2023-2024學(xué)年山東省聊城市高二上冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省聊城市高二上冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．－2 C． D．42．在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形3．已知向量，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個(gè)圓臺(tái)形狀的建筑物，下底面周長(zhǎng)為三丈，上底面周長(zhǎng)為二丈，高為一丈”，則該圓臺(tái)的側(cè)面積（單位：平方丈）為（

）A． B． C． D．5．已知，是兩條不重合直線，，是兩個(gè)不重合平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則6．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為，，則（

）A．2 B． C． D．5二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則下列說法正確的是（

）A．若，則或B．若，，則C．若，則D．若，則10．已知空間向量，則下列說法正確的是（

）A．B．向量與向量共線C．向量關(guān)于軸對(duì)稱的向量為D．向量關(guān)于平面對(duì)稱的向量為11．已知圓錐的底面半徑為，高為2，為頂點(diǎn)，，為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．圓錐的體積為B．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為C．圓錐截面面積的最大值為D．若圓錐的頂點(diǎn)和底面上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為12．已知，，，，且的圖象的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的最小距離為，則下列說法正確的是（

）A．B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．把圖象向左平移單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱D．保持圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后把圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．甲乙兩人從1,2,3，…，10中各任取一數(shù)（不重復(fù)），已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，則甲數(shù)大于乙數(shù)的概率為．14．在正方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，則異面直線與所成角的余弦值為．15．已知，則．16．某醫(yī)院急救中心隨機(jī)抽取20位病人等待急診的時(shí)間記錄如下表：等待時(shí)間/分頻數(shù)48521用上述分組資料計(jì)算出病人等待時(shí)間方差的估計(jì)值.四、解答題：本題共4小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．某飲料公司對(duì)一名員工進(jìn)行測(cè)試以便確定其考評(píng)級(jí)別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對(duì)，則評(píng)為優(yōu)秀；若3杯選對(duì)2杯，則評(píng)為良好；否則評(píng)為及格．假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別能力．（1）求此人被評(píng)為優(yōu)秀的概率；（2）求此人被評(píng)為良好及以上的概率．18．如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝.(1)求△ACD的面積；(2)若BC＝，求AB的長(zhǎng)．19．如圖所示，已知是半徑為，中心角為的扇形，為弧上一動(dòng)點(diǎn)，四邊形是矩形，．(1)求矩形的面積的最大值及取得最大值時(shí)的值；(2)在中，，，其面積，求的周長(zhǎng)．20．如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求點(diǎn)到的距離；(3)求二面角的大?。?．A【分析】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部是，虛部是，直接由實(shí)部等于0，虛部不等于0求解的值．【詳解】解：由是純虛數(shù)，得，解得．故選：A.2．B【分析】把截面補(bǔ)形可得利用四點(diǎn)共面可得．【詳解】解：如圖，把截面補(bǔ)形為四邊形，連接，，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，則，又在正方體中，所以，則四點(diǎn)共面.則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.故選：B.3．D【分析】根據(jù)向量夾角為銳角列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】，由題意得：且，解得：且，故選：D4．B【分析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，由已知周長(zhǎng)求得和，代入圓臺(tái)的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，可得，可得，又由圓臺(tái)的高為1丈，可得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，所以圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：B.5．C【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即得.【詳解】若，，則或，故A錯(cuò)誤；若，，則或或與相交，故B錯(cuò)誤；若，，則或，又，故，故C正確；若，，則，又，則或，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．D【分析】根據(jù)邊角互化得，再結(jié)合，化簡(jiǎn)整理得，進(jìn)而得或，即的形狀一定是等腰或直角三角形.【詳解】解：因?yàn)?，所以由正弦定理邊角互化得，因?yàn)?，，所以，整理得所以，所以或，因?yàn)?，所以或，即的形狀一定是等腰或直角三角形故選：D7．B【分析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為．故選：B．8．B【分析】由，可得復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)榉匠蹋裕?，不妨令，則，故選：B.9．CD【分析】A可以舉出反例；B選項(xiàng)，經(jīng)過復(fù)數(shù)的向量表示下的運(yùn)算得到；C選項(xiàng)，設(shè)，，得到，從而得到；D選項(xiàng)，同樣設(shè)出，，通過復(fù)數(shù)的向量表示形式下的計(jì)算得到，得到.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，故A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；設(shè)，，若，則，化簡(jiǎn)得：，故，所以，C正確；設(shè)，，則，，若，則，所以，則，D正確.故選：CD10．ABC【分析】根據(jù)空間向量模的公式，結(jié)合共線向量、線對(duì)稱、面對(duì)稱的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)椋员具x項(xiàng)說法正確；B：因?yàn)椋韵蛄颗c向量共線，因此本選項(xiàng)說法正確；C：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于軸對(duì)稱的向量為，因此本選項(xiàng)說法正確；D：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于平面對(duì)稱的向量為，故選：ABC11．BD【分析】根據(jù)題意，求出圓錐的母線長(zhǎng)，體積，側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，軸截面面積，外接球體積，即可得出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)閳A錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的母線長(zhǎng)，則：對(duì)于A，圓錐的體積，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)圓錐截面為圓錐的軸截面時(shí)，此時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，截面的面積最大，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐的頂點(diǎn)和底面上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，即圓錐的外接球，設(shè)圓錐外接球半徑為，由球的性質(zhì)可知：，即，解得，所以外接球的體積．故D正確．故選：BD.12．ABD【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、降冪公式及輔助角公式可得，根據(jù)已知有求得，即，應(yīng)用代入法驗(yàn)證對(duì)稱軸、根據(jù)圖象平移寫出平移后的解析式并判斷對(duì)稱性，即可得答案.【詳解】由，而對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的最小距離為，即，可得，所以，可得，A正確；故，則，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；，顯然不關(guān)于軸對(duì)稱，C錯(cuò)誤；橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再左移個(gè)單位則，D正確.故選：ABD13．【詳解】當(dāng)甲取到的數(shù)是5時(shí),乙可以從1,2,3,4中取到1個(gè);當(dāng)甲取到的數(shù)是10時(shí),乙可以從1,2,3,…,9中取到1個(gè),故(甲數(shù)大于乙數(shù)).14．.【分析】根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，則有，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，所以，故答案為.15．【分析】由已知條件及誘導(dǎo)公式可得，再應(yīng)用二倍角余弦公式求目標(biāo)式的值.【詳解】，由.故16．28.5##【分析】根據(jù)平均數(shù)和方程的公式計(jì)算即可.【詳解】，.故28.5.17．（1）（2）【詳解】試題分析：（1）古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確找出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算；（2)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有的基本事件一一列舉出來，要做到不重不漏，有時(shí)可借助列表，樹狀圖列舉，當(dāng)基本事件總數(shù)較多時(shí)，注意區(qū)分排列與組合；（3）注意判斷是古典概型還是幾何概型，基本事件前者是有限的，后者是無限的，兩者都是等可能性.試題解析：將5杯飲料編號(hào)為：1,2,3,4,5，編號(hào)1,2,3表示A飲料，編號(hào)4，5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345），共有10種，令D表示此人被評(píng)為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評(píng)為良好的事件，F(xiàn)表示此人被評(píng)為良好及以上的事件，則（1）.（2）考點(diǎn)：利用古典概型求隨機(jī)事件的概率.18．(1)；（2）4.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)二倍角公式求cosD，再根據(jù)平方關(guān)系求sinD，最后根據(jù)三角形面積公式求求△ACD的面積；（2）根據(jù)余弦定理求AC，再根據(jù)余弦定理求AB試題解析：(1)因?yàn)椤螪＝2∠B，cosB＝，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－.因?yàn)镈∈(0，π)，所以sinD＝＝.因?yàn)锳D＝1，CD＝3，所以△ACD的面積S＝AD·CD·sinD＝×1×3×＝.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2.因?yàn)锽C＝2，＝，所以＝＝＝＝，所以AB＝4.19．(1)當(dāng)時(shí)，；(2).【分析】（1）將利用加以表示，并利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值；（2）由題可得，然后利用余弦定理及三角形面積公式可得，進(jìn)而即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，又，所以，所以，，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，.（2）∵，∴，又，∴，，即，又，∴，，∴，即，∴，∴，即的周長(zhǎng)為.20．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）由已知位置關(guān)系推出，