復(fù)變函數(shù)課件二(北京理工大學(xué))

第二章解析函數(shù)

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象。本章首先介紹復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，然后討論復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)解析的概念和充要條件，最后介紹幾個(gè)常見初等函數(shù)的解析性。11復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2解析函數(shù)2§2-1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)的定義3注意4解5解67(2)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)，則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0

處連續(xù)不一定在z0

處可導(dǎo).8但二元函數(shù)u(x,y)=2x,v(x,y)=3y

連續(xù)，由連續(xù)性定理知，f(z)=2x+3yi連續(xù)。9(3)求導(dǎo)法則由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致，同時(shí)，復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)函數(shù)中一樣，因而實(shí)函數(shù)中的求導(dǎo)法則可推廣到復(fù)變函數(shù)中，且證明方法相同，此處略.求導(dǎo)公式與法則:10111.可微的概念復(fù)變函數(shù)可微的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致。復(fù)變函數(shù)可微與可導(dǎo)是否也具有一元實(shí)變函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系？二、微分的定義及其可微的充要條件12令13則且反過來可容易證明14與一元函數(shù)類似地,記152.復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件Cauchy-Rieman方程16定理1復(fù)變函數(shù)點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是：⑴函數(shù)

與

在

可微．⑵在該點(diǎn)滿足方程

當(dāng)在可導(dǎo)時(shí)，它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為條件（*）常稱為柯西—黎曼方程（C.—R.方程）．1718推論設(shè)。若和在的四個(gè)一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)均連續(xù)并且滿足C-R方程，則在點(diǎn)處可導(dǎo)。注意1）在點(diǎn)可微等價(jià)于它在該點(diǎn)可導(dǎo)。但不等價(jià)于其實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)在點(diǎn)可微。

2）一個(gè)二元實(shí)函數(shù)在某點(diǎn)可微的充分條件是：它的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)不僅存在，而且是連續(xù)。19(1)解析函數(shù)的定義

§2-2函數(shù)的解析性20復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.

復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處解析必在該點(diǎn)處可導(dǎo)；反過來不一定成立，即復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，不一定在該點(diǎn)處解析.

事實(shí)上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo).

21定理1

函數(shù)的解析點(diǎn)一定是它的可導(dǎo)點(diǎn)．反之不真；點(diǎn)為函數(shù)的解析點(diǎn)的充分必要條件是點(diǎn)為其可導(dǎo)點(diǎn)所構(gòu)成的集合的內(nèi)點(diǎn)。推論1

若函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件為它在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)．推論2

復(fù)變函數(shù)不會(huì)只在有限個(gè)點(diǎn)或者一條曲線上解析，它的全體解析點(diǎn)的集合一定是開集。

22另外，由第1節(jié)的定理以及推論1，我們有定理2

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析等價(jià)于二元實(shí)函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)處處可微，并且滿足C—R方程。此時(shí)，在區(qū)域內(nèi)有

23例題例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解不滿足Cauchy-Riemann方程,此時(shí)24且四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)此時(shí)25四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)此時(shí)26此時(shí)27例2

判別函數(shù)的可導(dǎo)點(diǎn)和解析點(diǎn)。

這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，u(x,y)和v(x,y)處處可微，其C-R方程只在直線y=x上成立。于是函數(shù)f(z)僅在直線y=x上可導(dǎo)，f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。此時(shí)28例3

解29例4證30例5解31參照以上例題可以證明:32例6

研究在的可導(dǎo)性。（說明在上面定理中的可微性不可去）33解析函數(shù)的判定方法:34容易得到35從而，可知(1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.36解3738解39§2-3初等解析函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)2.對(duì)數(shù)函數(shù)3.冪函數(shù)4.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)401.指數(shù)函數(shù)定義顯然為簡便，常用下面記號(hào)與指數(shù)函數(shù)符號(hào)一致與Euler公式相一致41定理

指數(shù)函數(shù)具有如下性質(zhì)：42例1

解43例2

解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:44例3

解從而，有452.對(duì)數(shù)函數(shù)這樣或因此4647例4

解注意:在實(shí)函數(shù)中，負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)，而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.48例5解49解5051對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于某一固定分支，有523.冪函數(shù)注意:53例7解例8解54冪函數(shù)的解析性它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析,554.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)將兩式相加與相減,得下面把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.565758為周期的周期函數(shù).59正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).

雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)也都是解析函數(shù)60一些常用的重要公式：61但與實(shí)函數(shù)完全不同的是：sinz,cosz

無界62例9解z)Re(tan=63解例1064例11解655.反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)兩端取對(duì)數(shù)得66反正弦函數(shù)反正切函數(shù)67解例1268本章主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)連續(xù)解析函數(shù)初等解析函數(shù)判別方法可導(dǎo)解析指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)冪函數(shù)反三角函數(shù)69本章要注意的幾點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念解析的充要條件基本初等函數(shù)的運(yùn)用701789.8.21生于法國、巴黎1857.5.23卒于法國、斯科A.L.Cauchy(柯西)簡介數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的開拓者復(fù)變函數(shù)論的奠基人彈性力學(xué)理論的建立者在方程、群論、數(shù)論、幾何、光學(xué)、天體力學(xué)等也有出色貢獻(xiàn)。多產(chǎn)的科學(xué)家(800多篇論文)，分析大師。7