河南省濮陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省濮陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知空間向量，，且，則（）A.6 B.10 C.8 D.4〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，解得，則.故選：A.2.如圖，設(shè)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得,由，得,所以，故選：A.3.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線和平面的位置關(guān)系是（）A. B.C.或 D.〖答案〗A〖解析〗由，，，所以，即，所以.故選：A.4.已知平行六面體的各棱長均為1，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知可得，，又，所以，所以．故選：D．5.已知經(jīng)過點(diǎn)的平面的法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以點(diǎn)P到平面的距離為.故選：D.6.在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在平行六面體中，，，，，則，而，且，于是因此，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.7.已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)該正面體的棱長為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以有，，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B.8.正方體棱長為2，是棱的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，由于為定值，要想三棱錐的體積最大，則F到底面ADE的距離最大，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，所以，，平面的法向量，所以與平面所成角的正弦值為故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.）9.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為鈍角 D.在方向上的投影向量為〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)椋?，不垂直，A錯(cuò)，因?yàn)?，所以，B對，因?yàn)?，所以，所以不是鈍角，C錯(cuò)，因?yàn)樵诜较蛏贤队跋蛄?，D對，故選：BD.10.已知，，是空間的三個(gè)單位向量，下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，兩兩共面，則，，共面C.對于空間的任意一個(gè)向量，總存在實(shí)數(shù)，，，使得D.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底〖答案〗AD〖解析〗，，是空間的三個(gè)單位向量，由，，則，故A正確；，，兩兩共面，但是，，不一定共面，，，可能兩兩垂直，故B錯(cuò)誤；由空間向量基本定理，可知只有當(dāng)，，不共面，才能作為基底，才能得到，故C錯(cuò)誤；若是空間的一組基底，則，，不共面，可知也不共面，所以也是空間的一組基底，故D正確．故選：AD.11.在正方體中，分別為線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.直線與平面所成角的正弦值為定值C.平面∥平面 D.點(diǎn)到平面的距離為定值〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)正方體的棱長為1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，，即，所以，設(shè)，，即，所以，對于A，因?yàn)?，所以，所以，，因，平面，所以平面，所以A正確，對于B，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則不是定值，所以B錯(cuò)誤，對于C，由選項(xiàng)A可知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，所以平面∥平面，所以C正確，對于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為，為定值，所以D正確，故選：ACD.12.如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形上的動點(diǎn)，則（）A.滿足平面的點(diǎn)的軌跡長度為B.滿足的點(diǎn)的軌跡長度為C.存在唯一的點(diǎn)滿足D.存在點(diǎn)滿足〖答案〗AC〖解析〗對于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，，，對于B，，即，又，，則點(diǎn)的軌跡為線段，,且，故B錯(cuò)誤；對于C，顯然，只有時(shí)，，即，故存在唯一的點(diǎn)滿足，故C正確；對于D，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，故，故不存在點(diǎn)滿足，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.試寫出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：__________，使之與點(diǎn)，三點(diǎn)共線．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗根據(jù)題意可得，設(shè)，則設(shè)，即故，不妨令，則，故．故〖答案〗為：.14.已知?是空間相互垂直的單位向量，且，，則的最小值是___________.〖答案〗3〖解析〗因?yàn)榛ハ啻怪?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為9，則的最小值為3.故〖答案〗為：315.已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面圖形中，，．現(xiàn)將矩形CDEF沿CD進(jìn)行如圖所示的翻折，滿足面ABCD垂直于面CDEF．設(shè)，，若面DBN，則實(shí)數(shù)的值為______．〖答案〗3〖解析〗易得，又面面CDEF，面ABCD面CDEF，又面，則面CDEF，又面CDEF，則，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，又，同理可，設(shè)面DBN的法向量為，則，令，則，又，又面DBN，則，解得.故〖答案〗為：3.16.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵中，，M是的中點(diǎn)，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點(diǎn)H，則___________，___________.〖答案〗①6②-42〖解析〗如圖，延長MG，交的延長線于K，連接KN，顯然平面，平面，因此，平面MNG與AB的交點(diǎn)H，即為KN與AB交點(diǎn)，在塹堵中，，則，即，又，則，而，于是得，所以，因，，所以.故〖答案〗為：6；-42.四、解答題：本題共6小題，70分，其中第17題10分，其余均12分.17.如圖所示，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，，，，分別為，，的中點(diǎn)，以，，方向上的單位向量為基底，求．解：令，，方向上的單位向量分別為，，，則是單位正交基底．因?yàn)?，所以，所以的長度為．18.如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的重心．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．解：如圖，分別連接PE，PF，PG，PH并延長交AB，BC，CD，AD于點(diǎn)M，N，Q，R，連接EG，MQ，EF，EH．由于E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R分別為所在邊的中點(diǎn)，即，，且；所以順次連接M，N，Q，R所得的四邊形為平行四邊形，且有，，，．由于四邊形MNQR為平行四邊形，可得由于三個(gè)向量有公共點(diǎn)E，根據(jù)空間向量的共面定理可得向量共面；所以四點(diǎn)共面19.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分別是PC、AD中點(diǎn)．（1）求直線DE和PF夾角的余弦值；（2）求點(diǎn)E到平面PBF的距離．解：（1）因PD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，則PD、DA、DC三線兩兩互相垂直，如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，則直線DE的方向向量，直線PF的方向向量，，所以直線DE和PF夾角的余弦值為.（2）由（1）知，，，，設(shè)平面PBF的法向量，則，令，得，所以點(diǎn)E到平面PBF的距離為.20.如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)恰好是菱形對角線交點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)棱中點(diǎn)，若，，．（1）求證：平面⊥平面；（2）點(diǎn)在線段上，且，求二面角的平面角的正弦值．解：（1）由題，平面，所以，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，，所以，在中，，，∴，因此，是中點(diǎn)，可得：，同理：，∵，∴平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以，，分別為，，軸建系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，所以，設(shè)二面角的平面角為，∴．21.如圖，直三棱柱中，是邊長為的正三角形，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）是正三角形，為的中點(diǎn)，．又是直三棱柱，平面ABC，．又，平面．（2）連接，由（1）知平面，∴直線與平面所成的角為，．是邊長為2的正三角形，則，．在直角中，，，．建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，，．，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得平面的法向量為．，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得平面的法向量為．設(shè)平面與平面夾角為，則．平面與平面夾角的余弦值為．22.長方形中，，M是中點(diǎn)（圖1），將沿折起，使得（圖