2023-2024學(xué)年四川省成都市高三上冊開學(xué)考試文科數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市高三上冊開學(xué)考試文科數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．1 C． D．23．函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

4．已知實(shí)數(shù)滿足（），則下列關(guān)系式恒成立的是（

）A． B．ln＞lnC． D．5．若，則的最小值為A．8 B．6 C．4 D．26．已知命題若則；命題在中，是的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（

）A． B． C． D．7．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積是（

）

A． B． C．1 D．28．已知函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且圖象關(guān)于直線對稱，將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．9．已知中，若，，的面積為，為邊的中點(diǎn)，則的長度是（

）A． B． C．1 D．210．已知，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．11．已知圓過雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)為M，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．312．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的根，則（

）A．4 B．3 C．2 D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則=.14．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是.15．直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作直線的垂線，垂足為M，則．16．已知三棱錐中，，，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，的值為.三、解答題（本題共6道小題，17題10分，其余各題12分，共70分）17．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.18．如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面底面，且，設(shè)分別為的中點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．19．已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在之間，一農(nóng)學(xué)實(shí)驗(yàn)室研究人員為研究溫度x（）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)y（顆）之間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對應(yīng)的的溫度環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下散點(diǎn)圖：

其中，，．(1)運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測在的溫度下，種子的發(fā)芽的顆數(shù)．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程，其中，．參考數(shù)據(jù)：．20．已知橢圓：（）左、右焦點(diǎn)分別為，，且為拋物線的焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)已知，為橢圓上不同兩點(diǎn)，且都在軸上方，滿足.（ⅰ）若，求直線的斜率；（ⅱ）若直線與拋物線無交點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.21．設(shè)．(1)證明：的圖象與直線有且只有一個(gè)橫坐標(biāo)為的公共點(diǎn)，且；(2)求所有的實(shí)數(shù)，使得直線與函數(shù)的圖象相切；(3)設(shè)（其中由（1）給出），且，，求的最大值．22．在直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)，分別在直線和曲線上運(yùn)動(dòng)，的最小值為．(1)求的值；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線交于不同的兩點(diǎn)與直線交于點(diǎn)，若，求的值．1．B【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定義可得.【詳解】集合，解不等式可得集合，所以.故選：B2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，然后由復(fù)數(shù)模公式可得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C3．A【分析】利用特殊值以及導(dǎo)數(shù)求得正確答案.【詳解】，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，和是的零點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，對于函數(shù)，開口向下，，令解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤，A選項(xiàng)正確.故選：A4．D【分析】由（）得，根據(jù)基本初等函數(shù)單調(diào)性逐個(gè)判斷即可，或舉出反例排除.【詳解】由（）得，對A，，不恒成立，A錯(cuò)；對B，ln＞ln，不恒成立，B錯(cuò)；對C，三角函數(shù)有周期性，不恒成立，C錯(cuò)；對D，，D對.故選：D.5．C【詳解】分析：利用對數(shù)運(yùn)算法則，得，從而有，再利用基本不等式得，化簡可得，從而得所求最小值．詳解：∵，∴，∴，∵，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選C．點(diǎn)睛：在用基本不等式求最值時(shí)，要注意其三個(gè)條件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值時(shí)，如果幾次用到不等式進(jìn)行放縮，那么一定要探索每個(gè)不等號(hào)中等號(hào)成立的條件是否是同一個(gè)，否則最后的等號(hào)不能取到．6．D【分析】先判斷的真假性，從而確定正確答案.【詳解】命題，若，則，且，所以是真命題.命題，在三角形中，若，由正弦定理得，所以；若，則，由正弦定理得.所以是的充要條件，所以命題是假命題.所以、、是假命題，ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.是真命題，D選項(xiàng)正確.故選：D7．A【分析】由三視圖還原原圖，根據(jù)錐體體積計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】由三視圖還原原圖如下圖所示，是正方體，該四棱錐為，故體積為.故選：A

8．C【分析】根據(jù)已知條件求得，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得正確答案.【詳解】依題意，則，解得，所以，將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù).由，得，所以，所以在區(qū)間上的最大值為.故選：C9．B【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以有，由余弦定理可知：，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，故選：B10．A【分析】根據(jù)冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.在上單調(diào)遞減，所以，由于，所以，所以，綜上所述，.故選：A11．C【分析】由題意可求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)推出，由雙曲線定義結(jié)合題設(shè)可得，由余弦定理可得，即可求得a，則可得答案.【詳解】由，令，則，即，故，，即有，圓心為,半徑為，由于,故,因?yàn)镸為雙曲線右支上一點(diǎn)，，設(shè)，則，故，在中，,即，即，故，故雙曲線離心率為，故選：C關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)條件可求得雙故曲線的焦半距，因此要求離心率，就要求出a的值，因此關(guān)鍵點(diǎn)就在于要利用圓的幾何性質(zhì)推得，設(shè),從而由余弦定理推出，再結(jié)合雙曲線定義推得，即可求得a，則問題即可求解.12．B【分析】由題意，易知為奇函數(shù)，由函數(shù)向右平移一個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度而得到的，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，再根據(jù)直線也關(guān)于點(diǎn)對稱，即可得答案.【詳解】由題意，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，由函數(shù)向右平移一個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度而得到的，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.而所表示的直線也關(guān)于點(diǎn)對稱，所以方程的三個(gè)實(shí)根中必有一個(gè)為1，另外兩個(gè)關(guān)于對稱，所以.故選：D.13．##【分析】根據(jù)直線垂直關(guān)系可得，然后結(jié)合平方關(guān)系和二倍角公式可得.【詳解】直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，則，代入可得，所以.故答案為.14．##【分析】畫出圖象，根據(jù)直線和圓的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，，即，直線與直線相互垂直，畫出圖象如下圖所示，滿足的約束條件的范圍如陰影部分所示，圓的圓心為，半徑為，由圖可知，將平移到與陰影部分圓弧相切時(shí)，取得最大值，到直線的距離為，解得（負(fù)根舍去），所以的最大值為.故

15．0【分析】設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求的值.【詳解】解：如圖，設(shè)，則，所以，聯(lián)立可得，所以，則，，故，故0．16．##【分析】補(bǔ)形成長方體，根據(jù)已知求得長方體的棱長，然后可表示出三棱錐的體積，借助導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】將三棱錐補(bǔ)形成長方體，記長方體中，則，解得，，又，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，，取得最大值，即時(shí)，三棱錐體積有最大值.故

17．（1）見解析（2）【詳解】試題分析：(1)題中所給的遞推關(guān)系整理可得：，且，據(jù)此可得是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，(2)由題意結(jié)合(1)的結(jié)論可得，裂項(xiàng)求和可得.試題解析：（1），又因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，（2）滿足上式.

點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明平面來證得.（2）根據(jù)錐體體積的計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】（1）∵是正方形，∴．∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，∴平面，∵平面，∴．又，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）∵四邊形為正方形，連接，則，為中點(diǎn)．∵為中點(diǎn)，∴在中，．∵平面，平面，∴平面．∴到面的距離等于到面的距離．由（1）知，，∴，得，∴，．（法一）取中點(diǎn)，連接，則，又平面，∴平面．∴．（法二）取中點(diǎn)，連接，則．∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，∴底面，．∴．

19．(1)可以用線性回歸方程模型擬合y與x的關(guān)系(2)，種子的發(fā)芽顆數(shù)為44【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即可作出判斷；（2）根據(jù)公式求出和，即可得到回歸方程，通過回歸方程即可得到預(yù)測值.【詳解】（1）根據(jù)題意，得．，．因而相關(guān)系數(shù)．由于很接近1，∴可以用線性回歸方程模型擬合y與x的關(guān)系．（2），，∴關(guān)于的回歸方程為．若，則顆．∴在的溫度下，預(yù)測種子的發(fā)芽顆數(shù)為44．20．(1)(2)（?。┑男甭蕿?；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，（ⅰ）設(shè)出直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)列方程，從而求得直線的斜率.（ⅱ）聯(lián)立直線的的方程與與拋物線，利用判別式列不等式，利用弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離公式求得四邊形面積的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得四邊形面積的取值范圍.【詳解】（1）依題意得，則，，而，于是，從而.又，解得，所以橢圓的方程為.（2）如圖，設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，由，故，由橢圓對稱性，，且四邊形為平行四邊形.（ⅰ）由題意直線的斜率不為0，設(shè)直線：，由，消去整理得，設(shè)，，則，，由（*）帶入上式，解得：，故，由于，，所以，所以，故的斜率為1.（ⅱ）由，消去整理得，由得.所以，與間的距離（即點(diǎn)到的距離），故，令，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則，所以四邊形的面積的取值范圍為.求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題，主要是根據(jù)已知條件求得，是兩個(gè)參數(shù)，需要想要求得，需要兩個(gè)已知條件，如本題中焦點(diǎn)以及點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓中的隱藏條件，就可以求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.21．(1)證明見解析(2)或(3)【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理證得結(jié)論成立.（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求得切線方程，根據(jù)切線過原點(diǎn)列方程，求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得的值.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時(shí)，得到，進(jìn)而得到，從而求得的最大值.【詳解】（1）考慮函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，．因此有且只有使得，即的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（2），．設(shè)是的圖象上一點(diǎn)，則該點(diǎn)處的切線為，整理得．令，解得或．因此與與函數(shù)的圖象相切．因此所求實(shí)數(shù)的值為或．（3）設(shè)，則．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．從而在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．注意到，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，．另一方面，注意到，故必然存在，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．顯然，而．因此當(dāng)時(shí)，．綜上可知當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．由于，故當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．因此的最大值為．利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程，關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是切點(diǎn)的坐標(biāo)，另一個(gè)是切線的斜率.切線的