痛點7-解三角形與不等式交匯問題(解析版)

痛點7解三角形與不等式交匯問題一、單選題1．（2020·天津月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，則“”，是“為銳角三角形”的（）條件A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】中，，，即，，因為，，所以為銳角.當(dāng)為銳角時，不一定為銳角三角形；當(dāng)為銳角三角形時，一定為銳角.所以“”是“為銳角三角形”的必要非充分條件.2．（2020·陜西安康·月考）已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，，則當(dāng)?shù)闹荛L最大時，的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理得，∵,∴，，，由余弦定理，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時．3．（2020·北方民族大學(xué)附屬中學(xué)）如圖，在中，點是邊上的一點，，，，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】中根據(jù)余弦定理，即，整理為，解得，中利用余弦定理，，所以.4．（2020·云南昆明一中月考）已知三個內(nèi)角，，及其對邊，，，其中，角為銳角，且，則面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得，所以，即，而，所以，所以，又因為，所以，所以，，5．（2020·重慶月考）在中，角，，的對邊分別為，，若，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理得，因為，所以，整理得，由余弦定理得，因為，所以6．（2020·河南洛陽·高三月考）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，．若，且的面積為，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由正弦定理及，得，所以①，又，所以，由的面積為，得，即，代入①，得，所以．7．（2020·江蘇高三月考）在中，內(nèi)角、、所對應(yīng)的邊分別為、、，且．若，則邊的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】，所以，由正弦定理得，，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，邊的最小值為.8．（2020·河南高二其他）若的面積為，且為鈍角，的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】∵，∴，，∴，∴，又∵為鈍角，∴，∴，，由正弦定理得，9．（2020·山西大附中）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則的最大值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】因為，所以由正弦定理得，，因為，所以，所以，化簡得，因為，所以，解得，因為，所以，因為，所以由余弦定理得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，的最大值為，10．（2020·寧夏銀川一中）在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則當(dāng)角取最大值時，的周長為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】因為，所以，即是鈍角，是銳角，，即得，故，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時最大，為，故角取最大值，，故，又由，故，即周長為.11．（不定項）（2020·廣東汕頭·月考）在銳角三角形中，、、是其三內(nèi)角，則下列一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對于A，在三角形中，兩邊之和大于第三邊，則，由正弦定理得，故A錯誤.因為是銳角三角形，所以所以B對，同理C對；對于D，由于，，所以D錯.12．（不定項）（2020·湖南懷化·月考）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C．面積的最大值為 D．面積的最大值為【答案】BC【分析】∵，∴，∴，由正弦定理可得，∴，，，，當(dāng)時取等號，∴，∴.二、填空題13．（2020浙江臺州）若為銳角三角形，且，，則邊長的取值范圍是______.【答案】【分析】為銳角三角形，，，，由正弦定理：，得，又，，，，即。14．（2020·江蘇省響水中學(xué)）設(shè)的面積為，滿足.且，若角不是最小角，則的取值范圍是_________.【答案】【分析】由得，即,解得，所以.又，由余弦定理得：，所以，又不是最小角，所以，得，故，又，所以.15．（2020·河北衡水月考）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，則外接圓面積的最小值為___________.【答案】【分析】因為，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，時，此時，，外接圓的半徑等于，，又因為，所以，則，外接圓的面積為。16．（2020·遼源市第五中學(xué)校期末）在中，，，，分別為角，，的對邊，且.若的內(nèi)切圓面積為，則面積的最小值_______.【答案】【分析】因為，以，即，所以，即，；由題意知內(nèi)切圓的半徑為，如圖，內(nèi)切圓的圓心為，為切點，則，從而，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），從而，即面積的最小值為.三、解答題17．（2020·貴州遵義）的內(nèi)角所對邊分別為，已知．（1）求角C；（2）若D為中點，且，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）因為，所以，所以且，所以，所以；（2）因為，所以，又因為，所以，所以（取等號時），所以，所以（取等號時），所以的最大值為.18．（2020·廣西柳州·高三）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為，已知△ABC面積為.（1）求角C；（2）若D為AB中點，且c=2，求CD的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）依題意得，，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，又因為，所以.（2）∵，，∴，即．∵為中點，所以，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為．19．（2020·安徽省蚌埠第三中學(xué)）在中的內(nèi)角分別為，向量，向量且.（1）求銳角的大小.（2）如果，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）∵向量，向量且，∴，∴，即，∴.又為銳角，∴，∴，則；（2）當(dāng)，時，由余弦定理得：，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；當(dāng)，時，由余弦定理得：，即當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；∴(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)，綜上，的最大值為.20．（2020·遼寧月考）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求出函數(shù)的最大值，并寫出對應(yīng)的的集合；（2）在中，角、、的對邊分別為、、，若，，求的最小值.【答案】（1）函數(shù)取最大值，此時的取值集合為；（2）.【分析】（1）函數(shù)，，所以，，當(dāng)或時，即當(dāng)時，函數(shù)取最大值；（2）由題意，化簡得，，，，解得.在中，根據(jù)余弦定理，得.由，知，即.當(dāng)時，取最小值為.21．（2020·湖南師大附中高三）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答.已知的內(nèi)角的對邊分別為，，而且_____.（1）求；（2）求周長的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）最大值為.【分析】（1）選①，把，整理得，由余弦定理得，因為，所以.選②，因為，由正弦定理，可得，因為，則，所以，可得，又，所以，故，即.選③，因為，由正弦定理得：，即，所以，因為，所以.（2）由（1）可知，，在中，由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，即周長的最大值為.22．（2020浙江臺州·期中）已知a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對邊，且的面積.（1）記，，若.（i）求角C；（ii）求的值；（2）求的取