2023-2024學(xué)年山東省青島市萊西市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省青島市萊西市九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題（本題滿分30分，共10道小題，每小題3分）1．如圖，在一間黑屋子的地面A處有一盞探照燈，當人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是（）A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定2．如圖所示是一個鋼塊零件，它的左視圖是（）A． B． C． D．3．如圖是某個幾何體的三視圖，則該幾何體是（）A．圓錐 B．長方體 C．三棱柱 D．圓柱4．一個矩形的平行投影不可能是（）A．梯形 B．矩形 C．平行四邊形 D．線段5．在Rt△ABC中，如果各邊長度都擴大為原來的2倍，則銳角∠A的余弦值的變化情況是（）A．都縮小為原來的 B．都擴大為原來的2倍 C．都沒有變化 D．不能確定6．河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1：3，則AB的長為（）A．12米 B．米 C．米 D．米7．“兒童放學(xué)歸來早，忙趁東風放紙鳶”，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風箏，已知風箏拉線長100米且拉線與地面夾角為65°（如圖所示，假設(shè)拉線是直的，小明身高忽略不計），則風箏離地面的高度可以表示為（）A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．8．二次函數(shù)y＝﹣3（x+2）2+3的頂點坐標是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3）9．將拋物線y＝x2﹣2x向左平移m個單位，其頂點落在直線上，則m的值為（）A．2 B．3 C．4 D．510．一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y＝在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象大致為（）A． B． C． D．二、填空題（本題滿分18分，共6道小題，每小題3分）11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，，則∠A的度數(shù)為．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則sinB的值為．13．二次函數(shù)的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜0，則y1與y2的大小關(guān)系為．（填“＞”，“＜”或“＝”）14．如圖所示的衣架可近似看成一個等腰三角形，若AB＝AC＝18cm，∠ABC＝27°，則衣架寬BC約為cm．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）15．如圖，一條線段AB在平面α內(nèi)的正投影為A'B'，，A'B'＝，則∠ABB′的度數(shù)為．16．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，對稱軸為直線x＝1．下面結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于﹣1且小于0．其中正確的是．（只填序號）三、解答題（本題滿分72分，共10道小題）17．計算：（1）sin60°?cos30°﹣tan45°+sin45°；（2）．18．Rt△ABC中，∠C＝90°，，，解這個直角三角形．19．如圖，燈桿CD上掛有一盞燈，小穎和爸爸站在燈下，線段AB表示小穎的影子．（1）請通過畫圖，確定燈桿上燈泡O所在的位置；（2）請你在圖中畫出表示爸爸影子的線段EF．20．已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）畫出函數(shù)的圖象．①把如表補充完整：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3…②在所給的直角坐標系中，畫出此函數(shù)圖象．（2）根據(jù)所畫的圖象直接寫出當y＜0時，x的取值范圍．21．根據(jù)下列條件，選取你認為合適的方法求出二次函數(shù)的解析式：（1）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過（2，3），（﹣2，﹣5）兩點，并且以x＝1為對稱軸；（2）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點，且過（1，1）．22．某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件．后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件．求降價多少元時，可使商場每天的利潤最大，并求出最大利潤．23．周末，小紅和小宇相約一起去郊外勞動基地參加勞動．已知小紅家B在小宇家A的北偏西25°方向上，AB＝5km．兩人到達勞動基地C處后，發(fā)現(xiàn)小宇家A在勞動基地C的南偏西25°方向上，小紅家B在勞動基地C的南偏西70°方向上．求小宇家A到勞動基地C的距離AC．（結(jié)果保留1位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.41）24．跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動，運動員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵成．如圖1，某運動員經(jīng)過助滑后，從傾斜角為37°的跳臺A點沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，運動員在空中飛行的路線是以點A為頂點的拋物線的一部分．已知該運動員在B點著陸，AB＝150m，且sin37°＝0.6．請回答下列問題：（1）求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少米？（2）以拋物線頂點A為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，求該拋物線表達式；（3）求運動員離斜坡AB的最大距離．25．火災(zāi)是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會發(fā)展的主要災(zāi)害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點D，B，O在同一直線上，DO可繞著點O旋轉(zhuǎn)，AB為云梯的液壓桿，點O，A，C在同一水平線上，其中BD可伸縮，套管OB的長度不變，在某種工作狀態(tài)下測得液壓桿AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．（1）求BO的長；（2）消防人員在云梯末端點D高空作業(yè)時，將BD伸長到最大長度6m，云梯DO繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了3m，求云梯OD旋轉(zhuǎn)了多少度．（參考數(shù)據(jù)，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）26．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C．點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時另一個點也停止運動．（1）求P，Q運動多少秒，△PBQ的面積最大，最大面積是多少？（2）當△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在一點K，使S△CBK：S△PBQ＝5：2？若存在，求K點坐標；若不存在，請說明理由．附加題（本題供學(xué)有余力的學(xué)生嘗試解答，不作為考試內(nèi)容）27．拋物線y＝ax2+x﹣6與x軸交于A（t，0），B（8，0）兩點，與y軸交于點C，直線y＝kx﹣6經(jīng)過點B．點P在拋物線上，設(shè)點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的表達式和t，k的值；（2）如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐標；（3）如圖2，若點P在直線BC上方的拋物線上，過點P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQ+PQ的最大值．

參考答案一、選擇題（本題滿分30分，共10道小題，每小題3分）1．如圖，在一間黑屋子的地面A處有一盞探照燈，當人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是（）A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定【分析】直接利用探照燈的位置得出人在墻上的影子，進而得出答案．解：如圖所示：當人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是變?。蔬x：B．【點評】此題主要考查了中心投影，正確得出人的影子在墻上的變化是解題關(guān)鍵．2．如圖所示是一個鋼塊零件，它的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)解答幾何體的三視圖的畫法畫出它的左視圖即可．解：這個幾何體的左視圖如下：故選：D．【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡單幾何體的三視圖的畫法和形狀是正確解答的前提．3．如圖是某個幾何體的三視圖，則該幾何體是（）A．圓錐 B．長方體 C．三棱柱 D．圓柱【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體、錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．解：根據(jù)主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據(jù)俯視圖是圓可判斷出這個幾何體是圓柱．故選：D．【點評】此題考查了由三視圖判斷幾何體，關(guān)鍵是熟練掌握三視圖，主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．4．一個矩形的平行投影不可能是（）A．梯形 B．矩形 C．平行四邊形 D．線段【分析】根據(jù)平行投影得出矩形的投影圖形解答即可．解：在平行投影下，矩形的投影可能是線段、矩形、平行四邊形，不可能是梯形，故選：A．【點評】此題考查平行投影問題，關(guān)鍵是根據(jù)平行投影得出矩形的投影圖形解答．5．在Rt△ABC中，如果各邊長度都擴大為原來的2倍，則銳角∠A的余弦值的變化情況是（）A．都縮小為原來的 B．都擴大為原來的2倍 C．都沒有變化 D．不能確定【分析】設(shè)出原來的各邊，得到相應(yīng)的余弦值，進而得到擴大后的各邊，再得到擴大后的余弦值，比較即可．解：設(shè)原來三角形的各邊分別為a，b，c，則cosA＝，若把各邊擴大為原來的3倍，則各邊為3a，3b，3c，那么cosA＝＝，所以余弦值不變．故選：C．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．6．河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1：3，則AB的長為（）A．12米 B．米 C．米 D．米【分析】根據(jù)題意可以求得AC的長，再根據(jù)勾股定理即可求得AB的長，本題得以解決．解：∵BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1：3，∴，∴AC＝18米，∴AB＝＝＝6（米），故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用坡度和勾股定理解答．7．“兒童放學(xué)歸來早，忙趁東風放紙鳶”，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風箏，已知風箏拉線長100米且拉線與地面夾角為65°（如圖所示，假設(shè)拉線是直的，小明身高忽略不計），則風箏離地面的高度可以表示為（）A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．【分析】過點A作AC⊥BC于C，根據(jù)正弦的定義解答即可．解：如圖，過點A作AC⊥BC于C，在Rt△ABC中，sinB＝，則AC＝AB?sinB＝100sin65°（米），故選：A．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．二次函數(shù)y＝﹣3（x+2）2+3的頂點坐標是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3）【分析】利用函數(shù)解析式直接得出結(jié)論．解：二次函數(shù)y＝﹣3（x+2）2+3的頂點坐標是（﹣2，3）．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的頂點式，可確定拋物線的頂點坐標（對稱軸），關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．9．將拋物線y＝x2﹣2x向左平移m個單位，其頂點落在直線上，則m的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先求出平移后的拋物線的頂點坐標，然后代入即可求得m的值．解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴將拋物線y＝x2﹣2x向左平移m個單位得到y(tǒng)＝（x﹣1+m）2﹣1，其頂點為（1﹣m，﹣1），∵拋物線y＝x2﹣2x向左平移m個單位，其頂點為落在直線上，∴﹣＝﹣1，∴m＝3．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．10．一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y＝在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)先確定出a、b的取值范圍，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定出c的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可做出判斷．解：∵一次函數(shù)y＝ax+b經(jīng)過一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∵反比例函數(shù)y＝的圖象在一、三象限，∴c＞0，∵a＜0，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的開口向下，∵b＞0，∴＞0，∵c＞0，∴與y軸的正半軸相交，故選：C．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題滿分18分，共6道小題，每小題3分）11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，，則∠A的度數(shù)為60°．【分析】根據(jù)60°的正切值是解答即可．解：∵tanA＝，tan60°＝，∴∠A＝60°，故答案為：60°．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記60°的正切值是是解題的關(guān)鍵．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則sinB的值為．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可解答．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝，∴sinB＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關(guān)鍵．13．二次函數(shù)的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜0，則y1與y2的大小關(guān)系為y1＞y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】由于二次函數(shù)的圖象的開口向上，對稱軸為直線x＝2，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷y1與y2的大小關(guān)系．解：∵二次函數(shù)，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，∴在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，∵x1＜x2＜0＜2，∴y1＞y2．故答案為：y1＞y2．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖所示的衣架可近似看成一個等腰三角形，若AB＝AC＝18cm，∠ABC＝27°，則衣架寬BC約為32.04cm．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【分析】過點A作AH⊥BC于點H．證明BH＝CH，解直角三角形求出BH，可得結(jié)論．解：過點A作AH⊥BC于點H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∴BH＝AB?cos27°≈18×0.89＝16.02（cm），∴BC＝2BH＝32.04（cm），故答案為：32.04．【點評】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．15．如圖，一條線段AB在平面α內(nèi)的正投影為A'B'，，A'B'＝，則∠ABB′的度數(shù)為60°．【分析】過A作AC⊥BB′，交BB′于C點．求出sin∠B的值，可得結(jié)論．解：過A作AC⊥BB′，交BB′于C點．∵AB在平面Q內(nèi)的正投影為A′B′，∴∠AA′B′＝∠BB′A′＝90°，∴AC∥A′B′，且AC＝A′B′＝，則∠BAC即為所求．∴sin∠B＝＝＝，，∴∠B＝60°．故答案為：60°．【點評】本題考查平行投影，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．16．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，對稱軸為直線x＝1．下面結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于﹣1且小于0．其中正確的是①②③④．（只填序號）【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，本題得以解決．解：由圖象可得，a＜0，b＞0，c＞0，則abc＜0，故①正確；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正確；∵函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1，∴函數(shù)圖象與x軸的另一個交點在點（0，0）和點（﹣1，0）之間，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于﹣1且小于0，故④正確；∵當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴y＝a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③正確；故答案為：①②③④．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．三、解答題（本題滿分72分，共10道小題）17．計算：（1）sin60°?cos30°﹣tan45°+sin45°；（2）．【分析】（1）把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算，即可解答；（2）把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算，即可解答．解：（1）sin60°?cos30°﹣tan45°+sin45°＝×﹣1+×＝﹣1+1＝；（2）＝﹣＝﹣＝﹣＝0．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，特殊角的三角函數(shù)值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．18．Rt△ABC中，∠C＝90°，，，解這個直角三角形．【分析】利用勾股定理即可求得BC的長，然后利用三角函數(shù)求得∠A的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可求得∠B的度數(shù)．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，∴BC＝＝，∵sinA＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°．【點評】本題考查了解直角三角形，正確理解直角三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．19．如圖，燈桿CD上掛有一盞燈，小穎和爸爸站在燈下，線段AB表示小穎的影子．（1）請通過畫圖，確定燈桿上燈泡O所在的位置；（2）請你在圖中畫出表示爸爸影子的線段EF．【分析】（1）過小穎影子的頂端A和頭部頂端作直線，交CD于O，則點O即為燈泡所在的位置；（2）過燈泡O和爸爸頭部頂端作直線交直線AB于F，設(shè)爸爸所在點為E，則線段EF即為爸爸影子的線段．解：（1）過小穎影子的頂端A和頭部頂端作直線，交CD于O，則點O即為燈泡所在的位置，如圖：（2）過燈泡O和爸爸頭部頂端作直線交直線AB于F，設(shè)爸爸所在點為E，則線段EF即為爸爸影子的線段．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是掌握中心投影的性質(zhì)．20．已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）畫出函數(shù)的圖象．①把如表補充完整：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3…②在所給的直角坐標系中，畫出此函數(shù)圖象．（2）根據(jù)所畫的圖象直接寫出當y＜0時，x的取值范圍．【分析】（1）將x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分別代入二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3即可求解，（2）由函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．解：（1）①將x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分別代入二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3，解得y＝0、﹣4、﹣3、0，表格補充如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…畫出圖象如下圖：（2）由圖象可知：當y＜0時，則﹣3＜x＜1，故答案為：﹣3＜x＜1．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．21．根據(jù)下列條件，選取你認為合適的方法求出二次函數(shù)的解析式：（1）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過（2，3），（﹣2，﹣5）兩點，并且以x＝1為對稱軸；（2）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點，且過（1，1）．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）求出一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，再用待定系數(shù)法即可解決問題．解：（1）因為二次函數(shù)圖象經(jīng)過（2，3）和（﹣2，﹣5），且以直線x＝1為對稱軸，所以，解得，所以二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）將y＝0代入得，＝0，解得x＝2，即一次函數(shù)y＝的圖象與x軸的交點坐標為（2，0）；同理可得次函數(shù)y＝的圖象與y軸的交點坐標為（0，3）；又二次函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，1），所以，解得，所以二次函數(shù)的解析式為．【點評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟知待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．22．某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件．后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件．求降價多少元時，可使商場每天的利潤最大，并求出最大利潤．【分析】根據(jù)題意可以得到利潤與降價之間的函數(shù)關(guān)系式，從而可以解答本題．解：設(shè)降價x元出售，利潤為w，w＝（100﹣80﹣x）（100+10x）＝（20﹣x）（100+10x）＝2000+100x﹣10x2＝﹣10（x﹣5）2+2250，∴當x＝5時，w取得最大值，此時w＝2250，即降價5元時，可使商場每天的利潤最大，最大利潤是2250元．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，會求二次函數(shù)的最值．23．周末，小紅和小宇相約一起去郊外勞動基地參加勞動．已知小紅家B在小宇家A的北偏西25°方向上，AB＝5km．兩人到達勞動基地C處后，發(fā)現(xiàn)小宇家A在勞動基地C的南偏西25°方向上，小紅家B在勞動基地C的南偏西70°方向上．求小宇家A到勞動基地C的距離AC．（結(jié)果保留1位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.41）【分析】過點B作BD⊥AC，垂足為D，根據(jù)題意可得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD和AD的長，再在Rt△BDC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，最后利用線段的和差關(guān)系，進行計算即可解答．解：過點B作BD⊥AC，垂足為D，由題意得：∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，在Rt△ABD中，AB＝5km，∴BD＝AB?sin50°≈5×0.77＝3.85（km），AD＝AB?cos50°≈5×0.64＝3.2（km），在Rt△BDC中，CD＝＝3.85（km），∴AC＝AD+CD＝3.2+3.85≈7.1（km），∴小宇家A到勞動基地C的距離AC約為7.1km．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．24．跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動，運動員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵成．如圖1，某運動員經(jīng)過助滑后，從傾斜角為37°的跳臺A點沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，運動員在空中飛行的路線是以點A為頂點的拋物線的一部分．已知該運動員在B點著陸，AB＝150m，且sin37°＝0.6．請回答下列問題：（1）求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少米？（2）以拋物線頂點A為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，求該拋物線表達式；（3）求運動員離斜坡AB的最大距離．【分析】（1）如圖，以A為原點，建立平面直角坐標系，過點B作BD⊥y軸于點D．解直角三角形求出OD即可；（2）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，求出點B的坐標，代入求出a即可；（3）過點H作HD∥y軸交AB于點D，過點H作HN⊥AB于點N，即HN最大，即可求解．解：（1）如圖，以A為原點，建立平面直角坐標系．過點B作BD⊥y軸于點D．在Rt△OBD中，OD＝AB?sin37°＝150×0.6＝90（m），答：該運動員從跳出到著陸垂直下降了90m；（2）在Rt△OBD中，BD＝＝120（米），∴B（﹣120，﹣90），由題意拋物線頂點為（0，0），經(jīng)過（﹣120，﹣90）．設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，則有﹣90＝a×（﹣120）2，∴a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2；（3）設(shè)運動員在H處離斜坡AB的最大距離，過點H作HD∥y軸交AB于點D，過點H作HN⊥AB于點N，即HN最大，從圖象看，∠NHD等于AB坡的坡腳，即∠NHD＝37°，由sin37°＝0.6，則tan37°＝，則HN＝HDsin37°＝0.6HD，則直線AB的表達式為：y＝x，設(shè)點D（x，x），則點H（x，﹣x2），則HD＝﹣x2﹣x，∵＜0，則HD有最大值，當x＝﹣＝60時，HD的最大值為：22.5，則HN的最大值＝0.6HD＝13.5（米），即運動員離斜坡AB的最大距離為13.5米．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建平面直角坐標系解決問題，屬于中考?？碱}型．25．火災(zāi)是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會發(fā)展的主要災(zāi)害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點D，B，O在同一直線上，DO可繞著點O旋轉(zhuǎn)，AB為云梯的液壓桿，點O，A，C在同一水平線上，其中BD可伸縮，套管OB的長度不變，在某種工作狀態(tài)下測得液壓桿AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．（1）求BO的長；（2）消防人員在云梯末端點D高空作業(yè)時，將BD伸長到最大長度6m，云梯DO繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了3m，求云梯OD旋轉(zhuǎn)了多少度．（參考數(shù)據(jù)，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）【分析】（1）構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系進行計算即可；（2）求出旋轉(zhuǎn)前點D的高度DF，進而求出旋轉(zhuǎn)后點D′的高度D′G，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠D′OG的大小，進而求出答案．解：（1）如圖，過點B作BE⊥OC于點E，在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m，∴BE＝AB?sin∠BAE＝3×sin53°≈3×＝，在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，BE＝，∵sin∠BOE＝，∴OB＝＝＝4（m），答：OB＝4m；（2）如圖，過點D作DF⊥OC于點F，旋轉(zhuǎn)后點D的對應(yīng)點為D′，過點D′作D′G⊥OC于點G，過點D作DH⊥D′G于點H，在Rt△FOD中，OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°，∴DF＝OD?sin37°≈10×＝6（m），∴D′G＝D′H+HG＝3+6＝9（m），在Rt△D′OG中，OD′＝10m，D′G＝9m，∴sin∠D′OG＝＝，∴∠D′OG≈64°，∴∠D′OD＝64°﹣37°＝27°，即云梯OD大約旋轉(zhuǎn)了27°．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．26．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C．點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時另一個點也停止運動．（1）求P，Q運動多少秒，△PBQ的面積最大，最大面積是多少？（2）當△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在一點K，使S△CBK：S△PBQ＝5：2？若存在，求K點坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）作QH⊥AB，并分別列出AP，BQ，PB的參數(shù)長度，利用三角函數(shù)得出HQ的參數(shù)長度，進而求出△PBQ的面積函數(shù)．（2）利用水平底與鉛垂高乘積的一半求解．解：（1）當y＝0時，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），設(shè)運動時間為t秒，則AP＝3t，BQ＝t，PB＝6﹣3t，∵當x＝0時，y＝﹣3，∴點C的坐標為（0，﹣3），∴可設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx﹣3，∵B（4，0），∴4k﹣3＝0，解得k＝，∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3，過點Q作QH⊥AB于點H，∴tan∠HBQ＝，∴sin∠HBQ＝，∵BQ＝t，∴HQ＝t，∴S△PBQ＝PB?HQ＝（6﹣3t）×t＝t2+t＝（t﹣1）2+，∴當t＝1時，S△PBQ