第二章直線與圓的方程教材分析及教學建議課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

《

直線和圓的方程》教材分析及教學建議2023年10月30日本章內容總述

1.本章是在學習了平面向量的基礎上，以向量為主要工具之一，利用坐標法來研究直線和圓有關的幾何問題。通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程等聯(lián)系起來，達到了形和數(shù)的結合，蘊含了對應思想、數(shù)形結合思想。2.本章在一定程度上綜合地運用了一些三角知識、平面幾何知識、平面向量知識等。直線和圓的方程是最基本的曲線方程，是后繼學習圓錐曲線及其它曲線方程的基礎，也是學習導數(shù)、微分、積分等知識的基礎。目錄一.地位與作用二.教學要求與課時分配三.新、舊教材的內容變化五.高考真題再現(xiàn)一、地位與作用1．給出了一種嶄新的研究幾何問題的方法坐標法.2．體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學思想數(shù)形結合，以形助數(shù)，以數(shù)識形.3．培養(yǎng)用聯(lián)系、發(fā)展的觀點看待問題的意識,強化“一分為二”看問題的哲學思想.二.教學要求與課時分配本章的教學要求如下：1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握由一點和斜率導出直線方程的方法，掌握直線方程的點斜式、兩點式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。了解直線的參數(shù)方程.2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，點到直線的距離公式和兩條平行線的距離公式；能夠根據(jù)直線方程判斷兩條直線的位置關系。3．了解解析幾何的基本思想，了解用坐標法研究幾何問題的方法。4．掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程;理解直線與圓、圓與圓的位置關系.本章的最主要內容是直線方程、圓的方程。本章共需16課時，課時具體分配如下：直線的傾斜角和斜率

約2課時直線的方程

約3課時直線的交點坐標與距離公式

約4課時圓的方程

約2課時直線與圓、圓與圓的位置關系

約3課時

小結與復習

約2課時三.新、舊教材的內容變化3.1內容安排的變化

《新大綱》的選擇性必修一第二章將《原大綱》直線部分的有向線段、兩點間距離公式、線段定比分點等內容移至必修二第六章“平面向量”，將《原大綱》選學內容直線參數(shù)方程移到本章第68頁中探究與發(fā)現(xiàn)，圓的參數(shù)方程移到本章第89頁拓廣探索第10題?！对缶V》的曲線和方程這節(jié)以例題的形式出現(xiàn)如本章第87頁例5內容處理的變化（1）斜率公式的推導不再采用單純利用三角知識的推導，而是利用平面向量的坐標知識與三角知識相結合來推導；（2）兩直線平行的充要條件的表述有差別；（3）兩直線垂直的充要條件的導出利用了向量數(shù)量積；（4）

點到直線的距離公式采用直角三角形中的等面積法來推導，不再采用解直角三角形的知識來推導。改變“從定義出發(fā)”呈現(xiàn)方式，盡量用“歸納式”呈現(xiàn)教材，注重從簡單到復雜、從單一到綜合，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式，給學生提供歸納、概括的機會。這是與以往教材有很大區(qū)別的地方。（1）在講“傾斜角與斜率”概念時，先引導學生思考在直角坐標系中，“幾個條件確定一條直線”“如何刻畫‘傾斜程度’”“如何用一個量來表示‘傾斜程度’”等具體問題，把它與日常生活中的“坡度”概念聯(lián)系起來。讓學生獲得充分感知后，再概括概念。（2）“曲線的方程”“方程的曲線”概念，這是一個充要條件，在培養(yǎng)學生思維的邏輯性和嚴謹性方面都是很好的載體，但這也是一個不容易把握的概念，過早地出現(xiàn)，沒有足夠的知識準備，不僅會導致學生理解的困難，還會使他們產生“為什么要這樣來要求”的疑問。因此，教材在直線與方程、圓與方程部分先有意識滲透相關概念，在圓錐曲線與方程之前，再安排這一概念的學習，并且也采用了從具體到抽象的思路。這種“默會知識”的掌握，更多地要靠實踐過程中的領悟和理解。比如在“直線與方程”“圓與方程”部分，從滲透到逐步明確，同時提供用坐標法解決幾何問題的示范和練習，引導學生體會解析幾何思想；在“圓錐曲線與方程”“參數(shù)方程”中，在進一步明確坐標法和數(shù)形結合思想的基礎上，加強用坐標法解決綜合性問題的訓練，使學生在實踐中深刻理解，學會用坐標法思考和解決問題。思想方法呈現(xiàn)的變化坐標法、數(shù)形結合、運動變化思想等“默會知識”采取滲透明確應用（3）加強確定各類圖形的幾何要素的分析，建立適當?shù)淖鴺讼?。實際上這是“幾何眼光觀察在先”的體現(xiàn)，是以往教材不夠重視的地方。（4）加大用坐標法思想分析問題的力度。以往教材往往直接呈現(xiàn)邏輯過程，這是一種思考的“結果”，而“為什么這樣思考”則需要學生自己去體會，這對學生而言是比較困難的；新教材通過加強用坐標法分析問題，既展示了過程，又體現(xiàn)了對學生思維的引導。①通過“對于直角坐標系內的直線，它的位置由哪些條件確定？”引導學生思考：平面幾何中是“兩點確定一條直線”，有了坐標系作為參照系，這種條件可以有哪些變化。思想方法呈現(xiàn)的變化

②在學生認識到可以用直線與坐標軸的位置關系來確定后，再引入傾斜角概念。在此基礎上再討論如何用代數(shù)方法表示直線的“傾斜程度”，由此引入斜率概念。③通過引導語：“在直角坐標系中，給定一點P0(x0，y0)和斜率k，就能唯一確定一條直線，即平面直角坐標系中的點在不在這條直線上，完全由點P0(x0，y0)和斜率k確定。也就是說，直線上任意一點P(x，y)的坐標完全由P0的坐標x0，y0和k確定。那么這種關系的代數(shù)表達式是什么呢？”啟發(fā)學生思考，推導出點斜式方程。這樣的措施對于發(fā)揮解析幾何的綜合作用，促進學生對坐標法的深刻理解，提高綜合應用數(shù)學知識解決問題的能力，都起了很好的作用。平面幾何語言解析幾何語言幾何關系坐標關系思想方法呈現(xiàn)的變化本章改變以往教材存在的“講邏輯而不講思想”的不足，加強聯(lián)系與綜合正是落實“思想性”的載體。充分發(fā)揮解析幾何課程特點和優(yōu)勢，把它作為提高思想性的強大平臺，溝通代數(shù)、幾何、三角等的相互聯(lián)系，引導學生認識數(shù)學的內在一致性，成為主要指導思想之一。思想性的變化（1）數(shù)學史上，函數(shù)曾被當作曲線來研究，由于把曲線看成是動點的軌跡，函數(shù)（變量之間的關系）與曲線建立了非常緊密的聯(lián)系，由此也使運動進入了數(shù)學。這樣，從曲線作為坐標平面內點的運動軌跡，用運動變化的思想，用函數(shù)的觀點研究問題，是解析幾何學習中的應有之意。當然，這種聯(lián)系與綜合，既有點斜式方程與一次函數(shù)、拋物線方程與二次函數(shù)這樣的“顯性”內容，更加重要的，還有用函數(shù)和運動變化的觀點看待和處理點的軌跡方程等問題的“隱性”聯(lián)系。（2）函數(shù)的性質就是在變化過程中表現(xiàn)的規(guī)律性，像單調性、周期性、奇偶性、最大（?。┲档?，都是在變化過程中表現(xiàn)的某種“不變性”，這是學生熟悉的。在解析幾何中，也要通過方程研究這種“規(guī)律性”，或利用這種“不變性”建立曲線的方程。方法。

（3）點斜式方程的建立，依賴于直線的斜率保持不變；橢圓方程的建立依賴于動點到兩個定點的距離關系保持不變；圓錐曲線的方程、性質源于“兩個距離”的不變關系等。總之，在解析幾何的研究中，怎樣把動點表現(xiàn)的“變”與定點、定直線、定長、定角等表現(xiàn)的“不變”聯(lián)系起來，確是一個關鍵性的問題。新教材正是利用了解析幾何與函數(shù)間的深刻淵源關系，從函數(shù)及其性質的研究中得到啟發(fā)，水到渠成地展開相應的問題和探究數(shù)學思想方法的教學原則為：反復參透，漸進發(fā)展，學生參與。四.教學建議（1）解析幾何是用代數(shù)方程研究幾何性質的數(shù)學分支，它以坐標系為工具，坐標法為方法，所以教學中要始終貫徹解析思想，將幾何問題代數(shù)化。教材第80頁拓廣探索第16題四.教學建議（1）解析幾何是用代數(shù)方程研究幾何性質的數(shù)學分支，它以坐標系為工具，坐標法為方法，所以教學中要始終貫徹解析思想，將幾何問題代數(shù)化。教材第80頁拓廣探索第17題上述兩個問題說的是代數(shù)表達式的幾何直觀，這是數(shù)形結合的重要方面，在處理某些代數(shù)問題時，利用幾何直觀、發(fā)揮圖形的功能，有助于代數(shù)問題的解決.（2）

解析幾何開創(chuàng)了形與數(shù)的對應結合的研究方法，要在教學中滲透數(shù)形結合思想，要讓學生重視數(shù)形互助，培養(yǎng)代數(shù)結果與幾何意義互相轉化的能力，讓學生體會如何借助于坐標系用代數(shù)方法研究幾何問題以及如何從幾何的角度觀察代數(shù)問題，體會這種方法所體現(xiàn)的數(shù)形結合思想。

（3）

重視分類思想在教學中的滲透。例如：直線傾斜角的定義、直線斜率的定義、如何用直線的點斜式和斜截式設直線方程、過圓外一點求圓的切線方程時要注意什么、設直線的截距式方程時又要注意什么等。

問題四：已知直線過點（2，3）且在兩坐標上的截距相等，求直線的方程.

問題五：過圓（x-1）2+y2=1外一點（2，4）作圓的切線，求所作切線的方程.（4）在講解“曲線和方程”的概念時，要讓學生深刻認識和理解定義：

①曲線上的點的坐標都是這個方程的解：

②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.關系①保證了曲線上所有的點的坐標都滿足方程而毫無例外（軌跡的純粹性）；關系②則保證了適合方程的所有點都在曲線上而毫無遺留（軌跡的完備性）.（5）求軌跡方程是解析幾何中的基本問題和重要問題，在講解求軌跡方程問題時，要注意以下幾點：1.注意建立適當?shù)淖鴺讼担?.注意平面幾何的結論在建立等量關系中的運用；3.注意排除不合條件的點；4.注意等式變形的一致性；5.注意對參數(shù)的分類討論.（1）對稱性原則（2）集中性原則求軌跡方程的方法有：（1）直接法；（2）定義法；（3）相關點法；（4）交軌法等教材第88頁第7題第8題第9題第9題可以推廣為圓的第二定義（6）直線與圓這一章是解析幾何的基礎，在強調代數(shù)方法研究時，還要注意與平面幾何、平面向量及三角等知識的聯(lián)系，比如：直線的斜率公式、兩直線垂直條件、圓的參數(shù)方程的推導，都用到了向量的有關知識。點到直線距離公式在教參上給出一種用直線的法向量（閱讀材料）結合數(shù)量積來推導的方法。重視這些方面知識的聯(lián)系有利于學生著眼知識網(wǎng)絡的構建，提高綜合運用知識的能力。直線與圓的思維導圖確定直線位置的幾何要素：點、方向直線的傾斜角和斜率過兩點的直線斜率公式直線的點斜式方程判斷直線平行或垂直直線的一般式方程直線與直線的位置關系直線與圓的位置關系圓與直線的位置關系圓的一般方程確定圓的幾何要素：圓心、半徑圓的標準方程兩點間的距離公式點到直線的距離公式平行線間的距離公式(7)直線對稱問題是解析幾何中的一類重要問題，一般包括點關于點、直線關于點、點關于直線、直線關于直線的對稱等.除掌握普通解法外，還要記憶一些常用結論，這對提高解題的正確性和速度是有好處的.（1）點P(x1,y1)關于點M(x0,y0)對稱的點的坐標為(2x0-x1,2y0-y1).（2）點P(x1,y1)關于X軸對稱的點P1的坐標為(x1,-y1)；（3）點P(x1,y1)關于Y軸對稱的點P2的坐標為(-x1,y1)；（4）點P(x1,y1)關于直線y=x+b的對稱點P3的坐標為(y1-b,x1+b)；（5）點P(x1,y1)關于直線y=-x+b的對稱點P4的坐標為(-y1+b,-x1+b).(8)根據(jù)學生具體情況也可對直線系方程作些介紹，以拓展學生視野，提高解題效率。常見直線系方程有1.過定點直線系：過定點（x0,y0)的直線系方程為“2.1直線的傾斜角與斜率”教學建議及要求◆基本要求◆①理解直線的傾斜角的定義，知道直線的傾斜角的范圍；②理解直線的斜率，掌握過兩點的直線的斜率公式；③掌握直線的斜率和傾斜角之間的關系，能由直線的斜率求出直線的傾斜角，也能由直線的傾斜角求出直線的斜率（斜率存在的條件下）；④掌握用斜率判定兩條直線平行和垂直的方法?！舭l(fā)展要求◆①通過引導學生對斜率存在性的討論，培養(yǎng)學生思維的嚴密性；②通過平行和垂直問題的解決，感受用代數(shù)方法研究幾何圖形性質的思想。◆特別說明◆課本用學生非常熟悉的坡度作為知識的最近發(fā)現(xiàn)區(qū)來引出斜率概念的.直線的方程”教學建議及要求◆直線方程是解幾的核心概念之一，基礎性強,也是與學生經驗距離最近的概念?！艚虒W過程可以設計成一個問題鏈，以此引導學生自主探索，發(fā)現(xiàn)并掌握各類直線方程，并能互化,認識各自的特點、了解各自的局限。直線的方程”教學建議及要求◆基本要求◆①掌握直線方程的點斜式、斜截式、兩點式，能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程；②了解直線方程的截距式；③能正確理解直線方程一般式的含義；④能將直線方程的點斜式、斜截式、兩點式等幾種形式化為一般式，知道這幾種形式的直線方程的局限性?！舭l(fā)展要求◆①根據(jù)所給的條件靈活選取適當?shù)男问胶头椒ǎ炀毜厍蟪鲋本€方程②使學生感受到直線和直線方程之間的對應關系，知道要說明點在直線上，只要說明點的坐標滿足直線方程，反之與成立。直線的方程”教學建議及要求◆特別說明◆①將直線方程作為一個核心概念處理，在講直線方程的斜截式時應該與一次函數(shù)進行比較加深方程與函數(shù)概念的理解②直線與方程之間的關系只要了解即可，不必展開；③截距式方程只作為兩點式方程的一種應用例子，不必單獨提出這種直線的形式。關于直線方程的變式（酌情處理）點斜式的變式（橫縱角色）斜截式的變式（橫縱角色）斜率存在斜率不為0兩點式的變式（對稱整式）截距式的變式（伸縮變換）關于直線方程的變式（酌情處理）一般式的變式（變量控制）參數(shù)式方程（變量分離）關于直線方程的變式（酌情處理）（其中是參數(shù)）（其中是參數(shù)）（m,n)是直線的方向向量點向式方程（拓維基礎）點法式方程（拓維基礎）其中（a,b）是方向向量其中（a,b）是法向量關于直線方程的變式（酌情處理）直線的方程”教學建議及要求1.滲透數(shù)學思想

突出轉化思想.如:斜截式、兩點式方程的導出；三種直線方程與直線一般式方程關系的建立.揭示斜截式與一次函數(shù)解析式,b,k的幾何意義,溝通知識間聯(lián)系.

體現(xiàn)數(shù)形結合(解析幾何本質).如課本中,將點斜截式方程轉化為兩點式方程，(化歸思想）,可補充另法：畫出圖形，依據(jù)求軌跡方程的基本方法，用直線上的動點P(x,y)和兩個已知點的連線的斜率相等，獲得方程.2.枝節(jié)問題點到即可如:三種形式的直線方程的局限性，了解即可。直線的截距式方程作為直線的兩點式方程的特殊情形，可以不單獨提出。“3.3直線的交點坐標與距離公式”教學要求及建議◆基本要求◆①會求兩條直線的交點坐標。②理解兩條直線的平行、相交與相應的直線方程所組成的二元一次方程組的解的對應關系。③掌握平面上兩點間的距離公式。④掌握點到直線的距離公式，能運用它解決一些簡單問題。⑤了解兩條平行線的距離是點到直線的距離公式的一個應用，會求兩條平行直線間的距離?！舭l(fā)展要求◆通過對點到直線距離公式的推導，滲透化歸思想，并使學生進一步了解用代數(shù)方程研究幾何問題的方法?！籼貏e說明◆兩條平行線的距離公式不必記憶。直線的交點坐標與距離公式”教學要求及建議領會本質：引導學生領會解析法。如：兩直線位置關系不必導出一般式的判定公式；兩平行直線間的距離重轉化思想運用,不看重公式。控制難度：教學中，注意控制教學的難度，避免進行綜合性強、難度較大的數(shù)學題的訓練，避免在解題技巧上做文章。如：用坐標法證明平面幾何題要求不宜過高。直線的交點坐標與距離公式”教學要求及建議“2.2圓的方程”教學建議和教學要求◆基本要求◆①探索與掌握圓的標準方程和一般方程；②會根據(jù)圓的方程求出圓心坐標和半徑；③能用代數(shù)方法判定點與圓的位置關系；④會選擇恰當?shù)姆匠填悇e用待定系數(shù)法求圓方程；⑤體驗求曲線方程（點的軌跡）的基本方法，概括其基本步驟。◆發(fā)展要求◆認識圓的方程與二次項系數(shù)相同的二元二次方程之間的聯(lián)系。“2.2圓的方程”教學建議和教學要求教學中要注意：教科書中，會不失時機地提出一些具有一定思考價值的問題。這旨在使學生在比較中加深理解，促使學生養(yǎng)成解題后反思的良好習慣．例如：當同一個問題有兩種解法時，要求自主思考進行比較。如“請同學們比較這兩種證明方法，并指出各自的特點？”在問題解決之后，要求學生進行一些簡單的歸納，這旨在培養(yǎng)學生歸納、抽象能力，是重視重要的數(shù)學思想方法的滲透。例如“圓的標準方程”中，在學習了例2與例3之后，提出“比較例2和例3，你能歸納出求任意三角形外接圓的標準方程的兩種方法嗎？”。本節(jié)教材編寫時往往不直接給出結論，讓學生證明。而是把結論放在學生經過一系列數(shù)學活動之后，通過思考、探究，得出結論。比如：在例題的呈現(xiàn)時，增加了分析的過程，重點分析解題的思路，促進得學生抓住問題的本質，理清思路，制訂合理的解題策略。探求點的軌跡問題側重圓方程的應用，了解軌跡問題即可?！艋疽蟆簪僬莆罩本€與圓位置關系判定的兩種基本方法（代數(shù)法、幾何法）；②會利用直線與圓的方程判定直線與圓的位置關系；③能初步解決直線與圓相交時，涉及弦長的問題；④掌握圓與圓位置關系判定的兩種基本方法（代數(shù)法、幾何法）；⑤會利用圓與圓的方程判定圓與圓的位置關系；⑥能通過建立直角坐標系，用圓的方程解決一些簡單問題，理解坐標法解決幾何問題的一般步驟（三步曲）；⑦初步會在已知直線與圓位置關系的條件下，求直線或圓的方程?！爸本€、圓的位置關系”教學要求及教學建議

第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何要素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運算與變換，解決代數(shù)問題；

第三步：分析代數(shù)結果的幾何含義，并“翻譯”成幾何結論◆發(fā)展要求◆①介紹直線與圓、圓與圓的圓系方程，理解條件運用的另一種方法；②研究圓上任意點與直線上任意點之間距離的最值問題，體現(xiàn)數(shù)形結合、化歸轉化的思想方法；借助圓關于直線對稱問題的研究，促進解析思想的運用?！籼貏e說明◆①圓的切線方程可以不引出；②重在體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想，教學中要突出“數(shù)形結合”的思想方法?！爸本€、圓的位置關系”教學要求及教學建議

在知識形成過程中，理解解幾的思想方法（與初中研究比較）；直線與圓的方程的應用（為什么要建坐標系，如何建坐標系，坐標法）運用代數(shù)方法、運用幾何性質通過對比,認識通法的價值,認識運用幾何特征的優(yōu)勢。結合知識的應用，了解坐標法的步驟?！爸本€、圓的位置關系”教學要求及教學建議四.教學建議

◆認真研究課標和教材，把握好本章教學內容及教學要求?！糌灤白鴺朔ā钡乃枷胪怀鼋馕鰩缀谓鉀Q問題的“三步曲”和滲透算法思想。

◆關注結論形成過程，通過思考、探究，得出結論。關注學生的動手操作和主動參與。◆關注信息技術的應用，改進教和學的方式◆介紹科技成果，滲透數(shù)學文化?！艏訌娍偨Y，已使知識結構系統(tǒng)化，問題類化和結構化?！艏訌娮兪浇虒W；加強與實際問題、其他學科、其他章節(jié)的聯(lián)系。溫馨提示:內容熟悉：

有哪些知識？各起什么作用，之間有何聯(lián)系？要求有變：

如何把握目標？如何組織教學？側重注意什么？體現(xiàn)“初步”，分步到位.教學中遇到的問題：1.學生不知道為什么把點的坐標帶入圓的方程就可以判斷點與圓的位置關系?實際上，這里學生已經忽略了圓的方程的幾何意義，兩邊算數(shù)平方根后實際上是兩點間距離公式與半徑比大小。2.學生過度依賴解直線與圓聯(lián)立的方程組來判斷直線與圓的位置關系而忽略了幾何關系。

強調用“幾何”來引導代數(shù)的恒等變換的計算。在教學中，提倡畫圖，不要把解析幾何變成純粹的形式推導，例如：過度強化通過解直線與圓聯(lián)立的方程組來判斷直線與圓的位置關系。第一問：有的學生直接點斜式設直線方程，結果算出來無解。有的學生通過畫圖可以直接看出這條切線無斜率。第三問：不畫圖易丟掉一條切線方程

強調用“幾何”來引導代數(shù)的恒等變換的計算。在教學中，提倡畫圖，不要把解析幾何變成純粹的形式推導，例如：過度強化通過解直線與圓聯(lián)立的方程組來判斷直線與圓的位置關系。第二問：有的學生設直線方程點斜式，