線性空間lv的維數(shù)和基

線性空間lv的維數(shù)和基

0線性空間v的唯一線性變換在高等代數(shù)中，通過從p中線性空間v的所有線性變換中獲得的集合l（v）仍然是數(shù)字表中的線性空間，但l（v）的維數(shù)和基數(shù)沒有給出。本文從線性空間L(V)與Mn(P)的同構(gòu)入手,找出了線性空間L(V)的維數(shù)和基,并給出了證明。定理1設(shè)ε1,ε2,…,εn是線性空間V的一組基,α1,α2,…,αn是V中任意n個(gè)向量,則存在唯一的線性變換A,使Aεi=αi,i=1,2,…,n定義1設(shè)ε1,ε2,…,εn是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基,A是V中一個(gè)線性變換,基向量的象可以被基線性表出:用矩陣來表示就是A(ε1,ε2,…,εn)=(Aε1,Aε2,…,Aεn)=(ε1,ε2,…,εn)A(1)其中矩陣A稱為A在基ε1,ε2,…,εn下的矩陣.定理2設(shè)ε1,ε2,…,εn是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基,在這組基下,每個(gè)線性變換按公式(1)對(duì)應(yīng)一個(gè)n×n矩陣,這個(gè)對(duì)應(yīng)具有以下性質(zhì):(1)線性變換的和對(duì)應(yīng)矩陣的和;(2)線性變換的數(shù)量乘積對(duì)應(yīng)矩陣的數(shù)量乘積。定義2設(shè)V和V′是數(shù)域P上的兩個(gè)線性空間,如果σ是V到V′的雙射,且對(duì)任意α,β∈V,任意k∈P,有(1)σ(α+β)=σ(α)+σ(β)(2)σ(kα)=kσ(α)則稱線性空間V與V′是同構(gòu)的。定理3數(shù)域P上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的維數(shù)。1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2引理1設(shè)ε1,ε2,…,εn是線性空間V的一組基,A是數(shù)域P上的任一n×n矩陣,那么存在唯一的線性變換A,使它在基ε1,ε2,…,εn下的矩陣為A。證明:設(shè)作V中的n個(gè)向量如下:由定理1,存在唯一的線性變換A,使得:Aεi=αi,i=1,2,…,n從而所以A(ε1,ε2,…,εn)=(Aε1,Aε2,…,Aεn)=(ε1,ε2,…,εn)A因此,存在唯一的線性變換A,使它在基ε1,ε2,…,εn下的矩陣為A。引理2設(shè)ε1,ε2,…,εn是n維線性空間V的一組基,令:;i,j=1,2,…,n則Eij∈L(V),且Eij(i,j=1,2,…,n)是線性無關(guān)的。證明:因?yàn)?i,j=1,2,…,n由定理1可知,Eij∈L(V)(i,j=1,2,…,n),設(shè):則所以因?yàn)棣?,ε2,…,εn是V的一組基,所以ε1,ε2,…,εn是線性無關(guān)的,故l1k=l2k=…=lnk=0,k=1,2,…,n即lij=0,i,j=1,2,…,n因此,Eij(i,j=1,2,…,n)是線性無關(guān)的。2lv到mnp的同構(gòu)定理4設(shè)V為數(shù)域P上的n維線性空間,V上線性變換的全體記為L(zhǎng)(V),數(shù)域P上n×n矩陣的全體記為Mn(P),則L(V)與Mn(P)同構(gòu)。證明:取V的一組基ε1,ε2,…,εn,對(duì)任意A∈L(V),設(shè)A在基ε1,ε2,…,εn下的矩陣為A。即A(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)A令σ:L(V)→Mn(P),σ(A)=A,則σ是L(V)到Mn(P)的一個(gè)雙射。事實(shí)上,對(duì)任意A,B∈L(V),設(shè):A(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)AB(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)B則σ(A)=A,σ(B)=B.若A=B,則:A(ε1,ε2,…,εn)=B(ε1,ε2,…,εn)所以(ε1,ε2,…,εn)A=(ε1,ε2,…,εn)B從而A=B,故σ是L(V)到Mn(P)的一個(gè)映射.若σ(A)=σ(B),即A=B,由引理1的唯一性,A=B,所以σ是L(V)到Mn(P)的一個(gè)單射。對(duì)任意A∈Mn(P),由引理1,存在A∈L(V),使σ(A)=A,所以σ是L(V)到Mn(P)的一個(gè)滿射。因此,σ是L(V)到Mn(P)的一個(gè)雙射。對(duì)任意A,B∈L(V),對(duì)任意k∈P,設(shè)A(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)AB(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)B則σ(A)=A,σ(B)=B.由定理2:(A+B)(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)(A+B)(kA)(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)(kA)所以σ(A+B)=A+B=σ(A)+σ(B)σ(kA)=kA=kσ(A)因此,L(V)與Mn(P)同構(gòu)。定理5設(shè)V為數(shù)域P上的n維線性空間,ε1,ε2,…,εn是V的一組基,;i,j,=1,2,…,n。則維(L(V))=n2,Eij(i,j=1,2,…,n)為L(zhǎng)(V)的一組基。證明:由定理4,L(V)與Mn(P)同構(gòu).由定理3:維(L(V))=維(Mn(P))因?yàn)榫S(Mn(P))=n2所以維(L(V))=n2從而,L(V)中任意n2+1個(gè)向量都是線性相關(guān)的,故要證明n2個(gè)向量Eij(i,j=1,2,…,