根軌跡的基本概念

[根軌跡定義]：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的某一個參數(shù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在復(fù)平面上變化的軌跡。例：如圖所示二階系統(tǒng)，-特征方程為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征根為：第一節(jié)根軌跡的基本概念特征根為：[討論]：①當(dāng)K=0時，s1=0,s2=-2,

是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點②當(dāng)K=0.32時，s1=-0.4,s2=-1.6③當(dāng)K=0.5時，s1=-1,s2=-1④當(dāng)K=1時，s1=-1+j,s2=-1-j⑤當(dāng)K=5時，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥當(dāng)K=∞時，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：-閉環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)為：將寫成以下標(biāo)準(zhǔn)型，得：閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點就是閉環(huán)特征方程：的根。[根軌跡定義]：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的某一個參數(shù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在復(fù)平面上變化的軌跡。上述兩式分別稱為滿足根軌跡方程的幅值條件和相角條件。[一些約定]：在根軌跡圖中，“”表示開環(huán)極點，“”表示開環(huán)有限值零點。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向。“”表示根軌跡上的點。我們先以根軌跡增益（當(dāng)然也可以用其它變量）作為變化量來討論根軌跡。[例4-1]如圖二階系統(tǒng)，當(dāng)Kg從0→∞時繪制系統(tǒng)的根軌跡。-[解]閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程和特征根：[討論]：①②③④⑤[總結(jié)]當(dāng)從0變化到時，系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。的點稱為起點， 的點稱為終點。本例中有兩個分支，終點都在無窮遠(yuǎn)處。這里是用解析法畫出的根軌跡，但對于高階系統(tǒng)，求根困難，需用圖解法畫圖。復(fù)平面上滿足相角條件的點應(yīng)在根軌跡上。上例中，A點在根軌跡上嗎？向量s和s+1的相角分別為根據(jù)相角條件(試探法)：顯然，只有三角形OAB是等腰三角形時，，A點在根軌跡上。點顯然不在根軌跡上。AB[定義]：滿足相角條件的點連成的曲線稱為180度等相角根軌跡。同樣，滿足幅值條件的點連成的曲線稱為等增益根軌跡（它是在某一增益的情況下繪制的）。P112,F4-5180度等相角根軌跡和等增益根軌跡是正交的，其交點滿足根軌跡方程，每一點對應(yīng)一個。由于180度等相角根軌跡上的任意一點都可通過幅值條件計算出相應(yīng)的值，所以直接稱180度等相角根軌跡為根軌跡。在根軌跡上的已知點求該點的值的例子。上例中，若A點的坐標(biāo)是0.5+j2，則根據(jù)幅值條件：小結(jié)根