曲率的計算公式課件_第1頁
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文檔簡介

一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑§3.7曲率曲線的彎曲線程度與哪些因素有關.怎樣度量曲線的彎曲程度？上頁下頁鈴結束返回首頁一、弧微分曲線的基點與正向

設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a

b)內具有連續(xù)導數(shù)

在曲線y

f(x)上取固定點M0(x0

y0)作為度量弧長的基點

并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向

下頁s>0s<0有向弧段的值MM0(對曲線上任一點M(x

y)

規(guī)定有向弧段的值s(簡稱弧)如下

s的絕對值等于這弧段的長度

當有向弧段MM0(的方向與曲線的正向一致時s>0

相反時s<0

顯然

弧s是x的單調增加函數(shù)

s

s(x)

下頁一、弧微分弧微分公式設x

x

Dx為(a

b)內兩個鄰近的點

它們在曲線y

f(x)上的對應點為M

N

并設對應于x的增量Dx

弧s的增量為Ds.因為當Dx

0時

Ds~

MN

又Dx與Ds同號

所以由此得弧微分公式:

首頁二、曲率及其計算公式提示：可以用單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度.下頁觀察與思考：觀察曲線的彎曲線程度與哪些因素有關.怎樣衡量曲線的彎曲程度？設曲線C的方程為y

f(x)

且f(x)具有二階導數(shù)

因為tana

y

所以sec2ada

y

dx

下頁曲率的計算公式

例1

計算等邊雙曲線xy

1在點(1,1)處的曲率.曲率的計算公式：曲線在點(1

1)處的曲率為因此y

|x

1

1

y

|x

1

2

解

下頁

例2

拋物線y

ax2

bx

c上哪一點處的曲率最大？

解

由y

ax2

bx

c

得y

2ax

b

y

2a

代入曲率公式

得顯然

當2ax

b

0時曲率最大

因此

拋物線在頂點處的曲率最大

此處K

|2a|

下頁曲率的計算公式：討論：3

半徑為R的圓上任一點的曲率是什么？1

直線y=ax+b上任一點的曲率是什么？2.若曲線的參數(shù)方程為x=j(t),

y=y(t)

那么曲率如何計算？提示：1.設直線方程為y=ax+b,那么y=a,y=0.于是K=0.3.圓的參數(shù)方程為x=Rcost,

y=Rsint

.

2.

首頁三、曲率圓與曲率半徑上述圓叫做曲線在點M處的曲率圓

其圓心叫做曲率中心

其半徑r叫做曲率半徑

曲率與曲率半徑關系曲率圓與曲率半徑設曲線在點M處的曲率為K(K

0).

在曲線凹的一側作一個與曲線相切于M且半徑為r=K-1的圓.下頁曲率圓曲率半徑曲率中心例3設工件外表的截線為拋物線y0.4x2.現(xiàn)在要用砂輪磨削其內外表.問用直徑多大的砂輪才比較適宜？

解

砂輪的半徑不應大于拋物線頂點處的曲率半徑

拋物線頂點處的曲率半徑為r=K-1

1.25

因此,選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長

即直徑不得超過2.50單位長

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