復變函數(shù)課件二(北京理工大學)

第二章解析函數(shù)

解析函數(shù)是復變函數(shù)研究的主要對象。本章首先介紹復變函數(shù)導數(shù)的概念，然后討論復變函數(shù)在一點解析的概念和充要條件，最后介紹幾個常見初等函數(shù)的解析性。11復變函數(shù)的導數(shù)2解析函數(shù)2§2-1復變函數(shù)的導數(shù)(1)導數(shù)的定義3注意4解5解67(2)可導與連續(xù)的關系函數(shù)f(z)在z0處可導，則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0

處連續(xù)不一定在z0

處可導.8但二元函數(shù)u(x,y)=2x,v(x,y)=3y

連續(xù)，由連續(xù)性定理知，f(z)=2x+3yi連續(xù)。9(3)求導法則由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實函數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致，同時，復變函數(shù)中的極限運算法則也和實函數(shù)中一樣，因而實函數(shù)中的求導法則可推廣到復變函數(shù)中，且證明方法相同，此處略.求導公式與法則:10111.可微的概念復變函數(shù)可微的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致。復變函數(shù)可微與可導是否也具有一元實變函數(shù)可微與可導的關系？二、微分的定義及其可微的充要條件12令13則且反過來可容易證明14與一元函數(shù)類似地,記152.復變函數(shù)在一點可導的充要條件Cauchy-Rieman方程16定理1復變函數(shù)點可導的充分必要條件是：⑴函數(shù)

與

在

可微．⑵在該點滿足方程

當在可導時，它在該點的導數(shù)為條件（*）常稱為柯西—黎曼方程（C.—R.方程）．1718推論設。若和在的四個一階偏導函數(shù)在點均連續(xù)并且滿足C-R方程，則在點處可導。注意1）在點可微等價于它在該點可導。但不等價于其實部函數(shù)與虛部函數(shù)在點可微。

2）一個二元實函數(shù)在某點可微的充分條件是：它的兩個一階偏導數(shù)在該點不僅存在，而且是連續(xù)。19(1)解析函數(shù)的定義

§2-2函數(shù)的解析性20復變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導是等價的.

復變函數(shù)在一點處解析必在該點處可導；反過來不一定成立，即復變函數(shù)在一點處可導，不一定在該點處解析.

事實上，復變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導.

21定理1

函數(shù)的解析點一定是它的可導點．反之不真；點為函數(shù)的解析點的充分必要條件是點為其可導點所構(gòu)成的集合的內(nèi)點。推論1

若函數(shù)在某個區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件為它在該區(qū)域內(nèi)可導．推論2

復變函數(shù)不會只在有限個點或者一條曲線上解析，它的全體解析點的集合一定是開集。

22另外，由第1節(jié)的定理以及推論1，我們有定理2

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析等價于二元實函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)處處可微，并且滿足C—R方程。此時，在區(qū)域內(nèi)有

23例題例1

判定下列函數(shù)在何處可導,在何處解析:解不滿足Cauchy-Riemann方程,此時24且四個偏導數(shù)均連續(xù)此時25四個偏導數(shù)均連續(xù)此時26此時27例2

判別函數(shù)的可導點和解析點。

這四個偏導數(shù)都連續(xù)，u(x,y)和v(x,y)處處可微，其C-R方程只在直線y=x上成立。于是函數(shù)f(z)僅在直線y=x上可導，f(z)在復平面內(nèi)處處不解析。此時28例3

解29例4證30例5解31參照以上例題可以證明:32例6

研究在的可導性。（說明在上面定理中的可微性不可去）33解析函數(shù)的判定方法:34容易得到35從而，可知(1)所有多項式在復平面內(nèi)是處處解析的.36解3738解39§2-3初等解析函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)2.對數(shù)函數(shù)3.冪函數(shù)4.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)401.指數(shù)函數(shù)定義顯然為簡便，常用下面記號與指數(shù)函數(shù)符號一致與Euler公式相一致41定理

指數(shù)函數(shù)具有如下性質(zhì)：42例1

解43例2

解求出下列復數(shù)的輻角主值:44例3

解從而，有452.對數(shù)函數(shù)這樣或因此4647例4

解注意:在實函數(shù)中，負數(shù)無對數(shù)，而復變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實對數(shù)函數(shù)的拓廣.48例5解49解5051對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對于某一固定分支，有523.冪函數(shù)注意:53例7解例8解54冪函數(shù)的解析性它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)解析,554.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)將兩式相加與相減,得下面把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復值的情況.565758為周期的周期函數(shù).59正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù).

雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)在復平面內(nèi)也都是解析函數(shù)60一些常用的重要公式：61但與實函數(shù)完全不同的是：sinz,cosz

無界62例9解z)Re(tan=63解例1064例11解655.反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)兩端取對數(shù)得66反正弦函數(shù)反正切函數(shù)67解例1268本章主要內(nèi)容復變函數(shù)連續(xù)解析函數(shù)初等解析函數(shù)判別方法可導解析指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)冪函數(shù)反三角函數(shù)69本章要注意的幾點導數(shù)的概念解析的充要條件基本初等函數(shù)的運用701789.8.21生于法國、巴黎1857.5.23卒于法國、斯科A.L.Cauchy(柯西)簡介數(shù)學分析嚴格化的開拓者復變函數(shù)論的奠基人彈性力學理論的建立者在方程、群論、數(shù)論、幾何、光學、天體力學等也有出色貢獻。多產(chǎn)的科學家(800多篇論文)，分析大師。7