小學奧數(shù)必背的公式1級!(5篇)

第頁共頁小學奧數(shù)必背的公式1~級!(5篇)小學奧數(shù)必背的公式1~級!篇一小學奧數(shù)根底教程第1講速算與巧算〔一〕第2講速算與巧算〔二〕第3講高斯求和第4講4，8，9整除的數(shù)的特征第5講棄九法第6講數(shù)的整除性〔二〕第7講找規(guī)律〔一〕第8講找規(guī)律〔二〕第9講數(shù)字謎〔一〕第10講數(shù)字謎〔二〕第11講歸一問題與歸總問題第12講年齡問題第13講雞兔同籠問題與假設法第14講盈虧問題與比擬法〔一〕第15講盈虧問題與比擬法〔二〕第16講數(shù)陣圖〔一〕第17講數(shù)陣圖〔二〕第18講數(shù)陣圖〔三〕第19將乘法原理第20講加法原理〔一〕第21講加法原理〔二〕第22講復原問題〔一〕第23講復原問題〔二〕第24講頁碼問題第25講智取火柴第26講邏輯問題〔一〕第27講邏輯問題〔二〕第28講最不利原那么第29講抽屜原理〔一〕第30講抽屜原理〔二〕綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程第1講速算與巧算〔一〕計算是數(shù)學的根底，小學生要學好數(shù)學，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。準確、快速的計算才能既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能進步計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，進步分析^p、判斷才能，促進思維和智力的開展。我們在三年級已經(jīng)講過一些四那么運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。例1四年級一班第一小組有10名同學，某次數(shù)學測驗的成績〔分數(shù)〕如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求這10名同學的總分。分析^p與解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當?shù)臄?shù)作“基準”，比方以“80”作基準，這10個數(shù)與80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號表示這個數(shù)比80小。于是得到總和=80×10＋〔6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5〕＝800＋9＝809。實際計算時只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上80×10，就可口算出結(jié)果為809。例1所用的方法叫做加法的基準數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準”的數(shù)〔如例1的80〕叫做基準數(shù)，各數(shù)與基準數(shù)的差的和叫做累計差。由例1得到：總和數(shù)=基準數(shù)×加數(shù)的個數(shù)+累計差，平均數(shù)=基準數(shù)+累計差÷加數(shù)的個數(shù)。在使用基準數(shù)法時，應選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法可以方便地計算出來，所以基準數(shù)應盡量選取整十、整百的數(shù)。例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下〔單位：千克〕：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準數(shù)為450，那么累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋50÷10＝455〔千克〕。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學們熟知，如7×7＝49〔七七四十九〕。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，可以迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十數(shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十數(shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例3求292和822的值。解：292=29×29＝〔29＋1〕×〔29-1〕＋12＝30×28＋1＝840+1＝841。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程822＝82×82＝〔82－2〕×〔82＋2〕＋2＝80×84＋4＝6720+4＝6724。由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因為是兩個一樣數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。由湊整補零法計算352，得35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級學的個位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果一樣。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。例4求9932和20232的值。解：9932=993×993＝〔993＋7〕×〔993-7〕+72＝1000×986＋49＝986000＋49＝986049。20232=2023×2023＝〔2023-4〕×〔2023+4〕＋42＝2000×2023＋16＝4016000＋16＝4016016。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請看下面的算式：66×46，73×88，19×44。這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)一樣，另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。例588×64＝？分析^p與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到88×64＝〔80＋8〕×〔60＋4〕＝〔80＋8〕×60＋〔80＋8〕×4＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4＝80×〔60＋6＋4〕＋8×4＝80×〔60＋10〕＋8×4＝8×〔6＋1〕×100+8×4。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十位一樣的因數(shù)”的十位數(shù)與“個位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×〔6＋1〕。例677×91＝？解：由例3的解法得到綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程由上式看出，當兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應在十位上補一個0，本例為7×1＝07。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。練習11.求下面10個數(shù)的總和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為〔單位：厘米〕：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。3.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他們共加工了多少個零件？4.計算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。5.計算以下各題：〔1〕372；〔2〕532；〔3〕912；〔4〕682：〔5〕1082；〔6〕3972。6.計算以下各題：〔1〕77×28；〔2〕66×55；〔3〕33×19；〔4〕82×44；〔5〕37×33；〔6〕46×99。練習1答案1.1596。2.26厘米。3.711個。4.147。5.〔1〕1369；〔2〕2809；〔3〕8281；〔4〕4624；〔5〕11664；〔6〕157609。6.〔1〕2156；〔2〕3630；〔3〕627；〔4〕3608；〔5〕1221；〔6〕4554。第2講速算與巧算〔二〕上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補”與“補同”速算法。兩個數(shù)之和等于10，那么稱這兩個數(shù)互補。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字一樣或互補，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字一樣或互補的情況。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字一樣、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭一樣、尾互補”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字一樣，這類式子我們稱為“頭互補、尾一樣”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。例1〔1〕76×74＝？〔2〕31×39＝？分析^p與解：本例兩題都是“頭一樣、尾互補”類型?！?〕由乘法分配律和結(jié)合律，得到76×74＝〔70＋6〕×〔70+4〕＝〔70＋6〕×70＋〔70＋6〕×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4＝70×〔70＋6＋4〕＋6×4＝70×〔70＋10〕＋6×4綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程＝7×〔7+1〕×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：〔2〕與〔1〕類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭一樣、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積〔不夠兩位時前面補0，如1×9＝09〕，積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)〔或乘數(shù)〕的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積?！巴a”速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×〔頭+1〕”。我們在三年級時學到的15×15，25×25，?，95×95的速算，實際上就是“同補”速算法。例2〔1〕78×38＝？〔2〕43×63＝？分析^p與解：本例兩題都是“頭互補、尾一樣”類型?！?〕由乘法分配律和結(jié)合律，得到78×38＝〔70＋8〕×〔30＋8〕＝〔70＋8〕×30＋〔70＋8〕×8＝70×30+8×30＋70×8＋8×8＝70×30＋8×〔30＋70〕＋8×8＝7×3×100＋8×100＋8×8＝〔7×3＋8〕×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：〔2〕與〔1〕類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補、尾一樣”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積〔不夠兩位時前面補0，如3×3＝09〕，積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)〔或乘數(shù)〕的個位數(shù)?！把a同”速算法簡單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數(shù)的和是10，100，1000，?時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。在一個乘法算式中，當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)一樣，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭一樣，尾互補”型。例如，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程前兩位數(shù)一樣，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。又如，等都是“同補”型。當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)一樣時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾一樣”型。例如，等都是“補同”型。在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例3〔1〕702×708=？〔2〕1708×1792＝？解：〔1〕〔2〕計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭×〔頭+1〕”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補數(shù)假如是n位數(shù)，那么應占乘積的后2n位，缺乏的位補“0”。在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，假如“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)一樣，那么例2的方法仍然適用〔見例4〕；假如“補”與“同”的位數(shù)不一樣，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例42865×7265＝？解：練習2計算以下各題：1.68×62；2.93×97；3.27×87；4.79×39；5.42×62；6.603×607；7.693×607；8.4085×6085。第3講高斯求和德國著名數(shù)學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為〔1+100〕×100÷2＝5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。假設干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：〔1〕1，2，3，4，5，?，100；〔2〕1，3，5，7，9，?，99；〔3〕8，15，22，29，36，?，71。其中〔1〕是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；〔2〕是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；〔3〕是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=〔首項+末項〕×項數(shù)÷2。例11＋2＋3＋?＋1999＝？分析^p與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=〔1＋1999〕×1999÷2＝1999000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例211＋12＋13＋?＋31＝？分析^p與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21〔項〕。原式=〔11+31〕×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到項數(shù)=〔末項-首項〕÷公差+1，末項=首項+公差×〔項數(shù)-1〕。例33＋7＋11＋?＋99＝？分析^p與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=〔99－3〕÷4＋1＝25，原式=〔3＋99〕×25÷2＝1275。例4求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=25＋3×〔40-1〕＝142，和=〔25＋142〕×40÷2＝3340。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例5在以下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：〔1〕最大三角形的面積是多少平方厘米？〔2〕整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析^p：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：〔1〕最大三角形面積為〔1＋3＋5＋?＋15〕×12＝［〔1＋15〕×8÷2］×12＝768〔厘米2〕。2〕火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+?+24＝〔3＋24〕×8÷2=108〔根〕。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析^p與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球??第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋?＋2×10＝2×〔1＋2＋?＋10〕＝2×55＝110〔只〕。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113〔只〕。綜合列式為：〔3-1〕×〔1＋2＋?＋10〕＋3＝2×［〔1＋10〕×10÷2］＋3＝113〔只〕。練習31.計算以下各題：〔1〕2＋4＋6＋?＋200；〔2〕17＋19＋21＋?＋39；〔3〕5＋8＋11＋14＋?＋50；〔4〕3＋10＋17＋24＋?＋。2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3.求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？第四講我們在三年級已經(jīng)學習了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程性質(zhì)1假如甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質(zhì)2假如兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性質(zhì)3假如一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9×7＝63整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進一步學習數(shù)的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數(shù)字特征列出來：〔1〕一個數(shù)的個位數(shù)字假如是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除?！?〕一個數(shù)的個位數(shù)字假如是0或5，那么這個數(shù)就能被5整除?！?〕一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和假如能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。〔4〕一個數(shù)的末兩位數(shù)假如能被4〔或25〕整除，那么這個數(shù)就能被4〔或25〕整除。〔5〕一個數(shù)的末三位數(shù)假如能被8〔或125〕整除，那么這個數(shù)就能被8〔或125〕整除?！?〕一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和假如能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。其中〔1〕〔2〕〔3〕是三年級學過的內(nèi)容，〔4〕〔5〕〔6〕是本講要學習的內(nèi)容。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程因為100能被4〔或25〕整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4〔或25〕整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4〔或25〕整除，這個數(shù)就能被4〔或25〕整除。這就證明了〔4〕。類似地可以證明〔5〕?！?〕的正確性，我們用一個詳細的數(shù)來說明一般性的證明方法。837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×〔99＋1〕＋3×〔9＋1〕＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝〔8×99＋3×9〕＋〔8＋3＋7〕。因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，〔8x99＋3x9〕能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由〔8＋3＋7〕能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用〔4〕〔5〕〔6〕還可以求出一個數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：〔4‘〕一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)一樣?！?＇〕一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)一樣。〔6＇〕一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)一樣。例1在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064；能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程例2在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：假如56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應能被9整除，所以當十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；假如56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；假如56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。到如今為止，我們已經(jīng)學過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數(shù)能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質(zhì)，所以假如這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可斷定這個數(shù)能被6整除。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。例3從0，2，5，7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進展排列。解：因為組成的三位數(shù)能同時被2，5整除，所以個位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。例4五位數(shù)分析^p與解：以能被72整除，問：a與b各代表什么數(shù)字？能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質(zhì)數(shù)，所既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程能被8整除，由此可確定b＝6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為a＋3＋2＋9＋b＝a＋3－f－2＋9＋6＝a＋20，因為l≤a≤9，所以21≤a＋20≤29。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以a＝7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論b和a所代表的數(shù)字。在解題順序上，應先確定b所代表的數(shù)字，因為b代表的數(shù)字不受a的取值大小的影響，一旦b代表的數(shù)字確定下來，a所代表的數(shù)字就容易確定了。例5六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個？分析^p與解：因為6＝2×3，且2與3互質(zhì)，所以這個整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被2整除，推知a可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數(shù)能被3整除，推知3＋a＋b＋a＋b＋a＝3＋3a＋2b能被3整除，故2b能被3整除。b可取0，3，6，9這4個值。由于b可以取4個值，a可以取5個值，題目沒有要求a≠b，所以符合條件的六位數(shù)共有5×4＝20〔個〕。例6要使六位數(shù)表什么數(shù)字？分析^p與解：因為36＝4×9，且4與9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)應既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)此c可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個六位數(shù)盡可能小。因此首先是a的能被4整除，就要能被4整除，因能被36整除，而且所得的商最小，問a，b，c各代盡量小，其次是b盡量小，最后是c盡量小。先試取a=0。六位數(shù)綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程各位數(shù)字之和為12＋b＋c。它應能被9整除，因此b＋c＝6或b＋c＝15。因為b，c應盡量小，所以b＋c＝6，而c只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應取b＝1，c＝5。當a=0，b=1，c＝5時，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。練習41．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數(shù)整除？2．個位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4．五位數(shù)能被12整除，求這個五位數(shù)。5．有一個能被24整除的四位數(shù)□23□，這個四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6．從0，2，3，6，7這五個數(shù)碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？7．在123的左右各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。8．學校買了72只小足球，發(fā)票上的總價有兩個數(shù)字已經(jīng)識別不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少錢嗎？第5講棄九法從第4講知道，假如一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)能被9整除；假如一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程例如，3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。但是，當一個數(shù)的數(shù)位較多時，這種計算費事且易錯。有沒有更簡便的方法呢？因為我們只是判斷這個式子被9除的余數(shù)，所以但凡假設干個數(shù)的和是9時，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個3〔如以下圖〕，所以這個數(shù)除以9的余數(shù)是3。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。一個數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四那么運算的正確性。例1求多位數(shù)764582***15除以9的余數(shù)。分析^p與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。只剩下7，6，1，5四個數(shù)，這時口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數(shù)除以9余1。例2將自然數(shù)1，2，3，?依次無間隔地寫下去組成一個數(shù)***3?假如一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程分析^p與解：因為這個數(shù)太大，全部寫出來很費事，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配適宜當?shù)姆治鯺p。我們已經(jīng)熟知1＋2＋3＋?＋9＝45，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，?，9都可以劃掉。在1～99這九十九個數(shù)中，個位數(shù)有十組1，2，3，?，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，?，9，也都劃掉。這樣在這個大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個數(shù)除以9余1。在上面的解法中，并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析^p求解。此題還有其它簡捷的解法。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)一樣，所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數(shù)一樣。利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。例3檢驗下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。分析^p與解：假設干個加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應當?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。假如不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。因為0≠1，所以這個算式不正確。例4檢驗下面的減法算式是否正確：7832145-2167953＝5664192。分析^p與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)〔假設不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減〕應當?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。假如不等，那么這個減綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由〔9+3〕-6＝6知，原題等號左邊的九余數(shù)是6。等號右邊的九余數(shù)也是6。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法〔見例5〕運算的結(jié)果是否正確時，假如等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；假如等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有0，1，2，?，____種情況，不同的數(shù)可能有一樣的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。例5檢驗下面的乘法算式是否正確：46876×9537＝447156412。分析^p與解：兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應當?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。假如不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，4×6＝24，24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。6≠7，所以這個算式不正確。說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801÷253=1517的正確性，只需檢驗1517×253=383801的正確性。練習51．求以下各數(shù)除以9的余數(shù)：〔1〕7468251；〔2〕36298745；〔3〕2657348；〔4〕6678254193。2．求以下各式除以9的余數(shù)：〔1〕67235＋82564；〔2〕97256-47823；綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程〔3〕2783×6451；〔4〕3477+265×841。3．用棄九法檢驗以下各題計算的正確性：〔1〕228×222＝50616；〔2〕334×336＝112224；〔3〕23372428÷6236＝3748；〔4〕12345÷6789＝83805。4．有一個2000位的數(shù)a能被9整除，數(shù)a的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是b，數(shù)b的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是c，數(shù)c的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是d。求d。第6講數(shù)的整除性〔二〕這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，?位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，?位稱為偶數(shù)位。也就是說，個位、百位、萬位??是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位??是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如以下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差〔大數(shù)減小數(shù)〕假如能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。例1判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析^p與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程一個數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)一樣。假如奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例2求以下各數(shù)除以11的余數(shù)：〔1〕41873；〔2〕296738185。分析^p與解：〔1〕[〔4＋8＋3〕－〔1＋7〕]÷11=7÷11＝0??7，所以41873除以11的余數(shù)是7?！?〕奇數(shù)位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為9＋7＋8＋8＝32。因為17＜32，所以應給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。〔17+11×2〕-32＝7，所以296738185除以11的余數(shù)是7。需要說明的是，當奇數(shù)位數(shù)字之和遠遠小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題〔2〕中，〔32-17〕÷11＝1??4，所求余數(shù)是11-4=7。例3求除以11的余數(shù)。分析^p與解：奇數(shù)位是個1，偶數(shù)位是100個9?！?×100-1×〕÷11=799÷11=72??7，11-7=4，所求余數(shù)是4。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差9-1＝8，奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相當于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。例4用3，3，7，7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個3和一個7即可。有3377，3773，7337，7733。例5用1～9九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復數(shù)字的最大九位數(shù)。分析^p與解：最大的沒有重復數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由〔9＋7＋5＋3＋1〕-〔8＋6＋4＋2〕＝5知，987654321不能被11整除。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3〔偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3〕，奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋3×2=11，這個數(shù)就能被11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可到達目的。此時，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。所求數(shù)為987652413。例6六位數(shù)能被99整除，求a和b。分析^p與解：由99=9×11，且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。因為六位數(shù)能被9整除，所以a+2+8+7+5+b＝22+a+b應能被9整除，由此推知a＋b＝5或14。又因為六位數(shù)能被11整除，所以〔a＋8＋5〕－〔2＋7＋b〕綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程＝a-b＋4應能被11整除，即a-b+4=0或a-b+4=11?；喌胋-a＝4或a-b＝7。因為a+b與a-b同奇同偶，所以有在〔1〕中，a≤5與a≥7不能同時滿足，所以無解。在〔2〕中，上、下兩式相加，得〔b＋a〕＋〔b-a〕＝14＋4，2b＝18，b=9。將b=9代入a＋b=14，得a＝5。所以，a=5，b＝9。練習61．為使五位數(shù)6□295能被11整除，□內(nèi)應當填幾？2．用1，2，3，4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？3．求能被11整除的最大的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)。4．求以下各數(shù)除以11的余數(shù)：〔1〕2485；〔2〕63582；〔3〕987654321。5．求6．六位數(shù)除以11的余數(shù)。5a634b能被33整除，求a+b。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程7．七位數(shù)3a8629b是88的倍數(shù)，求a和b。第7講找規(guī)律〔一〕我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個題目，學習了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點學習具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比方，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比方，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三個數(shù)重復出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。下面，我們通過一些例題作進一步講解。例1節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、??這樣排下去。問：〔1〕第100盞燈是什么顏色？〔2〕前150盞彩燈中有多少盞藍燈？分析^p與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。〔1〕100÷12＝8??4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈?！?〕150÷12=12??6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈4×12＝48〔盞〕，最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49〔盞〕。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程例2有一串數(shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。問：這串數(shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？分析^p與解：因為第1，2，3，4個數(shù)的和等于第2，3，4，5個數(shù)的和，所以第1個數(shù)與第5個數(shù)一樣。進一步可推知，第1，5，9，13，?個數(shù)都一樣。同理，第2，6，10，14，?個數(shù)都一樣，第3，7，11，15，?個數(shù)都一樣，第4，8，12，16?個數(shù)都一樣。也就是說，這串數(shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個數(shù)等于第6個數(shù)，是6；第3個數(shù)等于第11個數(shù)，是7。前三個數(shù)依次是3，6，7，第四個數(shù)是25-〔3+6+7〕=9。這串數(shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個數(shù)與第4個數(shù)一樣，是9。由77÷4＝9??1知，前77個數(shù)是19個周期零1個數(shù)，其和為25×19+3=478。例3下面這串數(shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問：這串數(shù)中第88個數(shù)是幾？628088640448?分析^p與解：這串數(shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是假如其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字一樣，那么根據(jù)這串數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字一樣，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串數(shù)再多寫出幾位：當寫出第21，22位〔豎線右面的兩位〕時就會發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)一樣，所以這串數(shù)按每20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由88÷20=4??8知，第88個數(shù)與第8個數(shù)一樣，所以第88個數(shù)是4。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4在下面的一串數(shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么在這串數(shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000”？***7134?分析^p與解：無休止地將這串數(shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，這串數(shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字”，假如不看詳細數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串數(shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??可以看出，這串數(shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”。例5a，b，c，d四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子??當100位小朋友放完后，a，b，c，d四個盒子中各放有幾個球？分析^p與解：按照題意，前六位小朋友放過后，a，b，c，d四個盒子中的球數(shù)如下表：綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況一樣，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個盒子中球的情況重復出現(xiàn)一次。〔100-1〕÷4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次〔3＋1＝4〕后的情況一樣，a，b，c，d盒中依次有4，6，3，5個球。練習71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將1，2，3，4，?除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個數(shù)列。求這個數(shù)列前100個數(shù)的和。3．有一串數(shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。這串數(shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)與7的和的個位數(shù)。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？5．小明按1～3報數(shù)，小紅按1～4報數(shù)。兩人以同樣的速度同時開場報數(shù)，當兩人都報了100個數(shù)時，有多少次兩人報的數(shù)一樣？6．a(chǎn)，b，c，d四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當100個小朋友放完后，a，b，c，d四個盒子中各放有幾個球？第8講找規(guī)律〔二〕整數(shù)a與它本身的乘積，即a×a叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2＝a×a；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關(guān)，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關(guān)，而a的個位數(shù)只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：〔1〕當a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6?！?〕當a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)?！?〕當a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1求67999的個位數(shù)字。分析^p與解：因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999÷4＝249??3，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字一樣，即67999的個位數(shù)字是3。例2求291+3291的個位數(shù)字。分析^p與解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4＝22??3，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字一樣，等于8。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4＝72??3，所以3291與33的個位數(shù)一樣，等于7。最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字一樣，等于5。例3求28128-2929的個位數(shù)字。解：由128÷4＝32知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)一樣，等于6。由29÷2＝14??1知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)一樣，等于9。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16－9＝7。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程例4求以下各除法運算所得的余數(shù)：〔1〕7855÷5；〔2〕555÷3。分析^p與解：〔1〕由55÷4＝13??3知，7855的個位數(shù)與83的個位數(shù)一樣，等于2，所以7855可分解為10×a＋2。因為10×a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2?！?〕因為a÷3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關(guān)，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解。為了尋找5n÷3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。比方，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與1×5=5除以3的余數(shù)一樣。這是因為52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而53=〔3×8+1〕×5=〔3×8〕×5+1×5，〔3×8〕×5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與1×5除以3的余數(shù)一樣。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由55÷2=27??1知，555÷3的余數(shù)與51÷3的余數(shù)一樣，等于2。例5某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？分析^p與解：1時后有1×3=31〔個〕細菌，2時后有31×3=32〔個〕細菌??20時后，有320個細菌，所以此題相當于“求320÷7的余數(shù)”。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程由例4〔2〕的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n÷7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20÷6＝3??2知，320÷7的余數(shù)與32÷7的余數(shù)一樣，等于2。所以最后還剩2個細菌。最后再說明一點，an÷b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因為所得余數(shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內(nèi)必會重復出現(xiàn)。練習81．求以下各數(shù)的個位數(shù)字：〔1〕3838；〔2〕2930；〔3〕6431；〔4〕17215。2．求以下各式運算結(jié)果的個位數(shù)字：〔1〕9222＋5731；〔2〕615+487+349；〔3〕469-6211；〔4〕37×48+59×610。3．求以下各除法算式所得的余數(shù)：〔1〕5100÷4；〔2〕8111÷6；〔3〕488÷7第9講數(shù)字謎〔一〕我們在三年級已經(jīng)學習過一些簡單的數(shù)字謎問題。這兩講除了復習穩(wěn)固學過的知識外，還要學習一些新的內(nèi)容。例1在下面算式等號左邊適宜的地方添上括號，使等式成立：5+7×8+12÷4-2＝20。分析^p：等式右邊是20，而等式左邊算式中的7×8所得的積比20大得多。因此必須設法使這個積縮小一定的倍數(shù)，化大為小。從整個算式來看，7×8是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋17-2=20。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程解：5+〔7×8+12〕÷4-2=20。例2把1～9這九個數(shù)字填到下面的九個□里，組成三個等式〔每個數(shù)字只能填一次〕：分析^p與解：假如從加法與減法兩個算式入手，那么會出現(xiàn)許多種情形。假如從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：2×3＝6或2×4＝8，所以應當從乘法算式入手。因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□-□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和也是偶數(shù)。于是可知，原題加減法算式中的六個數(shù)的和應該是偶數(shù)。假設乘法算式是2×4＝8，那么剩下的六個數(shù)1，3，5，6，7，9的和是奇數(shù)，不合題意；假設乘法算式是2×3＝6，那么剩下的六個數(shù)1，4，5，7，8，9可分為兩組：4＋5＝9，8-7＝1〔或8-1＝7〕；1＋7＝8，9－5＝4〔或9－4＝5〕。所以答案為與綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程例3下面的算式是由1～9九個數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□÷□□=□-□=□-7。分析^p與解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數(shù)只能填9，由此知左端被除數(shù)的百位數(shù)只能填1，故中間減式有8-6，6-4，5-3和4-2四種可能。經(jīng)逐一驗證，8-6，6-4和4-2均無解，只有當中間減式為5-3時有如下兩組解：128÷64=5-3=9-7，或164÷82＝5-3＝9-7。例4將1～9九個數(shù)字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：□+□=6，□×□=8，□-□=6，□□÷□=8。分析^p與解：因為每個□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：1×8或2×4。加式與乘式的數(shù)字不能一樣，搭配后只有兩種可能：〔1〕加式為1＋5，乘式為2×4；〔2〕加式為2+4，乘式為1×8。對于〔1〕，還剩3，6，7，8，9五個數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時除式無法滿足；對于〔2〕，還剩3，5，6，7，9五個數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時除式可填56÷7。答案如下：2＋4＝6，1×8＝8，9－3＝6，56÷7＝8。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程例2～例4都是對題目經(jīng)過初步分析^p后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，假如可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。例5從1～9這九個自然數(shù)中選出八個填入下式的八個○內(nèi)，使得算式的結(jié)果盡可能大：[○÷○×〔○+○〕]-[○×○+○-○]。分析^p與解：為使算式的結(jié)果盡可能大，應當使前一個中括號內(nèi)的結(jié)果盡量大，后一個中括號內(nèi)的結(jié)果盡量小。為表達方便，將原式改寫為：[a÷b×〔c＋d〕]-[e×f＋g－h(huán)]。通過分析^p，a，c，d，h應盡可能大，且a應最大，c，d次之，h再次之；b，e，f，g應盡可能小，且b應最小，e，f次之，g再次之。于是得到a=9，c=8，d=7，h=6，b=1，e=2，f=3，g=4，其中c與d，e與f的值可互換。將它們代入算式，得到[9÷1×〔8＋7〕]－[2×3＋4－6]=131。練習91．在下面的算式里填上括號，使等式成立：〔1〕4×6+24÷6-5=15；〔2〕4×6+24÷6-5=35；〔3〕4×6+24÷6-5=48；〔4〕4×6+24÷6-5＝0。2．加上適當?shù)倪\算符號和括號，使下式成立：＝100。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程3．把0～9這十個數(shù)字填到下面的□里，組成三個等式〔每個數(shù)字只能填一次〕：□+□=□，□-□=□，□×□=□□。4．在下面的□里填上+，-，×，÷，〔〕等符號，使各個等式成立：4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。5．將2～7這六個數(shù)字分別填入下式的□中，使得等式成立：□+□-□=□×□÷□。6．將1～9分別填入下式的九個□內(nèi)，使算式獲得最大值：□□□×□□□×□□□。7．將1～8分別填入下式的八個□內(nèi)，使算式獲得最小值：□□×□□×□□×□□。第10講數(shù)字謎〔二〕例1把下面算式中缺少的數(shù)字補上：分析^p與解：一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)，差是一個兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。由此我們找出解決此題的打破口在百位數(shù)上。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程〔1〕填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應填9，被減數(shù)的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1?！?〕填個位。由于被減數(shù)個位數(shù)字是0，差的個位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個位數(shù)字是9。〔3〕填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實際數(shù)值是18，18分解成兩個一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。所求算式如右式。由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。例2在以下各加法算式中，一樣的漢字代表一樣的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個算式：分析^p與解：〔1〕這是一道四個數(shù)連加的算式，其特點是一樣數(shù)位上的數(shù)字一樣，且個位與百位上的數(shù)字一樣，即都是漢字“學”。從個位一樣數(shù)相加的情況來看，和的個位數(shù)字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學”＝2或7。假如“學”＝2，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字6。此時，百位上的和為“學”＋“學”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學”≠2。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程假如“學”＝7，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個位進位的2，和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數(shù)字3。滿足條件的解如右式?！?〕由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學”=9，“習”=1。滿足條件的算式如右下式。例2中的兩題形式類似，但題目特點并不一樣，解法也不同，請同學們注意比擬。例3下面豎式中每個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。分析^p與解：由于個位上的“賽”ד賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個數(shù)，所以“賽”的取值只能是2，3，4，7，8，9。下面采用逐一試驗的方法求解?！?〕假設“賽”＝2，那么“數(shù)”＝4，積=444444。被乘數(shù)為444444÷2＝222222，而被乘數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字各不一樣，所以“賽”≠2。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程〔2〕假設“賽”＝3，那么“數(shù)”=9，仿〔1〕討論，也不行?！?〕假設“賽”＝4，那么“數(shù)”＝6，積=666666。666666÷4得不到整數(shù)商，不合題意。〔4〕假設“賽”＝7，那么“數(shù)”＝9，積=999999。被乘數(shù)為999999÷7＝142857，符合題意?！?〕假設“賽”＝8或9，仿上討論可知，不合題意。所以，被乘數(shù)是142857。例4在□內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。分析^p與解：為清楚起見，我們用a，b，c，d，?表示□內(nèi)應填入的數(shù)字〔見右上式〕。由被乘數(shù)大于500知，e=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故b，c中必有一個是5。假設c＝5，那么有6□□×5=〔600+□□〕×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以b=5。再由b=5推知g=0或5。假設g=5，那么f=a=9，此時被乘數(shù)為695，無論c為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以g=0，f=a=4。此時已求出被乘數(shù)是645，經(jīng)試驗只有645×7滿足□5□5，所以c=7；最后由b=5，g=0知d為偶數(shù)，經(jīng)試驗知d=2。右式為所求豎式。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程此類乘法豎式題應根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進位情況，先填比擬容易的未知數(shù)，再依次填其余未知數(shù)。有時某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。例5在□內(nèi)填入適當數(shù)字，使左下方的除法豎式成立。分析^p與解：把左上式改寫成右上式。根據(jù)除法豎式的特點知，b=0，d=g=1，e=f=h=9，因此除數(shù)應是99的兩位數(shù)的約數(shù)，可能取值有11，33和99，再由商的個位數(shù)是5以及5與除數(shù)的積是兩位數(shù)得到除數(shù)是11，進而知a＝c-9。至此，除數(shù)與商都已求出，其余未知數(shù)都可填出〔見右式〕。此類除法豎式應根據(jù)除法豎式的特點，如商的空位補0、余數(shù)必須小于除數(shù)，以及空格間的互相關(guān)系等求解，只要求出除數(shù)和商，問題就迎刃而解了。例6把左下方除法算式中的*號換成數(shù)字，使之成為一個完好的式子〔各*所表示的數(shù)字不一定一樣〕。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程分析^p與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數(shù)字“*”是0，即商為。因為除數(shù)與8的積是兩位數(shù)，除數(shù)與商的千位數(shù)字的積是三位數(shù)，知商的千位數(shù)是9，即商為9807。因為“除數(shù)×9”是三位數(shù)，所以除數(shù)≥12；又因為“除數(shù)×8”是兩位數(shù)，所以除數(shù)≤12。推知除數(shù)只能是12。被除數(shù)為9807×12＝117684。除法算式如上頁右式。練習101．在下面各豎式的□內(nèi)填入適宜的數(shù)字，使豎式成立：2．右面的加法算式中，一樣的漢字代表一樣的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。問：“小”代表什么數(shù)字？3．在以下各算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字一樣的漢字代表一樣的數(shù)字。求出以下各式：綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程4．在以下各算式中，一樣的字母代表一樣的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。這些算式中各字母分別代表什么數(shù)字？第11講歸一問題與歸總問題在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量”，然后以這個“單一量”為標準，根據(jù)其它條件求出結(jié)果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產(chǎn)量、單位時間所走的路程等。例1一種鋼軌，4根共重1900千克，如今有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？〔損耗忽略不計〕分析^p：以一根鋼軌的重量為單一量?！?〕一根鋼軌重多少千克？1900÷4＝475〔千克〕?！?〕95000千克能制造多少根鋼軌？95000÷475＝200〔根〕。解：95000÷〔1900÷4〕＝200〔根〕。答：可以制造200根鋼軌。綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程例2王家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？分析^p：以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量?！?〕1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？630÷5÷7＝18〔千克〕?！?〕8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？18×8×15＝2160〔千克〕。解：〔630÷5÷7〕×8×15=2160〔千克〕。答：可產(chǎn)牛奶2160千克。例3三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？分析^p與解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量?！?〕1臺磨面機1時磨面粉多少千克？2400÷3÷2.5=320〔千克〕?！?〕8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？25600÷320÷8=10〔時〕。綜合列式為25600÷〔2400÷3÷2.5〕÷8=10〔時〕。例44輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸。如今有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？分析^p與解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量。〔1〕1輛卡車1趟運沙土多少噸？336÷4÷7=12〔噸〕?！?〕5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程420÷12÷5＝7〔輛〕?！?〕需要增加多少輛卡車？7-4＝3〔輛〕。綜合列式為420÷〔336÷4÷7〕÷5-4＝3〔輛〕。與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據(jù)其它條件求出結(jié)果。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價等。例5一項工程，8個人工作15時可以完成，假如12個人工作，那么多少小時可以完成？分析^p：〔1〕工程總量相當于1個人工作多少小時？15×8＝120〔時〕?！?〕12個人完成這項工程需要多少小時？120÷12＝10〔時〕。解：15×8÷12＝10〔時〕。答：12人需10時完成。例6一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。假設要4時到達，那么每小時需要多行多少千米？分析^p：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。〔1〕從甲地到乙地的路程是多少千米？60×5=300〔千米〕?！?〕4時到達，每小時需要行多少千米？300÷4＝75〔千米〕。〔3〕每小時多行多少千米？綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程75－60＝15〔千米〕。解：〔60×5〕÷4——60＝15〔千米〕。答：每小時需要多行15千米。例7修一條公路，原方案60人工作，80天完成。如今工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的局部再用多少天可以完成？分析^p：〔1〕修這條公路共需要多少個勞動日〔總量〕？60×80＝4800〔勞動日〕?！?〕60人工作20天后，還剩下多少勞動日？4800-60×20=3600〔勞動日〕?！?〕剩下的工程增加30人后還需多少天完成？3600÷〔60＋30〕=40〔天〕。解：〔60×80-60×20〕÷〔60＋30〕＝40〔天〕。答：再用40天可以完成。練習111．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？綠藤星教育〔***〕小學奧數(shù)根底教程5．平整一塊土地，原方案8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場買雞蛋，原方案按每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調(diào)后是每千克多少元？7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲藏了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進展了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？第12講年齡問題年齡問題是一類以“年齡為內(nèi)容”的數(shù)學應用題。年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長而發(fā)生變化，年齡增大，倍數(shù)變小。根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進展求解。例1兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？分析^p與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30〔歲〕，因此母親今年是30＋5=35〔歲〕。今年爸爸48歲小學奧數(shù)的公式和口訣小學奧數(shù)必背的公式1~級!篇二本文由培優(yōu)智能小學數(shù)學教學網(wǎng):///為您整理小學數(shù)學教學網(wǎng)：小學奧數(shù)公式近年來中國代表在數(shù)學奧林匹克上的成績就像中國健兒在奧運會的成績一樣，突飛猛進，從40屆到第43屆，中國代表隊連續(xù)四年總分第一。如今為大家整理了一下小學奧數(shù)的公式分析^p?！?〕植樹問題根本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹根本公式棵數(shù)=段數(shù)＋1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)－1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)棵距×段數(shù)=總長關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系〔2〕雞兔同籠問題根本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那局部置換出來；根本思路：①假設，即假設某種現(xiàn)象存在〔甲和乙一樣或者乙和甲一樣〕：②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；培優(yōu)智能一直關(guān)注您的學習，歡送訪問中國最專業(yè)的小學數(shù)學:///教育網(wǎng)站。本文由培優(yōu)智能小學數(shù)學教學網(wǎng):///為您整理④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。根本公式：①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)＝〔兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)〕÷〔兔腳數(shù)－雞腳數(shù)〕②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)＝〔總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)〕÷〔兔腳數(shù)一雞腳數(shù)〕關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。〔3〕盈虧問題根本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚舅悸罚合葘煞N分配方案進展比擬，分析^p由于標準的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量．基此題型：①一次有余數(shù)，另一次缺乏；根本公式：總份數(shù)＝〔余數(shù)＋缺乏數(shù)〕÷兩次每份數(shù)的差②當兩次都有余數(shù)；根本公式：總份數(shù)＝〔較大余數(shù)一較小余數(shù)〕÷兩次每份數(shù)的差③當兩次都缺乏；培優(yōu)智能一直關(guān)注您的學習，歡送訪問中國最專業(yè)的小學數(shù)學:///教育網(wǎng)站。本文由培優(yōu)智能小學數(shù)學教學網(wǎng):///為您整理根本公式：總份數(shù)＝〔較大缺乏數(shù)一較小缺乏數(shù)〕÷兩次每份數(shù)的差根本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。培優(yōu)智能一直關(guān)注您的學習，歡送訪問中國最專業(yè)的小學數(shù)學:///教育網(wǎng)站。小學奧數(shù)必背的公式1~級!篇三公式法計算知識點撥一、常用公式1.；2.；3.；4.；5.等比數(shù)列求和公式：；6.平方差公式：；7.完全平方公式：，；用文字表述為：兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的倍，兩條公式也可以合寫在一起：．為便于記憶，可形象的表達為：“首平方，尾平方，倍乘積在中央”．二、常用技巧1.；2.；3.，，；4.，其中．例題精講一、前項和【例1】【考點】公式法之求和公式【難度】2星【題型】計算【解析】【答案】【穩(wěn)固】【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】計算【解析】原式【答案】【例2】計算：【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】計算【解析】原式【答案】【例3】計算：【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】計算【解析】原式【答案】【穩(wěn)固】計算：___________．【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】填空【解析】與公式相比，缺少偶數(shù)項，所以可以先補上偶數(shù)項．原式【答案】【例4】計算：【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】填空【解析】原式【答案】【例5】計算：?！究键c】公式法之求和公式【難度】3星【題型】填空【【關(guān)鍵詞】：^p】西城實驗【解析】原式其中也可以直接根據(jù)公式得出【答案】【例6】計算：【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】計算【解析】分拆，再用公式原式【答案】【例7】對自然數(shù)和，規(guī)定，例如，那么：⑴______________；⑵______________．【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】填空【解析】⑴原式⑵原式【答案】⑴⑵【穩(wěn)固】看規(guī)律，……，試求【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】計算【【關(guān)鍵詞】：^p】人大附中【解析】原式【答案】【例8】計算：【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】計算【解析】法一：利用等比數(shù)列求和公式。原式法二：錯位相減法．設那么，整理可得．法三：此題與例3相比，式子中各項都是成等比數(shù)列，但是例3中的分子為3，與公比4差1，所以可以采用“借來還去”的方法，此題假如也要采用“借來還去”的方法，需要將每一項的分子變得也都與公比差1．由于公比為3，要把分子變?yōu)?，可以先將每一項都乘以2進展算，最后再將所得的結(jié)果除以2即得到原式的值．由題設，那么運用“借來還去”的方法可得到，整理得到．【答案】【例9】計算的值?！?，，〕【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】計算【解析】注意到式子的特點是從第一個加數(shù)開場，每一個加數(shù)比前一個加數(shù)的指數(shù)減少，的指數(shù)增加.所以每一個加數(shù)是前一個加數(shù)的倍，假如將題中加數(shù)按原來的順序排列起來就是一個公比為的等比數(shù)列，于是按照錯位減法進展運算即可。記,，那么，即原式的值為.【答案】【例10】．【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】填空【【關(guān)鍵詞】：^p】浙江省，小學數(shù)學活動課夏令營【解析】原式【答案】【解析】計算：．【考點】公式法之求和公式【難度】3星