回歸分析和獨立性檢驗(教師版)

回歸分析即獨立性檢驗一、回歸分析1、兩個變量之間的關(guān)系；常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求確實定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機(jī)性的．當(dāng)一個變量取值一定時，另一個變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．2、散點圖：將樣本中的個數(shù)據(jù)點描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到了散點圖．散點圖形象地反映了各個數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點圖的分布趨勢可以直觀地判斷分析兩個變量的關(guān)系．3、如果當(dāng)一個變量的值變大時，另一個變量的值也在變大，那么這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時，散點圖中的點在從左下角到右上角的區(qū)域．反之，一個變量的值變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)．此時，散點圖中的點在從左上角到右下角的區(qū)域．散點圖可以判斷兩個變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系．4、回歸分析：對于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析，即回歸分析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性．回歸直線：如果散點圖中的各點都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．5、最小二乘法：記回歸直線方程為：，稱為變量對變量的回歸直線方程，其中叫做回歸系數(shù)．用最小二乘法求回歸系數(shù)有如下的公式：，其中上方加“〞，表示是由觀察值按最小二乘法求得的〔樣本中心點必定落在回歸直線上〕例1、回歸直線方程中斜率的估計值為1.23，樣本點的中心(4,5)，那么回歸直線方程為A.＝1.23x＋0.08B.＝0.08x＋1.23C.＝1.23x＋4D.＝1.23x＋5解析回歸直線方程過樣本點的中心，把點(4,5)代入A項成立．答案A例2、下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x〔噸〕與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y〔噸標(biāo)準(zhǔn)煤〕的幾組對照數(shù)據(jù)ｘ３４５６ｙ２．５３４４．５請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出ｙ關(guān)于ｘ的線性回歸方程；該廠技術(shù)改造前１００噸甲產(chǎn)品能耗為９０噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)〔２〕求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)１００噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？【解析】(1)如以下圖(2)=32.5+43+54+64.5=66.5==4.5==3.5=+++=86故線性回歸方程為y=0.7x+0.35(3)根據(jù)回歸方程的預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.7100+0.35=70.35故耗能減少了90-70.35=19.65(噸)練習(xí)1、某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線；(3)試預(yù)測加工10個零件需要多少時間？解(1)散點圖如下圖．(2)由表中數(shù)據(jù)得＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54，∴＝0.7.∴＝1.05.∴＝0.7x＋1.05.回歸直線如圖中所示．(3)將x＝10代入回歸直線方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小時)，∴預(yù)測加工10個零件需要8.05小時．二、獨立性檢驗1、聯(lián)表的獨立性檢驗：如果對于某個群體有兩種狀態(tài)，對于每種狀態(tài)又有兩個情況，這樣排成一張的表，如下：合計如果有調(diào)查得來的四個數(shù)據(jù)，并希望根據(jù)這樣的個數(shù)據(jù)來檢驗上述的兩種狀態(tài)與是否有關(guān)，就稱之為聯(lián)表的獨立性檢驗．2、獨立性檢驗的步驟：統(tǒng)計假設(shè)：；列出聯(lián)表；計算統(tǒng)計量；查對臨界值表，作出判斷．3、幾個臨界值：．4、統(tǒng)計假設(shè)：如果事件與獨立，這時應(yīng)該有，用字母表示此式，即，稱之為統(tǒng)計假設(shè)．5、〔讀作“卡方〞〕統(tǒng)計量：統(tǒng)計學(xué)中有一個非常有用的統(tǒng)計量，它的表達(dá)式為，用它的大小可以用來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)6、統(tǒng)計量的臨界值的作用：比方：當(dāng)時，有的把握說事件與有關(guān)；當(dāng)時，有的把握說事件與有關(guān)；當(dāng)時，有的把握說事件與是無關(guān)的．7、獨立性檢驗的根本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)生，而小概率事件在一次試驗中通常是不會發(fā)生的，所以認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立例、甲、乙兩所學(xué)校高三年級分別有1200人、1000人，為了解兩所學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)六校聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從兩所學(xué)校一共抽取了110名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下：甲校：分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻數(shù)34815分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數(shù)15x32乙校：分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻數(shù)1289分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數(shù)1010y3(1)計算x，y的值；(2)假設(shè)規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀，請分別估計兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率；(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異.甲校乙校總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計解：(1)甲校抽取110×eq\f(1200,2200)＝60(人)，乙校抽取110×eq\f(1000,2200)＝50(人)，故x＝10，y＝7.(2)估計甲校優(yōu)秀率為eq\f(15,60)＝25%，乙校優(yōu)秀率為eq\f(20,50)＝40%.(3)表格填寫如下：甲校乙校總計優(yōu)秀152035非優(yōu)秀453075總計6050110K2＝eq\f(11015×30－20×452,60×50×35×75)≈2.83>2.706，又因為1－0.10＝0.9，故有90%的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異．練習(xí)1、某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨立性檢驗，經(jīng)計算χ2＝7.069，那么所得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：有()的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持活動有關(guān)系〞．(C)A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%2、某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班〞，每班50人．陳老師采用A、B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個班級進(jìn)行教改實驗．為了了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師分別從兩個班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，作出莖葉圖如下．記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀〞．由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為：“成績優(yōu)秀〞與教學(xué)方式有關(guān).甲班(A方式)乙班(B方式)總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計[解析]由數(shù)據(jù)得甲班(A方式)乙班(B方式)總計成績優(yōu)秀156成績不優(yōu)秀191534總計202040根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，χ2＝eq\f(40×1×15－5×192,6×34×20×20)≈3.137，由于3.137>2.706，所以有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀〞與教學(xué)方式有關(guān)．回歸分析和獨立性檢驗練習(xí)題1、一位母親記錄了兒子3～9歲的身高，由此建立的身高與年齡的回歸模型為＝7.19x＋73.93，用這個模型預(yù)測這孩子10歲時的身高，那么正確的表達(dá)是(D)A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm以下D．身高在145.83cm左右2、某考察團(tuán)對全國10大城市進(jìn)行職工人均工資水平x(千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程為＝0.66x＋1.562.假設(shè)某城市居民人均消費水平為7.675千元，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為(A)A．83%B．72%C．67%D．66%解析將y＝7.675代入回歸方程，可計算得x≈9.26，所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.675÷9.26≈0.83，即約為83%.3、假設(shè)施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的回歸直線方程為＝5x＋250，當(dāng)施化肥量為80kg時，預(yù)報水稻產(chǎn)量為_____________________．解析當(dāng)x＝80kg時，＝5×80＋250＝650kg.答案650kg4、從某高中隨機(jī)選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：身高x(cm)160165170175180體重y(kg)6366707274根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.56x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此模型預(yù)報身高為172cm的高三男生的體重為(B)A．70.09kgB．70.12kgC．70.55kgD．71.05kg5、下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(t)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(t)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：x3456y2.5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為(A)A．3B．3.15C．3.5D．4.56、有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分的優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30總計105在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，那么以下說法正確的選項是(C)A.列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，假設(shè)按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系〞D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，假設(shè)按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系〞7、某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程，其中，；(2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的本錢是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－本錢)解：(1)由于＝eq\f(1,6)(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，所以＝80＋20×8.5＝250.從而回歸直線方程為＝－20x＋250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(33,4)))2＋361.25，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時，L取得最大值．故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤．8、考察黃煙經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)，在試驗的470珠黃煙中，經(jīng)過藥物