù)學考試中，考生的成績ξ服從一個正態(tài)分布，即ξ～N(90,100)．(1)試求考試成績ξ位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人？變式遷移3在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該同學中成績在80分～85分的有17人．試計算該班成績在90分以上的同學有多少人？1．正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線，其解析式為：φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈(－∞，＋∞)．2．正態(tài)曲線的特點：(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交．(2)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．(3)曲線在x＝μ時達到峰值eq\f(1,\r(2π)σ).(4)曲線與x軸之間的面積為1.(5)當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中．3．3σ原則：從理論上講，服從正態(tài)分布的隨機變量ξ的取值范圍是R，但實際上ξ取區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)外的數(shù)值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在實際問題中常常認為它是不會發(fā)生的．因此，往往認為它的取值是個有限區(qū)間，即區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)，這就是實用中的三倍標準差規(guī)則，也叫3σ原則．在企業(yè)管理中，經(jīng)常應用這個原則進行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過程控制．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．如圖是正態(tài)分布N(μ，σeq\o\al(2,1))，N(μ，σeq\o\al(2,2))，N(μ，σeq\o\al(2,3))相應的曲線，則有()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ32．(2011·佛山月考)設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c等于()A．1 B．2 C．3 D．43．某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)·10)·(x∈R)，則下列命題中不正確的是()A．該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分B．分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學成績標準差為104．(2010·廣東)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)等于()A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.15855．已知一次考試共有60名同學參加，考生的成績X～N(110，52)，據(jù)此估計，大約應有57人的分數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)？()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]二、填空題(每小題4分，共12分)6.設三個正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)，N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)，N(μ3，σeq\o\al(2,3))(σ3>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則μ1、μ2、μ3按從小到大的順序排列是________；σ1、σ2、σ3按從小到大的順序排列是________．7．在某項測量中，測量結果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為________．8．(2011·青島模擬)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤0)＝________.三、解答題(共38分)9．(12分)設X～N(10,1)．(1)證明：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；(2)設P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．10．(12分)已知某種零件的尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，且φ(80)＝eq\f(1,8\r(2π)).(1)求正態(tài)分布密度函數(shù)；(2)估計尺寸在72mm～88mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？11．(14分)在某市組織的一次數(shù)學競賽中全體參賽學生的成績近似服從正態(tài)分布N(60,100)，已知成績在90分以上(含90分)的學生有13人．(1)求此次參加競賽的學生總數(shù)共有多少人？(2)若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學生，問受獎學生的分數(shù)線是多少？69正態(tài)分布自主梳理1．(1)eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈(－∞，＋∞)(2)①上方②x＝μ③x＝μeq\f(1,σ\r(2π))④1⑤μ⑥越小越大2．(1)eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dxX～N(μ，σ2)(2)①0.6826②0.9544③0.9974自我檢測1．C2．D[由正態(tài)分布圖象知，μ＝3為該圖象的對稱軸，P(ξ<3)＝P(ξ>3)＝eq\f(1,2).]3．C[∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，由題意知圖象的對稱軸為直線x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.∴P(0<ξ<2)＝eq\f(1,2)P(0<ξ<4)＝0.3.]4．D[由φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(8π))對照得σ＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝eq\r(Dξ)＝2.]5．A[由正態(tài)分布N(μ，σ2)性質(zhì)知，x＝μ為正態(tài)分布密度函數(shù)圖象的對稱軸，故μ1<μ2；又σ越小，圖象越高瘦，故σ1<σ2.]課堂活動區(qū)例1解題導引要確定一個正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，關鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關．解從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關于直線x＝20對稱，最大值為eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是正態(tài)分布密度曲線的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))，x∈(－∞，＋∞)．均值和方差分別是20和2.變式遷移1解(1)由于該正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關于y軸對稱，即μ＝0.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4，故該正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.例2解題導引求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助于正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上．解由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4<X≤6)＝0.6826，P(3<X≤7)＝0.9544，∴P(3<X≤4)＋P(6<X≤7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.如圖，由正態(tài)曲線的對稱性可得P(3<X≤4)＝P(6<X≤7)∴P(6<X≤7)＝eq\f(0.2718,2)＝0.1359.變式遷移2解∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，∴P(3<X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P(X≥5)＝eq\f(1,2)[1－P(－3<X≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4<X≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝0.0228.例3解題導引正態(tài)分布已經(jīng)確定，則總體的期望μ和標準差σ就可以求出，這樣就可以根據(jù)正態(tài)分布在三個常見的區(qū)間上取值的概率進行求解．解∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.9544，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成績ξ位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是0.6826，所以考試成績ξ位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考試成績在(80,100)間的考生大約有2000×0.6826≈1365(人)．變式遷移3解∵成績服從正態(tài)分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成績在(75,85]內(nèi)的同學占全班同學的68.26%.這樣成績在(80,85]內(nèi)的同學占全班同學的34.13%.設該班有x名同學，則x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績在(70,90]內(nèi)的同學占全班同學的95.44%.∴成績在90分以上的同學占全班同學的2.28%.即有50×2.28%≈1(人)．即成績在90分以上的僅有1人．課后練習區(qū)1．D[μ＝0，且σ2＝1，∴σ1<1，σ3>1.]2．B[∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴3－c＝c－1，∴c＝2.]3．B[μ＝80，故A正確；σ＝10，故D正確；∵P(X>110)＝P(X>μ＋3σ)，P(X<50)＝P(X<μ－3σ)，∴P(X>110)＝P(X<50)，故C正確.]4．B[由于X服從正態(tài)分布N(3,1)，故正態(tài)分布曲線的對稱軸為X＝3.所以P(X>4)＝P(X<2)，故P(X>4)＝eq\f(1－P2≤X≤4,2)＝0.1587.]5．C[由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考試成績在區(qū)間(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分別應是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人參加考試，∴成績位于上述三個區(qū)間的人數(shù)分別是：60×0.6826≈41(人)，60×0.9544≈57(人)，60×0.9974≈60(人)，故大約應有57人的分數(shù)在(100,120]區(qū)間內(nèi)．]6．μ2<μ1<μ3σ1<σ3<σ27．0.8解析∵ξ服從正態(tài)分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4.∴ξ在(0,2)內(nèi)取值概率為0.4＋0.4＝0.8.8．0.16解析∵μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.9．(1)證明因為X～N(10,1)，所以，正態(tài)曲線φμ，σ(x)關于直線x＝10對稱，而區(qū)間[1,2]和[18,19]關于直線x＝10對稱，所以?eq\o\al(2,1)φμ，σ(x)dx＝?eq\o\al(19,18)φμ，σ(x)dx，即P(1<X<2)＝P(18<X<19)．(6分)(2)解P(10<X<18)＝P