江蘇省徐州部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期9月期初考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期9月期初考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得：，，則，故，故選C.2.“（其中是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，若為純虛?shù)，則，所以或，所以由“（其中是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)”推不出“”，由“”推得出“（其中是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)”，所以“（其中是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B3.在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，BC，的中點(diǎn)，現(xiàn)有下面三個(gè)結(jié)論：①為正三角形；②異面直線與所成角為，③平面EFG；④過A作平面，使得棱AD，，在平面的正投影的長(zhǎng)度相等，則這樣的平面有4個(gè).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.②④ B.②③ C.①③ D.①③④〖答案〗D〖解析〗如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，①，，，，，，所以為正三角形，①正確；②，，，，，異面直線與所成角的余弦值為，②不正確；③，，，，設(shè)平面EFG的法向量為，令，則，，，，平面EFG，平面EFG，③正確；④，且AD，，在平面的正投影的長(zhǎng)度相等AD，，在平面的正投影的長(zhǎng)度相等分別，，中點(diǎn)為H，I，J，則平面，，，和過A點(diǎn)平行于平面的平面，使得棱AD，，在該平面的正投影的長(zhǎng)度相等，這樣的平面有4個(gè)，④正確.故選：D..4.下列向量的線性運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，以，為鄰邊作平行四邊形，再以，為鄰邊作平行四邊形，對(duì)于A，因?yàn)?，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，,故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C.5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，函數(shù)的周期為，，，，，，，則，，故選：A.6.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),且滿足,則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）A.4 B.-1 C.1 D.-4〖答案〗D〖解析〗由，得，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為-4，故選：D.7.若不等式對(duì)于一切恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于一切成立，則等價(jià)為a?對(duì)于一切x∈(0,)成立，即a??x?對(duì)于一切x∈(0,)成立，設(shè)y=?x?,則函數(shù)在區(qū)間(0,〕上是增函數(shù)∴?x?<??2=，∴a?.故選C.8.定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則的值為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由，當(dāng)時(shí)，可得.故選：B9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則下列四個(gè)結(jié)論：①是的一個(gè)〖解析〗式；②是最小正周期為的奇函數(shù)；③的單調(diào)遞減區(qū)間為，；④直線是圖象的一條對(duì)稱軸.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，故①錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期，但是，故為非奇非偶函數(shù)，即②錯(cuò)誤；令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故③正確；因?yàn)?，所以直線是圖象的一條對(duì)稱軸，故④正確；故選：B.二、多選題10.已知平面向量，，則（）A.若，則B.若，則與的夾角為銳角C.若為任意非零向量，則存在實(shí)數(shù)，使得D.若在上的投影向量為，則或〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若與的夾角為銳角，則且、不共線，所以，，解得且，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，其中，若存在，使得，則，令，此時(shí)，該方程無解，若，不存在實(shí)數(shù)，使得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若在上的投影向量為，則，即，整理可得，解得或，D對(duì).故選：AD.11.如圖所示，在正方體中，點(diǎn)F是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)E，則下列命題中正確的是（）A.存在點(diǎn)F，使得平面B.存在點(diǎn)F，使得平面C.對(duì)于任意點(diǎn)F，四邊形均為平行四邊形D.對(duì)于任意的點(diǎn)F，三棱錐的體積均不變〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)F為的中點(diǎn)時(shí)，則E也為的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，故A為真命題；對(duì)于B，因?yàn)槠矫?，所以平面不可能，故B為假命題；對(duì)于C，由面面平行的性質(zhì)，可知，因此四邊形一定為平行四邊形，故C是真命題；對(duì)于D，平面，所以點(diǎn)F到平面的距離為定值，三棱錐的體積為定值，故D是真命題.故選：ACD12.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.是周期為2的函數(shù)B.C.的值域?yàn)閇-1，1]D.的圖象與曲線在上有4個(gè)交點(diǎn)〖答案〗BCD〖解析〗根據(jù)題意，

對(duì)于A，為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，即則是周期為4的周期函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則，是周期為4的周期函數(shù)，則；

當(dāng)時(shí)，，則，則，

則；故B正確．

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有，又由為R上的奇函數(shù)，則時(shí)，，

，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的值域．故C正確．

對(duì)于D，，且時(shí)，，，，，是奇函數(shù)，，的周期為，，，，設(shè)，當(dāng)，，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，且，存在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以有唯一零點(diǎn)，在沒有零點(diǎn)，即，的圖象與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，則，，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞增，又，所以，又，所以在上有一個(gè)唯一的零點(diǎn)，在上有唯一的零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，的圖象與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，同，的圖象與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，的圖象與曲線沒有交點(diǎn)，所以的圖象與曲線在上有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：BCD．三、填空題13.已知鈍角的面積為，，，則角______，______．〖答案〗〖解析〗，若：，為等腰直角三角形，不合題意，舍去；若：，故填：，．14.若一個(gè)等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為15，后5項(xiàng)和為145，且該數(shù)列共有31項(xiàng)，則這個(gè)等差數(shù)列的公差為___________.〖答案〗1〖解析〗設(shè)這個(gè)等差數(shù)列為，則，，所以，，所以公差.故〖答案〗為：1.15.若不等式在的定義域內(nèi)恒成立，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)顯然成立；當(dāng)時(shí)，不等式化為，當(dāng)時(shí)顯然成立，而當(dāng)時(shí)與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，如圖1，其橫坐標(biāo)記為，漸近線在軸右側(cè)，在交點(diǎn)左側(cè).當(dāng)時(shí)，，，矛盾，故不成立.當(dāng)時(shí)，不等式化為.當(dāng)時(shí)顯然成立，而當(dāng)時(shí)，注意到與交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)不等式顯然成立，只需考慮時(shí)的不等式，此時(shí)在圖象下方，為保證時(shí)不等式成立，需如圖2所示，必須在上方，于是去絕對(duì)值得，即.令，，，則在上單增，在上單減，故恒成立，解得.綜上，.故〖答案〗為：.16.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為___________;表面積為___________．〖答案〗〖解析〗由三視圖，可得該幾何體為底面邊長(zhǎng)為2的正方形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，且四棱錐的高為，如圖所示，則該幾何體的體積為：，在直角中，可得，同理在直角中，可得，表面積為：.故〖答案〗為：，.四、解答題17.如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊AB上，，的面積為.（1）求CD的長(zhǎng)；（2）求.解：（1）因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得.在中，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，由得，所以.在中，由余弦定理得，所以.在中，由余弦定理得，所以.18.已知函數(shù)f(x)=，.（1）求函數(shù)g(x)的值域；（2）求滿足方程f(x)-=0的x的值.解：（1），因?yàn)閨x|≥0，，所以，，即1<g(x)≤4，故g(x)的值域是(1，4].（2）由f(x)-g(x)=0，得，當(dāng)x≤0時(shí)，方程化為，即，所以方程無解；當(dāng)x>0時(shí)，，整理得(ex)2-2ex-3=0，(ex+1)(ex-3)=0，因?yàn)閑x>0，所以ex=3，即x=ln3.19.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，．（1）求角A的值；（2）求函數(shù)（）的值域．解：（1）由正弦定理,可得,則,得,又為銳角,故；(2),因,故,于是,因此,即的值域?yàn)?20.如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．在△中，分別為的中點(diǎn)，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且．所以四邊形為平行四邊形，所以∥．又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以∥平面．?）證明：在正方形中，．又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面．所以．在直角梯形中，，，可得．在△中，，所以．所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：（方法一）延長(zhǎng)和交于．在平面內(nèi)過作于,連結(jié)．由平面平面，∥，，平面平面=，得，于是．又，平面，所以，于是就是平面與平面所成銳二面角的平面角.由，得.又，于是有.在中，.所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（方法二）由（2）知平面，且．以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．易得.平面的一個(gè)法向量為.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，令，得．所以為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面與平面所成銳二面角為．則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證：，.（1）解：由題意，當(dāng)時(shí)，可得，解得，又由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，可得，又由，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以.（2）證明