2024屆江蘇省淮安市五校聯(lián)盟高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)查測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat16頁(yè)2024屆江蘇省淮安市五校聯(lián)盟高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)查測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，即可由交集運(yùn)算求解.【詳解】由可得又，所以，故選：A2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】由，故選：D3．已知，命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立，利用判別式即可求解，利用集合間的關(guān)系即可求解.【詳解】為真命題，則，故，由于，所以是的必要不充分條件，故選：B4．?dāng)?shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項(xiàng)分別為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】先得出遞推公式，疊加法求通項(xiàng)公式，再用基本不等式求最小值即可.【詳解】數(shù)列前六項(xiàng)分別為，依題知，疊加可得：，得，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以等號(hào)取不了，所以最小值在取得，當(dāng)時(shí)，，所以最小值為.故選：C5．已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由于，所以，，故選：D6．已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可列不等式求解.【詳解】由于的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且故為偶函數(shù)，而當(dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)，故當(dāng)，單調(diào)遞減，由可得，平方得，解得或，故的取值范圍是，故選：C7．已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解.【詳解】由于所以，要使為整數(shù)，則為24的因數(shù)，由于，故可以為，故滿足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為7個(gè)，故選：B8．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的互化關(guān)系可得均滿足方程，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程的解，即可結(jié)合的單調(diào)性求解.【詳解】令，則，由可得，進(jìn)而可得故，同理可得，令或，故均為方程的實(shí)數(shù)根，故，，由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，故選:B二、多選題9．已知為等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和.若與的等差中項(xiàng)為20，則（

）A． B．公比C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解公比和首項(xiàng)，進(jìn)而由求和公式以及通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由得，又與的等差中項(xiàng)為20，則，所以公比為，故，故，故ACD正確，B錯(cuò)誤，故選:ACD10．已知正數(shù)滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為9C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】運(yùn)用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)槭钦龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，有最大值為，因此本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)槭钦龜?shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)取等號(hào)，故本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)槭钦龜?shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，有最小值，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)槭钦龜?shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，的最小值為因此本選項(xiàng)正確，故選：BD三、單選題11．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱B．在區(qū)間上的最小值為C．過(guò)點(diǎn)有且僅有1條直線與曲線相切D．若過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷A，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值，進(jìn)而判斷B，求解切點(diǎn)處的切線方程，將經(jīng)過(guò)的點(diǎn)代入，利用方程的根即可判斷DC.【詳解】的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確，，令得或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，最小值為，故B錯(cuò)誤，設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)處切線方程為，若切線經(jīng)過(guò)，則將代入可得，所以或，故經(jīng)過(guò)會(huì)有兩條切線，C錯(cuò)誤，若切線經(jīng)過(guò)，則將代入得，令，則當(dāng)因此在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，作出的圖象如下：，要使過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則直線過(guò)點(diǎn)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，D正確，故選：AD四、多選題12．已知函數(shù)，則（

）A．是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，且最小值為，則B．若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則C．若在上單調(diào)遞增，則在上的零點(diǎn)最多有3個(gè)D．若的圖象與直線連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)從左到右依次為，若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)和周期公式可判斷A；函數(shù)由小到大的第4個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，第5個(gè)零點(diǎn)大于求解可判斷B；根據(jù)單調(diào)性和第3個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)分別求出范圍即可判斷C；數(shù)形結(jié)合可得，然后可得，即可求出m，可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：由題可知，所以，A正確；B選項(xiàng)：若，令得，即，所以，函數(shù)由小到大的第4個(gè)零點(diǎn)為，第5個(gè)零點(diǎn)為，由題知，，解得，B正確；C選項(xiàng)：由得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，若在上有3個(gè)零點(diǎn)，則，解得，因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由圖可知，，又，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，D正確.故選：ABD.五、填空題13．?dāng)?shù)列滿足，則.【答案】/【分析】根據(jù)遞推式得到數(shù)列的周期，應(yīng)用周期性求對(duì)應(yīng)項(xiàng).【詳解】由題設(shè)，所以是周期為3的數(shù)列，則.故答案為：14．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可列不等式求解.【詳解】由得，由于函數(shù)的定義域?yàn)?，故?解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故答案為：15．在中，角的對(duì)邊分別為為邊中點(diǎn)，若，則面積的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)公式即可，結(jié)合基本不等式即可求解，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】由于為邊中點(diǎn),所以,平方,因此,由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，由于在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，最小，且為鈍角，,由于在單調(diào)遞增，故當(dāng)取最小值時(shí)，此時(shí)面積最大，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，進(jìn)而最小，故面積最大，由可得，故面積的最大值為，故答案為：16．已知函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的所有整數(shù)的取值集合為.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論、研究單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為極小值恒成立，構(gòu)造中間函數(shù)研究使對(duì)應(yīng)a的區(qū)間，即得答案.【詳解】由題意且，當(dāng)時(shí)，即在上遞減，又，所以，定義域內(nèi)存在，不符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，遞減；時(shí)，遞增；所以，要使恒成立，只需，令且，則，所以，時(shí)，遞增；時(shí)，遞減；由，所以在各有一個(gè)零點(diǎn)，且取兩個(gè)零點(diǎn)之間的值（含零點(diǎn)）時(shí)，故整數(shù)時(shí)恒成立.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，特殊值判斷是否能使恒成立，對(duì)于求的極小值，構(gòu)造中間函數(shù)研究極小值恒大于等于0的情況.六、解答題17．已知函數(shù)，且的最大值為3，最小正周期為.(1)求的解析式；(2)求在上的值域，并指出取得最大值時(shí)自變量的值.【答案】(1)(2)值域?yàn)?，取最大值時(shí)自變量的值為【分析】（1）由輔助角公式化簡(jiǎn)，即可由周期公式求解，根據(jù)最值可得，（2）由得，即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1），所以的最小正周期，則；且的最大值，則.所以.（2）因?yàn)?，所以，則，則，所以的值域?yàn)?當(dāng)取得最大值時(shí)，，所以自變量的值為.18．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得公差和首項(xiàng)，進(jìn)而根據(jù)公式即可求解，（2）根據(jù)當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，即可分類求解，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的前項(xiàng)和.（2）由得，所以當(dāng)時(shí)，，；由得，所以當(dāng)時(shí)，，.所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，.19．已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求的極值；(2)若在上的最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求解極值，（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分類討論即可求解.【詳解】（1），，.因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，則.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以的極大值為，極小值為.（2）.①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，的最小值為，不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍時(shí).20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得，進(jìn)而可得為等比數(shù)列，即可求解，（2）利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求證.【詳解】（1）因?yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，②①-②得，即，則，所以數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，所以.（2）因?yàn)?，所以，所?21．中，角的對(duì)邊為.(1)求角的大??；(2)若內(nèi)切圓的半徑，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的角邊化及降冪公式，結(jié)合余弦定理的推論及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)的特殊角即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由正弦定理得，因?yàn)?，所以，則，即，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以?）.又的面積，即，則，代入（*）式得，即，所以，則，所以的面積.22．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)和函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式即可求解,（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,分類討論，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線方程為，即.由得，即.因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋苑匠逃蟹橇銓?shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，即，且，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，即無(wú)實(shí)根，所以當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)根，因?yàn)?，即是偶函?shù)，所以在上無(wú)實(shí)根.，記則，.①當(dāng)時(shí)，，又，則，所以，滿足在上無(wú)實(shí)根.②當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，不合題意，舍去.③當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足在上無(wú)實(shí)根.④當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，，則存在唯一的，使，列表得-0+↘極小值↗所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，則，又因?yàn)?，且在上連續(xù)，所以在上有實(shí)根，不合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛