現(xiàn)代控制理論-控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性

控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性

在多變量控制系統(tǒng)中，能控性和能觀測性是兩個反映控制系統(tǒng)構(gòu)造的基本特性，是現(xiàn)代控制理論中最重要的基本概念。本章的內(nèi)容為：1.引言——能控性、能觀測性的基本概念2.能控性及其判據(jù)3.能觀測性及其判據(jù)4.離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性5.對偶原理6.能控標準形和能觀測標準形7.能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系8.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解9.實現(xiàn)問題10.使用MATLAB判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.1引言

首先，通過例子介紹能控性、能觀測性的基本概念。例3-1

電路如下圖所示。如果選取電容兩端的電壓為狀態(tài)變量，即：。電橋平衡時，不論輸入電壓如何改變，不隨著的變化而改變，或者說狀態(tài)變量不受的控制。即：該電路的狀態(tài)是不能控的。

顯然，當電橋不平衡時，該電路的狀態(tài)是能控的。例3-2

電路如下圖所示，如果選擇電容C1、C2兩端的電壓為狀態(tài)變量，即：，，電路的輸出為C2上的電壓，即，則電路的系統(tǒng)方程為如果初始狀態(tài)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為可見，不論加入什么樣的輸入信號，總是有一般情況下，系統(tǒng)方程可以表示為（1）狀態(tài)能控與否，不僅取決于B

陣（直接關(guān)系），還取決于A

陣（間接關(guān)系）。系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

系統(tǒng)能觀測問題是研究測量輸出變量y去確定狀態(tài)變量的問題。例3-3

電路如下圖所示。選取為輸入量，為輸出量，兩個電感上的電流分別作為狀態(tài)變量，則系統(tǒng)方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為為了簡便起見，令則從上式可知，不論初始狀態(tài)為什么數(shù)值，輸出僅僅取決于其差值。當，則輸出恒等于零。顯然，無法通過對輸出的觀測去確定初始狀態(tài)，稱這樣的系統(tǒng)是不能觀測的。對于不能觀測的系統(tǒng)，其不能觀測的狀態(tài)分量與y既無直接關(guān)系，又無間接關(guān)系。狀態(tài)是否能觀測不僅取決于C，還與A

有關(guān)。一般情況下，系統(tǒng)方程如式（1）所示，狀態(tài)能觀測與否，不僅取決于C

陣（直接關(guān)系），還取決于A陣（間接關(guān)系）。3.2能控性及其判據(jù)3.2.1線性定常系統(tǒng)的能控性及其判據(jù)1.能控性定義線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）給定系統(tǒng)一個初始狀態(tài)，如果在的有限時間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制，使，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在時刻是能控的；如果系統(tǒng)對任意一個初始狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。說明：1）初始狀態(tài)是狀態(tài)空間中的任意非零有限點，控制的目標是狀態(tài)空間的坐標原點。（如果控制目標不是坐標原點，可以通過坐標平移，使其在新的坐標系下是坐標原點。）2）如果在有限時間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制，使系統(tǒng)從狀態(tài)空間坐標原點推向預先指定的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能達的；由于連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，因此系統(tǒng)的能控性和能達性是等價的。3）只有整個狀態(tài)空間中所有的有限點都是能控的，系統(tǒng)才是能控的。4）滿足（3）式的初始狀態(tài)，必是能控狀態(tài)。（3）5）當系統(tǒng)中存在不依賴于的確定性干擾時，不會改變系統(tǒng)的能控性。（4）2.能控性判據(jù)定理3-1

（2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是存在t1>0，使如下的n×n維格拉姆矩陣滿秩（5）證明：充分性。對任意非零初始狀態(tài)x0，選取控制

則在u(t)作用下系統(tǒng)在t1時刻x(t1)=0。必要性。反證法。假設Wc(0,t1)奇異，則存在非零向量x0，使得另一方面，因系統(tǒng)能控，對此非零向量，應有定理3-2

（2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下面的n×nr維能控性矩陣滿秩。（6）（7）證明應用凱-哈定理，有上式代入（3）式（8）于是（9）如果系統(tǒng)能控，必能夠從（9）式中解得，，…

，。這樣就要求（本判據(jù)本身很簡單，因此是最為常用的方法。）定理3-3

（PBH判別法）（2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是，對A

的所有特征值，都有（10）（證明略）（可以應用定理3-2證明）（11）定理3-4

（2）式的線性定常系統(tǒng)的矩陣A的特征值互異，將系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換變換成對角陣則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣中不包含元素全為零的行。例3-4

有如下兩個線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。（1）（2）解根據(jù)定理3-4，系統(tǒng)（1）不能控；系統(tǒng)（2）能控。且，，定理3-5（2）式的線性定常系統(tǒng)的矩陣A具有重特征值，、、、…、分別為重、重、重、…、重。經(jīng)過非奇異線性變換，得到約當陣則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣中與每一個約當子塊最下面一行對應行的元素不全為零。（12）例3-5

有如下兩個線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。（1）（2）解根據(jù)定理3-5，系統(tǒng)（1）能控；系統(tǒng)（2）不能控

（定理（3-4）、定理（3-5）不僅可以判斷系統(tǒng)能控性，而且對于不能控的系統(tǒng)，可以知道哪個狀態(tài)分量不能控。）說明：1.上面通過幾個定理給出判斷系統(tǒng)能控性的判據(jù)。雖然它們的表達形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能控性時是等價的。

2.在線性連續(xù)定常系統(tǒng)中，由于能達性和能控性是等價的，因此，能控性判據(jù)同樣可以判斷能達性。3.2.2線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù)（13）線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為定理3-6

狀態(tài)在時刻能控的充分必要條件是存在一個有限時間，使得函數(shù)矩陣的n個行在上線性無關(guān)。（證明略）定理3-7

狀態(tài)在時刻能控的充分必要條件是存在一個有限時間，使得以下格拉姆矩陣非奇異。（14）（15）定義：（16）當…定理3-8

如果線性時變系統(tǒng)的和的元是(n－1)階連續(xù)可微的。如果存在一個有限的，使得（17）則系統(tǒng)在是能控的。例3-6

線性事變系統(tǒng)方程為，初始時刻，試判別系統(tǒng)的能控性。解而所以，能控。3.3能觀測性判據(jù)3.3.1線性定常系統(tǒng)能觀測性及其判據(jù)1.能觀測性定義（18）線性定常系統(tǒng)方程為如果在有限時間區(qū)間（）內(nèi)，通過觀測，能夠惟一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，稱系統(tǒng)狀態(tài)在是能觀測的。如果對任意的初始狀態(tài)都能觀測，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的。說明：1）已知系統(tǒng)在有限時間區(qū)間內(nèi)的輸出，觀測的目標是為了確定。2）如果根據(jù)內(nèi)的輸出能夠惟一地確定任意指定狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是可檢測的。連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性和能檢測性等價。3）狀態(tài)空間中所有有限點都是能觀測的，則系統(tǒng)才是能觀測的。4）系統(tǒng)的輸入以及確定性的干擾信號均不改變系統(tǒng)的能觀測性。2.能觀測性定理3-9

（18）式所描述的系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是以下格拉姆能觀性矩陣滿秩，即（19）（20）其中（這個定理為能觀測性的一般判據(jù)。但是，由于要計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣。實際上，常用下面介紹的判據(jù)。）定理3-10

（18）式所描述的系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是以下能觀性矩陣滿秩，即（21）（22）證明設，系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的解為（23）應用凱-哈定理，有則或者寫成由于是已知函數(shù)，因此，根據(jù)有限時間內(nèi)的能夠唯一地確定初始狀態(tài)的充分必要條件為滿秩。定理3-11（PBH判別法）系統(tǒng)（18）為能觀測的充分必要的條件是：對于A

的每一個特征值，以下矩陣的秩均為n（24）例3-7

系統(tǒng)方程如下，試判斷系統(tǒng)的能控性解不滿秩，故系統(tǒng)不能觀測。（由于以上判據(jù)很簡單，因此最為常用）定理3-12

如果（18）式描述的系統(tǒng)的A

陣特征值互異，經(jīng)過非奇異線性變換成為對角陣，則系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是矩陣中不包含元素全為零的列。例3-8有如下兩個線性定常系統(tǒng)，判斷它們的能觀測性。（1）（2）解根據(jù)定理3-12可以判斷，系統(tǒng)（1）是不能觀測的。系統(tǒng)（2）是能觀測的。且，，定理3-13

如果（18）式描述的系統(tǒng)的A

陣具有重特征值，、、…、分別為重、重、…、重。經(jīng)過非奇異線性變換，得到約當陣則系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是矩陣中與每一個約當子塊第一列對應的列，其元素不全為零。例3-9

如下線性定常系統(tǒng)試判別系統(tǒng)的能觀測性。解應用定理3-13可知，系統(tǒng)能觀測。

（定理（3-12）、定理（3-13）不僅可以判斷系統(tǒng)能觀測性，而且對于不能觀測的系統(tǒng)，可以知道哪個狀態(tài)分量不能觀測。）說明：1.上面通過幾個定理給出判斷系統(tǒng)能觀測性的判據(jù)。雖然它們的表達形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能觀測性時是等價的。

2.在線性連續(xù)定常系統(tǒng)中，由于能檢測性和能觀測性是等價的，因此，能觀測性判據(jù)同樣可以判斷能檢測性。3.3.2線性時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)線性時變系統(tǒng)方程為（25）定理3-14

狀態(tài)在時刻能觀測的充分必要條件是存在一個有限時刻，使得函數(shù)矩陣的n個列在上線性無關(guān)。定理3-15

狀態(tài)在時刻能觀測的充分必要條件是存在一個有限時間，使得以下能觀性格拉姆矩陣非奇異。定義（26）（27）定理3-16

如果線性時變系統(tǒng)的和的元是(n－1)階連續(xù)可微的。如果存在一個有限的，使得（28）則系統(tǒng)在是能觀測的。3.4離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性定常離散系統(tǒng)方程為（29）3.4.1能控性定義系統(tǒng)（29）的任一個初始狀態(tài)，存在，在有限時間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制序列，使得，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。3.4.2能控性判據(jù)（證明略）例3-10

線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為判斷系統(tǒng)的能控性。（30）解所以系統(tǒng)能控。定理3-17

系統(tǒng)（29）能控的充分必要條件是能控性矩陣的秩為n，即3.4.3能觀測性定義對于（29）式所描述的系統(tǒng)，根據(jù)有限個采樣周期的，可以惟一地確定系統(tǒng)的任一初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的。3.4.4能觀測性判據(jù)定理3-18

系統(tǒng)（29）能觀測的充分必要條件是能觀性矩陣的秩為n，即例3-11

線性定常離散系統(tǒng)方程為試判斷系統(tǒng)的能觀測性。解因此，系統(tǒng)能觀測。3.4.5連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性與能觀測性線性定常系統(tǒng)方程為（31）離散化后的系統(tǒng)方程為（32）其中T

是采樣周期定理3-19

如果線性定常系統(tǒng)（31）不能控（不能觀測），則離散化后的系統(tǒng)（32）必是不能控（不能觀測）。其逆定理一般不成立。定理3-20

如果線性離散化后系統(tǒng)（32）能控（能觀測），則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)（31）必是能控（能觀測）。其逆定理一般不成立。定理3-21如果連續(xù)系統(tǒng)（31）能控（能觀測），A

的全部特征值互異，，并且對的特征值，如果與采樣周期的關(guān)系滿足條件（33）則離散化后的系統(tǒng)仍是能控（能觀測）的。3.5對偶原理線性定常系統(tǒng)方程為（34）構(gòu)造一個系統(tǒng)（35）系統(tǒng)（34）和（35）互為對偶系統(tǒng)。（上面介紹了系統(tǒng)能控性和能觀測性。從概念上和形式上都很相似。它給人們一個啟示，即能控性和能觀測性之間存在某種內(nèi)在的聯(lián)系。這個聯(lián)系就是系統(tǒng)的對偶原理）（式（35）的系數(shù)矩陣為，輸入矩陣為，輸出矩陣為）對偶系統(tǒng)具有兩個基本特征1.對偶的兩個系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置2.對偶的兩個系統(tǒng)特征值相同對偶原理：系統(tǒng)（34）的能控性等價于系統(tǒng)（35）的能觀測性；系統(tǒng)（34）的能觀測性等價于系統(tǒng)（35）的能控性。例3-12

線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀測性。解以上系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)為該對偶系統(tǒng)的能控性矩陣對偶系統(tǒng)能控，根據(jù)對偶原理，原系統(tǒng)能觀測。

有了對偶原理，一個系統(tǒng)的能控性問題可以通過它的對偶系統(tǒng)的能觀測性問題的解決而解決；而系統(tǒng)的能觀測性問題可以通過它的對偶系統(tǒng)的能控性問題的解決而解決。這在控制理論的研究上有重要意義。3.6能控標準形和能觀測標準形（36）3.6.1能控標準形線性定常系統(tǒng)設A的特征多項式能控性矩陣定理3-22

系統(tǒng)（36）能控，通過線性變換可以將其變成如下形式的能控標準形。（37）變換矩陣求法1設，則從而變換矩陣求法1又即從而也就是說，為能控性矩陣的逆的最后一行。變換矩陣求法2其中為特征多項式的各項系數(shù)。推論：具有能控標準形的系統(tǒng)一定能控。例3-13

已知能控的線性定常系統(tǒng)（1）能控性矩陣解系統(tǒng)能控（2）A

的特征多項式從而（3）計算變換矩陣P（4）計算（5）能控標準形3.6.2能觀測標準形系統(tǒng)（36）的能觀測性矩陣為則系統(tǒng)能觀測（38）定理3-23

系統(tǒng)（36）能觀測，通過線性變換可以將其變成如下形式的能觀標準形。推論：具有能觀標準形的系統(tǒng)一定能觀。變換矩陣可取為（39）3.7由傳遞函數(shù)判定能控能觀性考察SISO線性定常系統(tǒng)（40）其傳遞函數(shù)為（41）傳遞函數(shù)的分子、分母分別為定理3-24SISO系統(tǒng)（40）能控又能觀的充分必要條件是g(s)不存在零、極點對消。例3-14

線性定常系統(tǒng)方程如下，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并且判斷系統(tǒng)能控性與能觀性。解傳遞函數(shù)為能控性能觀性可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)有零、極點對消，能控但不能觀。應當指出，定理3-24對MIMO系統(tǒng)不適用。舉例說明如下。例3-15MIMO線性定常系統(tǒng)方程為傳遞函數(shù)矩陣能控性能觀性可見，傳遞函數(shù)矩陣雖然有零極點對消，但是系統(tǒng)既能控又能觀。這是因為極點(s-1)還剩一個，并未消失，只是降低系統(tǒng)重極點的重數(shù)。（42）MIMO線性定常系統(tǒng)定理3-25

若系統(tǒng)（42）的狀態(tài)向量和輸入向量之間的傳遞函數(shù)矩陣的各行線性無關(guān)，則系統(tǒng)能控。定理3-26

若系統(tǒng)（42）的輸出向量和狀態(tài)向量之間的傳遞函數(shù)矩陣的各列線性無關(guān)，則系統(tǒng)能觀。3.8系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

一個不能控、不能觀測的系統(tǒng)，從結(jié)構(gòu)上來說，必定包括能控、不能控以及能觀測、不能觀測的子系統(tǒng)。如何按照能控性或能觀測性進行分解呢？我們知道，線性變換不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性。因此，可采用線性變換方法將其分解。這里必須解決3個問題：1、如何分解？2、分解后系統(tǒng)方程的形式為何？3、變換矩陣如何確定？下面介紹結(jié)構(gòu)分解問題。線性定常系統(tǒng)（43）3.8.1按能控性分解定理3-27

若系統(tǒng)（43）不能控，且狀態(tài)有個狀態(tài)分量能控，則存在線性變換，使其變換成下面形式（44）并且維子系統(tǒng)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（46）（45）

變換矩陣的確定方法：因為即矩陣中有n1個線性無關(guān)的列向量，再補充個列向量，從而構(gòu)成非奇異的矩陣.例3-16系統(tǒng)方程如下，要求按能控性進行結(jié)構(gòu)分解。解系統(tǒng)不能控由于的秩為1。說明中線性獨立的列向量只有一列。選擇，再補充一個列向量，且與其線性無關(guān)，經(jīng)過線性變換后3.8.2按能觀性分解定理3-28

若系統(tǒng)（43）不能觀，且狀態(tài)有個狀態(tài)分量能觀，則存在線性變換，使其變換成下面形式（47）并且維子系統(tǒng)（48）系統(tǒng)傳遞函數(shù)為（49）能觀性矩陣中有個線性無關(guān)的行向量，在它們的基礎上，再補充個行向量，構(gòu)成變換矩陣。例3-17

系統(tǒng)方程如下，要求按能觀性進行結(jié)構(gòu)分解。解從中任選兩個行向量，例如，再補充一個與之線性無關(guān)的行向量。線性變換后}3.8.3同時按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解定理3-29

若系統(tǒng)（43）不能控，不能觀，且存在線性變換，使其變換成下面形式系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣（50）（51）3.9最小實現(xiàn)（52）給定一個傳遞函數(shù)G(s)，求得一個系統(tǒng)方程使得則稱(A,B,C,D)為G(s)的一個實現(xiàn)。在所有可能的實現(xiàn)中，維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)。最小實現(xiàn)也不是惟一的。定理3-30系統(tǒng)方程（53）為傳遞函數(shù)G(s)的一個最小實現(xiàn)的充分必要條件是系統(tǒng)（53）能控且能觀測。3.10MATLAB的應用3.10.1判斷線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性

用MATLAB可以很方便地求出線性控制系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測性矩陣，并且求出它們的秩。從而判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測性。函數(shù)ctrb()和obsv()分別計算系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測性矩陣。格式為：Qc=ctrb(A,B),Qo=obsv(A,C)。例3-18

判斷下面的線性系統(tǒng)是否能控？是否能觀測？其中解先分別計算系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測性矩陣。然后，再用rank()函數(shù)計算這兩個矩陣的秩。輸入以下語句這些語句的執(zhí)行結(jié)果為

從計算結(jié)果可以看出，系統(tǒng)能控性矩陣和能觀測性矩陣的秩都是3，為滿秩，因此該系統(tǒng)是能控的，也是能觀測的。注：當系統(tǒng)的模型用sys=ss(A,B,C,D)輸入以后，也就是當系統(tǒng)模型用狀態(tài)空間的形式表示時，我們也可以用Qc=ctrb(sys)，Qo=obsv(sys)的形式求出該系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測性矩陣。3.10.2線性系統(tǒng)按能控性或者能觀測性分解在用MATLAB進行結(jié)構(gòu)分解時，不能控（不能觀）的系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)分解的系統(tǒng)方程形式與本章3.8節(jié)不同。當系統(tǒng)能控性矩陣的秩