信號與系統(tǒng)課后習題與解答第三章

3-1求圖3-1所示對稱周期矩形信號的傅利葉級數(shù)（三角形式和指數(shù)形式）。解由圖3-1可知，為奇函數(shù)，因而所以，三角形式的傅利葉級數(shù)（FS）為指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)（FS）的系數(shù)為所以，指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)為3-2周期矩形信號如圖3-2所示。若：重復頻率脈寬幅度求直流分量大小以及基波、二次和三次諧波的有效值。解對于圖3-2所示的周期矩形信號，其指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)（FS）的系數(shù)則的指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)（FS）為其直流分量為基波分量的幅度為二次諧波分量的幅度為三次諧波分量的幅度為由所給參數(shù)可得將各參數(shù)的值代入，可得直流分量大小為基波的有效值為二次諧波分量的有效值為三次諧波分量的有效值為3-3若周期矩形信號和的波形如圖3-2所示，的參數(shù)為，，；的參數(shù)為，，，分別求：（1）的譜線間隔和帶寬（第一零點位置），頻率單位以kHz表示；（2）的譜線間隔和帶寬；（3）與的基波幅度之比；（4）基波與三次諧波幅度之比。解由題3-2可知，圖3-2所示周期矩形波形的傅利葉級數(shù)為且基波幅度為三次諧波幅度為另外，周期信號的頻譜是離散的，每兩根相鄰譜線間的間隔就是基頻。周期矩形信號頻譜的包絡線是抽樣函數(shù)，其第一個零點的位置為。注意，頻譜還可以表示為頻率f的函數(shù)。由可知，若以f為頻譜圖的橫軸，則譜線間隔就為，第一個零點的位置就為。依據(jù)以上結(jié)論，可得到題中個問題的答案如下：（1）的譜線間隔帶寬（第一零點位置）（2）的譜線間隔帶寬（3）的基波幅度的基波幅度因此的基波幅度：基波幅度（4）的三次諧波幅度因此基波幅度：三次諧波幅度求圖3-3所示周期三角信號的傅利葉級數(shù)并畫出幅度譜。解由圖3-3可知，該周期三角信號是偶函數(shù)，因而即不包含正弦諧波分量。從而幅度譜如圖3-4所示。3-5求圖3-5所示半波余弦信號的傅利葉級數(shù)。若，,大致畫出幅度譜。解由圖可知，為偶函數(shù)，因而從而若，則幅度譜如圖3-6所示。3-6求圖3-7所示周期鋸齒信號的指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)，并大致畫出頻譜圖。解圖3-7所示周期鋸齒信號指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)（FS）的系數(shù)從而幅度譜和相位譜分別如圖3-8（a）、（b）所示。3-7利用信號的對稱性，定性判斷圖3-9中各周期信號的傅利葉級數(shù)中所含有的頻率分量。解（a）如圖3-9（a）所示。因為是偶函數(shù)，所以不含正弦波；又因為是奇諧函數(shù)，所以不含直流項和偶次余弦項。綜上，只含奇次余弦分量。（b）如圖3-9（b）所示。因為是奇函數(shù)，所以不含正弦波；又因為是奇諧函數(shù)，所以不含偶次余弦項。綜上，只含奇次余弦分量。（c）如圖3-9（c）所示。因為是奇譜函數(shù)，所以只包含奇次諧波分量。（d）如圖3-9（d）所示。因為是奇函數(shù)，所以只包含正弦分量。（e）如圖3-9（e）所示。因為是偶函數(shù)，所以不含正弦項；又因為是偶諧函數(shù)，所以不含奇次諧波分量。綜上，只含有直流和偶次余弦分量。(f)如圖3-9（f）所示。因為是偶諧波函數(shù)，所以不包含奇次諧波分含量；又因為是奇函數(shù)，所以只包含正弦分量。綜上，只包含直流和偶次諧波的正弦分量。3-8求圖3-10中兩種周期信號的傅利葉級數(shù)。解（a）如圖3-10（a）所示。此題中的與題3-4中的信號（記為）在圖形上相同，只是平移了，即由題3-4知，則（b）如圖3-10（b）所示。方法一：由于為偶函數(shù)，所以所以方法二：此題還可利用單脈沖信號的FT與周期性脈沖信號的FS的系數(shù)之間的關系：先求如圖3-11所示的單脈沖信號的FT可利用微積分性質(zhì)。和分別如圖3-12（a）、（b）所示。由于由FT的微分性質(zhì)，得于是則周期信號的傅利葉系數(shù)

3-9求圖3-13所示周期余弦切頂脈沖的傅利葉級數(shù)，并求直流分量。以及基波和次諧波的幅度(和)。（1）（2）（3）[提示：，為的重復角頻率]解圖3-13所示信號，為的重復角頻率直流分量由于是偶函數(shù)，所以則基波的幅度k次諧波的幅度（2）當時，（3）當時，3-10已知周期函數(shù)前四分之一周期的波形如圖3-14所示。根據(jù)下列各種情況的要求畫出在一個周期()的波形。（1）是偶函數(shù)，只含有偶次諧波；（2）是偶函數(shù)，只含有奇次諧波；（3）是偶函數(shù)，含有偶次和奇次諧波；（4）是奇函數(shù)，只含有偶次諧波；（5）是奇函數(shù)，只含有奇次諧波；（6）是奇函數(shù)，含有偶次和奇次諧波。解（1）由要求可判斷出，既是偶函數(shù)，又是偶諧函數(shù)。在內(nèi)的波形如圖3-15（a）所示。（2）由要求可判斷出，既是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)。在內(nèi)的波形如圖3-15（b）所示。（3）有條件可判斷出，是偶函數(shù)，亦是非奇偶函數(shù)。滿足這個條件的不止一個，下面僅畫出一例。在內(nèi)的波形如圖3-15（c）所示。（4）由要求可判斷出，既是奇函數(shù)，有時偶諧函數(shù)。在內(nèi)的波形如圖3-15（d）所示。（5）由要求可判斷出，既是奇函數(shù)，又是奇謝函數(shù)。在內(nèi)的波形如圖3-15（e）所示。（6）由要求可判斷出，是奇函數(shù)，亦是非奇非偶函數(shù)，滿足該條件的不止一個，下面僅畫出一例。在內(nèi)的波形如圖3-15（f）所示。3-11求圖3-16所示周期信號的傅利葉級數(shù)的系數(shù)，（a）題求；（b）題求。解（a）由圖3-16（a）可知，的周期為4，且在[0，4]內(nèi)的函數(shù)表達式為。從圖3-16（a）中易看出，在一個周期內(nèi)的平均只為零，即所以（b）由圖3-16可看出于是如圖3-17所示周期信號加到RC低通濾波電路。已知的重復頻率，電壓幅度。分別求：穩(wěn)態(tài)時電容兩端電壓之直流分量、基波和五次諧波之幅度；求上述各分量與相應分量的比值，討論此電路對各分量響應的特點。（提示：利用電路課所學正弦穩(wěn)態(tài)交流電路的計算方法分別求各頻率分量之響應。）解首先把周期電壓源信號展開為傅里葉級數(shù)：因此式中。由所給電路，求得電路的頻響函數(shù)為電壓源中的直流分量中的基波分量的幅度]中五次諧波分量的幅度電容兩端電壓亦為與同頻率的周期信號，且當作用時，電容兩端電壓，亦即中的直流分量為0.25V，中的基波分量的幅度中五次諧波分量的幅度綜上所述，穩(wěn)態(tài)時電容兩端電壓之直流分量幅度為0.25V，基波幅度為0.313V，五次諧波幅度為0.019V。電容電壓中直流分量與中直流分量之比值0.25：0.25=1，中基波幅度與中基波幅度之比值為=0.847，中五次諧波幅度與中五次諧波幅度之比值為=0.303。由以上比值可分析得知，此RC電路是一低通濾波器，對高頻分量衰減的相對大一些，而對低頻分量衰減的相對少一點。學習電路課時已知，LC諧振電路具有選擇頻率的作用，當輸入正弦信號頻率與電路的LC諧振頻率一致時，將產(chǎn)生較強的輸入響應，而當輸入信號頻率適當偏離時，輸出響應相對值很弱，幾乎為零（相當于窄帶通濾波器）。利用這一原理可從非正弦周期信號中選擇所需的正弦頻率成分。圖3-18所示RLC并聯(lián)電路和電流源都是理想模型。已知電路的諧振頻率為，諧振電路品質(zhì)因數(shù)Q足夠高（可濾除鄰近頻率成分）。為周期矩形波，幅度為1mA。當?shù)膮?shù)()為下列情況時，粗略地畫出輸出電壓的波形，并注明幅度值。（1）（2）（3）解（1）當時，的基頻因為電路的諧振頻率，所以電路將產(chǎn)生較強的，由中的基波所引起的輸出電壓。的傅里葉級數(shù)展開式為即其中由的傅里葉級數(shù)（FS）可知，其基波的幅度為此基波所引起響應電壓即當時，輸出電壓為一個頻率為100kHz，幅度為127V的正弦波，其波形如圖3-19(a)所示。（2）當時，的基頻此時電路產(chǎn)生的輸出電壓主要應是由中的二次諧波分量所引起的。由（1）知，中二次諧波的幅度這里因而即由二次諧波所引起的響應為零?？紤]到由其他諧波分量所引起的電壓很微弱，所以輸出電壓近似為零。（3）當時，的基頻此時電路產(chǎn)生的輸出電壓主要由的三次諧波分量所引起的。由（1）知，中三次諧波的幅度這里因而此三次諧波所引起的響應即輸出電壓為一個頻率為100kHz，幅度為42.4V的正弦波，其波形如圖3-19（b）所示。若信號波形和電路結(jié)構(gòu)仍如圖3-18所示，波形參數(shù)為適當設計電路參數(shù)，能否分別從矩形波中選出以下頻率分量的正弦信號：50kHz,100kHz,150kHz,200kHz,300kHz,400kHz?對于那些不能選出的頻率成分，試分別利用其他電路（示意表明）獲得所需頻率分量的信號。（提示：需利用到電路、模擬電路、數(shù)字電路等課程的綜合知識，可行方案可能不只一種。）解（1）輸入信號的周期，因而基頻也就是說，中只包含的整數(shù)倍頻率的諧波成分，因此不可能從此矩形波中選出的非整數(shù)倍頻率，即50kHz,150kHz。又由題3-13可知，的傅里葉級數(shù)(FS)為其中當n=2和n=4時，二次諧波和四次諧波的幅度均為0，因此也不可能從此矩形波中選出200kHz和400kHz的正弦分量。綜上所述，當參數(shù)為時，電路只能從矩形波中選出100kHz和300kHz的正弦分量。（2）選出50kHz的正弦分量可利用如圖3-20(a)所示系統(tǒng)。選出150kHz的正弦分量可利用如圖3-20(b)所示系統(tǒng)。選出200kHz和100kHz的正弦分量可利用如圖3-20(c)所示系統(tǒng)。求圖3-21所示半波余弦脈沖的傅里葉變換，并畫出頻譜圖。解由圖3-21易知，則此信號的傅里葉變換其頻譜圖如圖3-22所示。求圖3-23所示鋸齒脈沖與單周正弦脈沖的傅里葉變換。解（a）的波形如圖3-24（a）所示。等式兩邊同取傅里葉變換(FT)，有則當時，用羅必塔法則求F(0),或（b）的波形如圖3-24(b)所示。則（c）及波形如圖3-24（c）、（d）所示。兩邊求FT，有其中（d）由于因而即兩邊求FT，有其中圖3-25說是各波形的傅里葉變換可在本章正文或附錄表中找到，利用這些結(jié)果給出各波形頻譜所占帶寬（頻譜圖或頻譜包絡圖的第一零點值），注意圖中的時間單位都為。解（a）是矩形單脈沖信號，其頻譜函數(shù)其中E為幅度，為脈沖寬度。是一抽樣寒暑，其第一零點值，此題中，因此帶寬（b）是有兩個平移了的矩形單脈沖信號合成的，其頻譜函數(shù)其中E仍為脈沖幅度，為脈沖寬度。由于的包絡是抽樣函數(shù)，所以帶寬仍為，此題中，因此寬度（c）為升余弦脈沖信號，其頻譜函數(shù)其中E為最大幅度，為脈沖寬度。的第一零點值，此題中，因此帶寬（d）偶對稱的三角脈沖信號的頻譜函數(shù)為，其第一零點值。此題中的是平移了半個脈寬的偶對稱三角脈沖信號，由FT的時移特性可知，其中為E最大幅值，為脈寬。由于平移不會改變信號的頻帶寬度，且此題中，因此帶寬（e）偶對稱的梯形脈沖信號的頻譜函數(shù)第一零點值。此題中的是平移了半個脈寬的偶對稱梯形脈沖信號，且,同(d)可得帶寬（f）偶對稱抽樣脈沖信號的頻譜函數(shù)第一零點值。此題中的是平移了個單位的偶對稱抽樣脈沖，且，同(d)可得帶寬“升余弦滾降信號”的波形如圖3-26（a）所示，它在到的時間范圍內(nèi)以升余弦的函數(shù)規(guī)律滾降變化。設，升余弦脈沖信號的表達式可以寫成或?qū)懽髌渲?，滾降系數(shù)求此信號的傅里葉變換式，并畫出頻譜圖。討論和兩種特殊情況的結(jié)果。[提示：將分解為和之和，如圖3-26(b)所示，分別求傅里葉變換在相加。]解根據(jù)提示，先考察函數(shù)其波形如圖3-27(a)所示。是一奇函數(shù)，因此再考察圖3-27（a）所示的和，,則圖3-26(b)中的信號的傅里葉變換圖3-26(b)中信號的傅里葉變換于是其頻譜圖如圖3-27（b）所示。當k=0時，是矩形脈沖信號，其傅里葉變換為當k=1時，是升余弦脈沖信號，其傅里葉變換為求圖3-28所示的傅里葉逆變換。解此題的關鍵是正確寫出頻譜函數(shù)的表達式。（a）由圖3-28（a）可知，由于所以先求的傅里葉逆變換。由變換對可知又利用FT的延時性知即（b）由圖3-28（b）可知，則從而因為所以由FT的頻域微分性質(zhì)，有函數(shù)可以表示成偶函數(shù)與奇函數(shù)之和，試證明：（1）若是實函數(shù)，且，則若是復函數(shù)，可表示為且則其中證明（1）已知，現(xiàn)考察的傅里葉變換。因為是實函數(shù)，所以則積分即即由于所以又所以已知①則且②由式①+②，得從而由式①-②，得從而對圖3-29所示波形，若已知，利用傅里葉變換的性質(zhì)求以為軸反褶后所得的傅里葉變換。解由圖3-29易知由于則由FT的延時性質(zhì)，有由FT的尺度變換性質(zhì)有利用時域與頻域的對稱性，求下列傅里葉變換的時間函數(shù)。（1）（2）（3）解（1）因為所以由FT的時、頻對稱性，有即的時間函數(shù)（2）因為所以由FT的時、頻對稱性，有即所求時間函數(shù)由（2）已知則即所求時間函數(shù)若已知矩形脈沖的傅里葉變換，利用時移特性求圖3-30所示信號的傅里葉變換，并大致畫出幅度譜。解矩形單脈沖信號的傅里葉變換由圖3-30所示信號可知于是由FT的時移特性可得其幅度譜如圖3-31所示。求圖3-32所示三角形調(diào)制信號的頻譜。解圖3-32所示信號是三角脈沖信號（如圖3-33所示）與升余弦函數(shù)的乘積，即由FT的卷積性質(zhì)可得查附錄可得因而圖3-34所示信號，已知其傅里葉變換式，利用傅里葉變換的性質(zhì)（不做積分運算），求：（1）（2）（3）（4）之圖形。解（1）先考慮圖3-35（a）所示的實偶三角脈沖信號，其傅里葉變換亦為實偶函數(shù)，且，所以的相角。由圖3-34所示信號可知因此于是（2）由FT正變換式知（3）由FT逆變換式知即（4）是實函數(shù)，由題3-20可知又，因此的圖形如圖3-35（b）所示。利用微分定理求圖3-36所示梯形脈沖的傅里葉變換，并大致畫出情況下該脈沖的頻譜圖。解的一階、二階導數(shù)的圖形3-37（a）、（b）如圖所示。兩邊同取FT，由微分定理，有于是當時，在情況下該脈沖的頻譜圖如圖3-38所示。利用微分定理求圖3-39所示半波正弦脈沖及其二階導數(shù)的頻譜。解的一階及二階導數(shù)的波形如圖3-40(a)、(b)所示。由圖3-40（b）可看出由微分定理從而且的二階導數(shù)的頻譜（1）已知，求的傅里葉變換。（2）證明的傅里葉變換為（提示：利用頻域微分定理）解（1）已知則由頻域微分定理，有即（2）已知由頻域微分定理，有即若已知，利用傅里葉變換的性質(zhì)確定下列信號的傅里葉變換：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)解（1）此題是訓練傅里葉變換的性質(zhì)。由尺度變換性質(zhì)，有再由頻域微分性質(zhì)，有（2）由頻域微分性質(zhì)，有再有線性性質(zhì)，有（3）由尺度變換性質(zhì)，有再有頻域微分性質(zhì)，有最后由線性性質(zhì)，有（4）由時域微分性質(zhì)，有再由頻域微分性質(zhì)，有由延時性質(zhì)，有再有尺度變換性質(zhì)，有由頻域微分性質(zhì)，有再有尺度變換性質(zhì)，有最后由延時性質(zhì)，有由尺度變換性質(zhì)，有再由延時性質(zhì)，有試分別利用下列幾種方法證明（1）利用符號函數(shù)（2）利用矩形脈沖取極限（3）利用積分定理（4）利用單邊指數(shù)函數(shù)取極限證明（1）因為，所以由FT的線性性，有（2）因為所以由第二章導出的式（2-100）可知由第一章沖激函數(shù)的定義可知所以（3），且由積分定理，有（4）因為所以由題2-22（2）可知又因此3-31已知圖3-41中兩矩形脈沖及，且：,（1）畫出的圖形；（2）求的頻譜，并與題3-26所用方法進行比較。解（1）的圖形如圖3-42所示。（2）因為所以由卷積定理，得此題與題3-26均是求一梯形脈沖信號的頻譜。題3-26利用了傅里葉變換的卷積性質(zhì)，即直接將合成梯形脈沖信號的兩矩形信號的頻譜相乘，從而得到梯形脈沖信號的頻譜。已知階躍函數(shù)和正弦、余弦函數(shù)的傅里葉變換：求單邊正弦信號和單邊余弦函數(shù)的傅里葉變換。解單邊正弦函數(shù)為，單邊余弦函數(shù)為。由傅里葉變換的卷積定理，有因為所以從而3-33已知三角脈沖的傅里葉變換為試利用有關定理求的傅里葉變換。、的波形如圖3-43所示。解由頻域卷積定理，有由于由時移性質(zhì)可得而所以3-34若的頻譜如圖3-44所示，利用卷積定理粗略畫出，，的頻譜（注明頻譜的邊界頻率）。解因為所以這三個頻譜分別如圖3-45（a）、（b）、（c）所示。3-35求圖3-45所示信號的頻譜（包絡為三角脈沖，載波為對稱方波）。并說明與圖信號頻譜的區(qū)別。解圖3-46所示信號，其中代表三角脈沖信號，代表周期性對稱方波，且周期。查表可知的傅里葉變換為一沖激序列，且其中為傅里葉系數(shù)。則因為所以圖3-32信號的頻譜是將三角脈沖信號的頻譜左、右各平移而得到的；而此頻譜是將三角脈沖信號的頻譜以為周期重復平移而得到的，同時幅度也在變化。3-36已知單個梯形脈沖和單個余弦脈沖的傅里葉變換（見附錄三），求圖3-47所示周期梯形信號和周期全波余弦信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。并示意化出它們的頻譜圖。解（a）設查表可知由于周期信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)且的傅里葉變換所以周期梯形信號的傅里葉級數(shù)的傅里葉變換：其中當時頻譜示意圖如圖3-48（a）所示。(b)設查表可知與(a)同理，周期全波余弦信號的傅里葉級數(shù)傅里葉變換其中頻譜示意圖如圖3-48（b）所示。3-37已知矩形脈沖和余弦脈沖信號的傅里葉變換（見附錄三），根據(jù)傅里葉變換的定義和性質(zhì)，利用三種以上的方法計算圖3-49所示各脈沖信號的傅里葉變換，并比較三種方法。解（a）方法一：利用定義。則方法二：利用微分定理和矩形脈沖信號的傅里葉變換。的波形如圖3-50（a）所示查表可知矩形脈沖信號的傅里葉變換，再利用FT的時移性質(zhì)。因為所以方法三：利用微分定理和沖激信號的傅里葉變換。的波形如圖3-50（b）所示。則有于是（b）方法一：利用定義。則方法二：利用矩形脈沖信號的傅里葉變換和延時性質(zhì)。因為所以方法三：利用微分定理和沖激信號的傅里葉變環(huán)。的波形如圖3-50（c）所示。于是從而（c）方法一：利用定義。則方法二：利用微分定理。的波形如圖3-50（d）所示。則方法三：查表法。在附錄三中，對于余弦脈沖信號其傅里葉變換圖3-49（c）所示之，其脈寬亦為，幅度為1，因而其傅里葉變換（d）方法一：利用定義。則方法二：利用線性性質(zhì)和疊加原理。因為所以方法三：利用微分定理。的圖形如圖3-50（e）所示。則3-38已知三角形、升余弦脈沖的頻譜（見附錄三）。大致畫出圖3-51中各脈沖被沖激抽樣后信號的頻譜（抽樣間隔為，令）。分析頻譜為的信號被沖激信號抽樣后，所得的抽樣信號的頻譜其中為抽樣頻率，為抽樣時間間隔，.在此題中則。解（a）如圖3-51（a）所示，三角脈沖信號的頻譜第一零點值抽樣信號的頻譜大致如圖3-52（a）所示。（b）如圖3-51（b）所示，升余弦脈沖信號的頻譜第一零點值抽樣信號的頻譜大致如圖3-52(b)所示。（c）如圖3-51（c）所示，周期三角脈沖信號的頻譜其大致圖形如圖3-52（c）所示，抽樣信號的頻譜大致如圖3-52（d）所示。3-39確定下列信號的最低抽樣率和奈奎斯特間隔：（1）（2）（3）（4）分析由抽樣定理可知，信號的最低抽樣率為（其中，，為信號的最大頻率），奈奎斯特間隔。解（1）由于即信號的最大頻率，所以最低抽樣率。奈奎斯特間隔（2）由于即信號的最大頻率，所以最低抽樣率，奈奎斯特間隔（3）由于故信號的最大頻率所以最低抽樣率，奈奎斯特間隔由于的最大頻率是100，的最大頻率是120，故信號的最大頻率，所以最低抽樣率，奈奎斯特間隔3-40若，是周期信號，基波頻率為，（1）令，求相乘信號的傅里葉變換表達式；（2）若圖形如圖3-53所示，當函數(shù)表達式為或以下各小題時，分別求表達式并劃出頻譜圖；（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）是圖3-2所示周期矩形波，其參數(shù)為,,E=1。解（1），是基波頻率對等式兩邊求傅里葉變換，可得到的頻譜函數(shù)因由FT的頻域卷積性質(zhì)，有（2）當時，此時頻譜圖如圖3-54（a）所示。（3）當時，此時頻譜圖如圖3-54（b）所示。（4）當時，此時頻譜圖如圖3-54（c）所示。（5）當時，此時頻譜圖如圖3-54（d）所示。當時，此時頻譜圖如圖3-54（e）所示。當時，是周期為的沖激序列，因此仍是沖激序列，但周期為2，此時頻譜圖如圖3-54（f）所示。（8）當時，是周期為的沖激序列，因此是周期為1的沖激序列，此時頻譜圖如圖3-54（g）所示。（9）當時，此時頻譜圖如圖3-54（h）所示。（10）當是圖3-2所示周期矩形波，且參數(shù)為,,E=1時，其傅里葉系數(shù)其傅里葉變換則頻譜圖如圖3-54（i）所示。3-41系統(tǒng)如圖3-55所示，（1）為從無失真恢復，求最大抽樣間隔；（2）當時，畫出的幅度譜。解（1）由于則的圖形如圖3-56（a）所示?？梢姡淖畲蠼穷l率因而（2）對于沖激抽樣，抽樣信號的頻譜當時，此時此時的幅度譜如圖3-56（b）所示，無混疊發(fā)生。3-42若連續(xù)信號的頻譜是帶狀的，如圖3-57所示。（1）利用卷積定理說明當時，最低抽樣率只要等于就可以使抽樣信號不產(chǎn)生頻譜混疊；（2）證明帶通抽樣定理，該定理要求最低抽樣率，滿足下列關系其中m為不超過的最大整數(shù)。解（1）對連續(xù)信號進行沖激抽樣，所得到的抽樣信號(T為抽樣間隔)由卷積定理若的頻譜是帶狀的，如圖3-57所示，則當時，采用的頻率對進行抽樣，所得的如圖3-58所示，可見頻譜沒有發(fā)生混疊。（2）先來分析一個帶通信號，其頻譜如圖3-59（a）所示。該帶通信號的特點是最高頻率是帶寬的整數(shù)倍，?，F(xiàn)用對抽樣，抽樣頻率選為，的頻率如圖3-59（b）所示，抽樣信號的頻譜為與的卷積，如圖3-59（c）所示。由圖3-59(c)可見，在這種情況下，恰好使中的邊帶頻譜互不重疊。由圖3-59還可看出，如果，在中勢必造成頻譜重疊。由此證明，在上述情況下，帶通信號的最低抽樣率。再來分析一般情況。設帶通信號的頻譜為，它的最高頻率不一定為帶寬的整數(shù)倍，即式中，m為不超過，即的最大整數(shù)。在圖3-60（a）中分為“1”和“2”兩部分。在圖示例子里，m=3。選取的原則仍然是使抽樣信號的頻譜不發(fā)生重疊。但若仍取，且將頻譜“2”周期性重復的結(jié)果用實線表示，頻譜“1”周期性重復的結(jié)果用虛線表示，從圖3-60（b）可看出，抽樣信號的頻率出現(xiàn)重疊部分。再來看頻譜“1”和右移m次后的頻譜“”。從圖3-60（b）可看出，若使頻譜“”再向右多移，頻譜“”就剛好不與頻譜“1”重疊了，如圖3-60（c）所示。由于頻譜“2”移到“”的位置，共移了m次，所以每次只需比多移了。這就是說，圖3-60（c）中頻譜“2”的重復周期為，這樣就得到帶通信號的最小抽樣率為試分別指出以下波形是屬于哪種信號？題圖1-11-2試寫出題1-1圖中信號的函數(shù)表達式。1-3已知信號與波形如題圖1-3中所示，試作出下列各信號的波形圖，并加以標注。題圖1-3⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼1-4已知信號與波形如題圖1-4中所示，試作出下列各信號的波形圖，并加以標注。題圖1-4⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼1-5已知信號的波形如題圖1-5所示，試作出信號的波形圖，并加以標注。題圖1-51-6試畫出下列信號的波形圖：⑴⑵⑶⑷1-7試畫出下列信號的波形圖：⑴⑵⑶⑷⑸⑹1-8試求出以下復變函數(shù)的模與幅角，并畫出模與幅角的波形圖。⑴⑵⑶⑷1-9已知信號，求出下列信號，并畫出它們的波形圖。⑴⑵1-10試作出下列波形的奇分量、偶分量和非零區(qū)間上的平均分量與交流分量。題圖1-101-11試求下列積分：⑴⑵⑶⑷⑸⑹1-12試求下列積分：⑴⑵⑶1-13下列各式中，是系統(tǒng)的輸入，是系統(tǒng)的響應。是判斷各系統(tǒng)是否是線性的、時不變的和因果的。⑴（均為常數(shù)）⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻1-14如題圖1-14中已知一線性時不變系統(tǒng)當輸入為時，響應為。試做出當輸入為時，響應的波形圖。題圖1-141-15已知系統(tǒng)的信號流圖如下，試寫出各自系統(tǒng)的輸入輸出方程。題圖1-151-16已知系統(tǒng)方程如下，試分別畫出他們的系統(tǒng)模擬框圖。⑴⑵⑶⑷1-17已知一線性時不變系統(tǒng)無起始儲能，當輸入信號時，響應，試求出輸入分別為與時的系統(tǒng)響應。

第二章習題試計算下列各對信號的卷積積分：。⑴（對與兩種情況）⑵⑶⑷⑸⑹2-2試計算下列各對信號的卷積和：。⑴（對與兩種情況）⑵⑶⑷⑸⑹2-3試計算下圖中各對信號的卷積積分：，并作出結(jié)果的圖形。題圖2-32-4試計算下圖中各對信號的卷積和：，并作出結(jié)果的圖形。題圖2-42-5已知，試求：⑴⑵⑶并作出他們的圖形。2-6系統(tǒng)如題圖2-6所示，試求系統(tǒng)的單位沖激響應。已知其中各子系統(tǒng)的單位沖激響應分別為：題圖2-62-7系統(tǒng)如題圖2-7所示，試求系統(tǒng)的單位沖激響應。已知其中各子系統(tǒng)的單位沖激響應分別為：題圖2-72-8設已知LTI系統(tǒng)的單位沖激響應，試求在激勵作用下的零狀態(tài)響應。2-9一LTI系統(tǒng)如題圖2-9所示，由三個因果LTI子系統(tǒng)級聯(lián)而成，且已知系統(tǒng)的單位樣值響應如圖中。若已知其中，試求。題圖2-92-10電路如題圖2-10中所示，試列出電路對應的輸入輸出時間方程。題圖2-102-11已知系統(tǒng)的微分方程和起始條件，試求系統(tǒng)的零輸入響應。⑴⑵⑶2-12已知系統(tǒng)的差分方程和起始條件，試求系統(tǒng)的零輸入響應。⑴⑵⑶2-13已知系統(tǒng)的微分方程，試求系統(tǒng)的單位沖激響應。⑴⑵⑶2-14已知系統(tǒng)的差分方程，試求系統(tǒng)的單位樣值響應。⑴⑵2-15已知系統(tǒng)的微分方程和起始條件，試求系統(tǒng)的全響應，并指出零輸入響應、零狀態(tài)響應，自由響應和受迫響應。⑴⑵2-16已知系統(tǒng)的差分方程和起始條件，試求系統(tǒng)的全響應，并指出零輸入響應、零狀態(tài)響應，自由響應和受迫響應。⑴⑵

第三章習題3-1周期性矩形信號的波形如題圖3-1所示，試將其展成三角形式和指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。題圖3-13-2周期性矩形信號的波形如題圖3-2所示，已知脈沖幅度E=4v，脈沖寬度τ=10μs，脈沖重復頻率f1=25kHz。試將其展成三角形式和指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，并作出其單邊和雙邊的振幅和相位頻譜圖。題圖3-23-3設周期性矩形信號x1(t)與x2(t)的波形如題圖3-2所示，若x1(t)的參數(shù)為：τ=0.5μs，重復周期T=1μs，E=1v；x2(t)的參數(shù)為：τ=1.5μs，重復周期T=3μs，E=3v；試分別求：⑴x1(t)的譜線間隔和帶寬；（頻率以Hz為單位）⑵x2(t)的譜線間隔和帶寬；⑶x1(t)與x2(t)的基波幅度之比；3-4周期性矩形信號的波形如題圖3-1所示，波形參數(shù)為：τ=5μs，T=10μs，問能否從信號中選出以下頻率分量的正弦信號：50kHz，100kHz，150kHz，200kHz，300kHz，400kHz?3-5設有一周期信號x(t)，其復振幅為：⑴x(t)是實函數(shù)嗎？⑵x(t)是偶函數(shù)嗎？⑶是偶函數(shù)嗎？3-6設x(t)是一基波頻率為Ω的周期信號，其復振幅為，試用表示以下周期信號的復振幅。⑴⑵⑶3-7試求以下信號的傅里葉變換：題圖3-73-8試求以下波形的傅里葉反變換：題圖3-83-9試利用傅里葉變換的對稱性質(zhì)，求下列傅里葉變換的反變換：⑴⑵⑶3-10已知信號波形如題圖3-10所示，其傅里葉變換為，試根據(jù)傅里葉變換的定義和性質(zhì)，求：⑴⑵⑶⑷反變換的時間波形。題圖3-103-11設信號的傅里葉變換為，試求信號的傅里葉變換：題圖3-113-12LTI系統(tǒng)的頻率響應，輸入信號，求系統(tǒng)的輸出。3-13LTI系統(tǒng)的幅頻響應與相頻相應如題圖3-13所示，若輸入，求系統(tǒng)的輸出。題圖3-133-14如題圖3-14所示，已知，，試求系統(tǒng)的輸出。H(jH(jΩ)題圖3-143-15若系統(tǒng)的頻響，輸入信號，試求輸出信號。并回答：相對于輸入，輸出是否失真？3-16LTI系統(tǒng)，當輸入時，其零狀態(tài)響應，試求系統(tǒng)的頻率響應和單位沖激響應。3-17因果LTI系統(tǒng)的時間方程為：⑴試求出系統(tǒng)的頻響與單位沖激響應；⑵如果輸入，求系統(tǒng)的響應；⑶如果輸入的傅里葉變換為：，試求系統(tǒng)的響應。3-18已知一非周期連續(xù)時間信號的傅里葉變換：現(xiàn)以為周期，將延拓為周期信號，試求此周期函數(shù)的時間表達式。3-19試確定以下信號的奈奎斯特采樣頻率：⑴⑵⑶⑷3-20已知兩個頻域帶限的信號與的最高頻率分別是：，。現(xiàn)對下列信號進行理想抽樣，試確定各信號的奈奎斯特抽樣間隔。⑴⑵⑶⑷⑸⑹3-21題圖3-21中虛線框中是一零階保持系統(tǒng)的功能框圖，他對理想抽樣之后的樣值信號進行零階保持。試：⑴求出零階保持系統(tǒng)的單位沖激響應；⑵設輸入是一連續(xù)時間信號，作出整個系統(tǒng)輸入輸出信號的波形示意圖；⑶如果輸入信號帶限于，抽樣間隔滿足抽樣定理的要求，為了從輸出恢復，應該讓通過一個什麼樣的系統(tǒng)？確定該系統(tǒng)的頻率響應，并粗略繪出其幅頻響應的波形。題圖3-21

第四章習題4-1試求下列信號的離散時間傅里葉變換（DTFT）：⑴，⑵，⑶⑷，⑸⑹4-2已知序列如題圖4-2所示，試