寧夏2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)針對性訓(xùn)練-全國真題·提技能第二十二講　與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1．(2021·山西中考)如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD.若∠B＝50°，則∠OCD為(B)A．15°B．20°C．25°D．30°2．(2021·安順中考)如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)是(A)A．144°B．130°C．129°D．108°3．(2021·臨沂中考)如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C為⊙O上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為(C)A．110°B．120°C．125°D．130°4．(2021·北京中考)如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)．若∠P＝50°，則∠AOB＝__130°__．5．(2021·杭州中考)如圖，已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，且OP＝2.若PT是⊙O的切線，T為切點(diǎn)，連接OT，則PT＝__eq\r(3)__．6．(2021·涼山州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，DE⊥AE.⊙O是Rt△ADE的外接圓，交AC于點(diǎn)F.(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，AC＝8，求S△ADE.【解析】(1)連接OE，∵OA＝OE，∴∠1＝∠3，∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴OE∥AC，∴∠OEB＝∠C＝90°，則BC為圓O的切線；(2)過E作EG⊥AB于點(diǎn)G，在△ACE和△AGE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠2＝∠1,∠C＝∠AGE,AE＝AE))，∴△ACE≌△AGE(AAS)，∴AC＝AG＝8，∵圓O的半徑為5，∴AD＝OA＋OD＝10，∴OG＝3，∴EG＝eq\r(OE2－OG2)＝4，∴S△ADE＝eq\f(1,2)×AD×EG＝eq\f(1,2)×10×4＝20.7．(2021·南充中考)如圖，A，B是⊙O上兩點(diǎn)，且AB＝OA，連接OB并延長到點(diǎn)C，使BC＝OB，連接AC.(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)點(diǎn)D，E分別是AC，OA的中點(diǎn)，DE所在直線交⊙O于點(diǎn)F，G，OA＝4，求GF的長．【解析】(1)∵AB＝OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形．∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°.∵BC＝OB，∴BC＝AB，∴∠BAC＝∠C，∵∠OBA＝∠BAC＋∠C＝60°，∴∠BAC＝∠C＝30°.∴∠OAC＝∠OAB＋∠BAC＝90°.∴OA⊥AC，∴點(diǎn)A在⊙O上，∴AC是⊙O的切線；(2)如圖，連接OF，過點(diǎn)O作OH⊥GF于點(diǎn)H.∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°.∵點(diǎn)D，E分別是AC，OA的中點(diǎn)，∴OE＝AE＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(1,2)×4＝2，DE∥OC.∴∠OEH＝∠AOB＝60°，OH＝OEsin∠OEH＝eq\r(3).∴HF＝eq\r(OF2－OH2)＝eq\r(42－（\r(3)）2)＝eq\r(13).∴GF＝2HF＝2eq\r(13).8．(2021·樂山中考)如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，D是AB延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BD的垂線交AC的延長線于點(diǎn)E，連接CD，且CD＝ED.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半徑．【解析】(1)連接OC，如圖：∵CD＝DE，OC＝OA，∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，∵ED⊥AD，∴∠ADE＝90°，∠OAC＋∠E＝90°，∴∠OCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；(2)連接BC，如圖：∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠E，∵tan∠DCE＝2，∴tanE＝2，∵ED⊥AD，Rt△EDA中，eq\f(AD,ED)＝2，設(shè)⊙O的半徑為x，則OA＝OB＝x，∵BD＝1，∴AD＝2x＋1，∴eq\f(2x＋1,ED)＝2，∴ED＝x＋eq\f(1,2)＝CD，∵CD⊥OC，AC⊥BC，∴∠DCB＋∠BCO＝90°＝∠BCO＋∠ACO，∴∠DCB＝∠ACO＝∠OAC，∴△DCB∽△DAC，∴eq\f(DC,DA)＝eq\f(BD,CD)，∴CD2＝BD·AD，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1×(2x＋1)，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴⊙O的半徑為eq\f(3,2).1．(2021·賀州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，點(diǎn)O在AB上，OB＝2，以O(shè)B為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則CE的長為(B)A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(2),2)D．12．(2021·婁底中考)如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)⊙A與直線l：y＝eq\f(5,12)x只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(D)A．(－12，0) B．(－13，0)C．(±12，0) D．(±13，0)3．(2021·瀘州中考)如圖，⊙O的直徑AB＝8，AM，BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)，BD，OC相交于點(diǎn)F，若CD＝10，則BF的長是(A)A．eq\f(8\r(17),9) B．eq\f(10\r(17),9)C．eq\f(8\r(15),9) D．eq\f(10\r(15),9)4．(2021·荊州中考)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，連接OC，過點(diǎn)D作DF∥OC交AB于F，過點(diǎn)B的切線交AC的延長線于E.若AD＝4，DF＝eq\f(5,2)，則BE＝____．5．(2021·白銀中考)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O的直徑AB的延長線上一點(diǎn)，∠DCB＝∠OAC.過圓心O作BC的平行線交DC的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半徑及tan∠OCB的值．【解析】(1)∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋∠OCB＝90°，∴∠DCB＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；(2)∵OE∥BC，∴eq\f(BD,OB)＝eq\f(CD,CE)，∵CD＝4，CE＝6，∴eq\f(BD,OB)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，設(shè)BD＝2x，則OB＝OC＝3x，OD＝OB＋BD＝5x，∵OC⊥DC，∴△OCD是直角三角形，在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝OD2，∴(3x)2＋42＝(5x)2，解得，x＝1，∴OC＝3x＝3，即⊙O的半徑為3，∵BC∥OE，∴∠OCB＝∠EOC，在Rt△OCE中，tan∠EOC＝eq\f(EC,OC)＝eq\f(6,3)＝2，∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2.6．(2021·常德中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓交AC于D，E是BC的中點(diǎn)，DE交BA的延長線于F.(1)求證：FD是圓O的切線；(2)若BC＝4，F(xiàn)B＝8，求AB的長．【解析】(1)連接OD，由題可知∠ABC＝90°，∵AB為直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝BE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，又∵∠ECD＋∠CBD＝90°，∠ABD＋∠CBD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD，∵OB和OD是圓的半徑，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＋∠BDE＝∠EDC＋∠BDE＝90°，即∠ODE＝90°，故FE是⊙O的切線；(2)由(1)可知BE＝EC＝DE＝eq\f(1,2)BC＝2，在Rt△FBE中，F(xiàn)E＝eq\r(FB2＋BE2)＝eq\r(82＋22)＝2eq\r(17)，∴FD＝FE－DE＝2eq\r(17)－2，又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB，∴△FDO∽△FBE，∴eq\f(FD,OD)＝eq\f(FB,BE)，即eq\f(2\r(17)－2,OD)＝eq\f(8,2)，求得OD＝eq\f(\r(17)－1,2)，∴AB＝2OD＝eq\r(17)－1，故AB長為eq\r(17)－1.7.(2021·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)中考)如圖，AC是⊙O的直徑，BC，BD是⊙O的弦，M為BC的中點(diǎn)，OM與BD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)E，且CD平分∠ACE.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求證：∠CDE＝∠DBE；(3)若DE＝6，tan∠CDE＝eq\f(2,3)，求BF的長．【解析】(1)連接OD，如圖：∵CD平分∠ACE，∴∠OCD＝∠DCE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DCE＝∠ODC，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線；(2)連接AB，如圖：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，即∠ABD＋∠DBC＝90°，∵eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ODC，∴∠ABD＝∠ODC，∴∠ODC＋∠DBC＝90°，∵∠ODC＋∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠DBC，即∠CDE＝∠DBE；(3)在Rt△CDE中，DE＝6，tan∠CDE＝eq\f(2,3)，∴eq\f(CE,6)＝eq\f(2,3)，∴CE＝4，由(2)知∠CDE＝∠DBE，Rt△BDE中，DE＝6，tan∠DBE＝eq\f(2,3)，∴eq\f(6,BE)＝eq\f(2,3)，∴BE＝9，∴BC＝BE－CE＝5，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴OM⊥BC，BM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，在Rt△BFM中，BM＝eq\f(5,2)，tan∠DBE＝eq\f(2,3)，∴eq\f(FM,\f(5,2))＝eq\f(2,3)，∴FM＝eq\f(5,3)，∴BF＝eq\r(BM2＋FM2)＝eq\f(5\r(13),6).【素養(yǎng)提升題】(2021·河南中考)在古代，智慧的勞動(dòng)人民已經(jīng)會(huì)使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個(gè)固定長度的“連桿”，推動(dòng)“連桿”帶動(dòng)磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動(dòng)力傳輸工具為“曲線連桿機(jī)構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖1，兩個(gè)固定長度的“連桿”AP，BP的連接點(diǎn)P在⊙O上，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上滑動(dòng)，OM⊥ON.當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)B恰好落在⊙O上，如圖2.請僅就圖2的情形解答下列問題．(1)求證：∠PAO＝2∠PBO；(2)若⊙O的半徑為5，AP＝eq\f(20,3)，求BP的長．【解析】(1)如圖1，連接OP，延長BO與圓交于點(diǎn)C，則OP＝OB＝OC，∵AP與⊙O相切于點(diǎn)P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO＋∠AOP＝90°，∵M(jìn)O⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∵∠POC＝∠OPB＋∠PBO＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；(2)如圖2所示，連接OP，延長BO與圓交于點(diǎn)C，連接PC，過點(diǎn)P作PD⊥OC于點(diǎn)D，則有AO＝eq\r(AP2＋OP2)＝eq\f(25,3)，由(1)可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD∽Rt△OAP，∴e