2023-2024學(xué)年吉林省長春高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省長春高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共8頁.考試結(jié)束后，將答題卡交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．3．函數(shù)的圖象在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程為（

）A． B． C． D．4．若隨機(jī)變量，且，則(X=4)的值是（

）A． B． C． D．5．在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和是16，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)（

）A．15 B．54 C．12 D．-546．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．7．某校組織一次認(rèn)識(shí)大自然的活動(dòng)，有5名同學(xué)參加，其中有3名男生?2名女生，現(xiàn)要從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去采集自然標(biāo)本，抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共有（

）A．10種 B．12種 C．6種 D．9種8．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．已知函數(shù)，則（

）A．B．的最小正周期為C．把向左平移可以得到函數(shù)D．在上單調(diào)遞增10．已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，且，那么下列結(jié)論中正確的是A．可能有三個(gè)零點(diǎn) B．C． D．11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A．B．C．在上單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱12．函數(shù)，，下列說法中，正確的是（

）A．B．在單調(diào)遞增C．D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）.13．已知冪函數(shù)在單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù).14．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解為，則=，=.15．若，=.16．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則.四、解答題（本題共6小題，滿分70分，要求寫出必要的解題過程）.17．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求的極值.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；(2)若，求函數(shù)的值域．19．近年來，國家鼓勵(lì)德智體美勞全面發(fā)展，舞蹈課是學(xué)生們熱愛的課程之一，某高中隨機(jī)調(diào)研了本校2023年參加高考的90位考生是否喜歡跳舞的情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，跳舞與性別情況如下表：（單位：人）喜歡跳舞不喜歡跳舞女性2535男性525(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡跳舞與性別是否有關(guān)聯(lián)？(2)用樣本估計(jì)總體，用本次調(diào)研中樣本的頻率代替概率，從2023年本市考生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)被抽取的3人中喜歡跳舞的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87920．設(shè)常數(shù)，函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)若，求方程在區(qū)間上的解.21．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求角A；(2)若的面積為1，求的最小值.22．已知函數(shù)，其中．(1)若，證明：；(2)設(shè)函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．1．A【分析】應(yīng)用集合的交運(yùn)算求集合即可.【詳解】由題設(shè).故選：A2．B【分析】求出的導(dǎo)函數(shù)，再代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B3．C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程.【詳解】由題知，，則，則圖象在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程為故選：C4．A【分析】先由二項(xiàng)分布的期望公式求出的值，再由二項(xiàng)分布求概率.【詳解】隨機(jī)變量，則，解得則故選：A5．B【分析】利用賦值法，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)的和是16，所以，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)，故選：B6．B【分析】依題意可得，結(jié)合基本不等式可求的最小值，然后由恒成立可知，解不等式可求的范圍，從而得解．【詳解】解：，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，若恒成立．，，解不等式可得，，故實(shí)數(shù)的最小值為，故選：．7．D【分析】根據(jù)組合的概念分類討論計(jì)算即可.【詳解】抽到1男2女的方法有種，抽到2男1女的方法有種，合計(jì)共9種方法.故選：D8．A【分析】由題意可知，對(duì)任意的恒成立，可得出對(duì)任意的恒成立，利用基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知，對(duì)任意的恒成立，所以，對(duì)任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：A.9．AD【分析】運(yùn)用正切函數(shù)的最小正周期公式、單調(diào)性，結(jié)合特殊角的正切函數(shù)值、正切函數(shù)圖象的變換性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確；B：由正切型函數(shù)的最小正周期公式可得，所以本選項(xiàng)不正確；C：把向左平移可以得到函數(shù)，所以本選項(xiàng)不正確；D：當(dāng)時(shí)，，顯然是的子集，因此本選項(xiàng)正確，故選：AD10．AC由題知在上單調(diào)遞增，利用偶函數(shù)性質(zhì)結(jié)合圖像可解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，又，所以.又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，且.所以函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).但是的值沒有確定，所以函數(shù)可能有三個(gè)零點(diǎn)，所以A項(xiàng)正確；又，所以的符號(hào)不確定，所以B項(xiàng)不正確；C項(xiàng)顯然正確；由于的值沒有確定，所以與的大小關(guān)系不確定，所以D項(xiàng)不正確.故選：AC.本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性.函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．比較大小的解法：利用函數(shù)奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，利用其單調(diào)性比較大小.11．ABD【分析】由圖可知，求得，可判斷A；由結(jié)合求得，可判斷B；利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解可判斷C；求出的解析式，進(jìn)而求出對(duì)稱軸，可判斷D.【詳解】由圖可知，則，故A正確.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，則B正確.令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減.由，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則C錯(cuò)誤.因?yàn)椋?令，，得，.當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：ABD.12．ABD【分析】對(duì)A，由函數(shù)值正負(fù)判斷；對(duì)B，C，求出的導(dǎo)數(shù)，可判斷；對(duì)D，構(gòu)造函數(shù)，可證明，可判斷.【詳解】，，，，，故A正確；又，在上單調(diào)遞增，故B正確，C錯(cuò)誤；令，，，在上單調(diào)遞減，即，，又，，即，故D正確.故選：ABD.13．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)列式求解即可.【詳解】由題意可得：，解得.故答案為.14．【分析】根據(jù)題意得到方程的兩個(gè)根為1和，將代入方程，求得，再結(jié)合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解.【詳解】由關(guān)于的不等式的解為，可得對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為1和，將代入方程可得，解得，所以原不等式可化為，即，解得，所以.故；.15．【分析】賦值法求系數(shù)和及，進(jìn)而求目標(biāo)式的值.【詳解】令，則，令，則，所以.故16．1【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷周期性，帶入解析式計(jì)算求函數(shù)值即可.【詳解】由題意可得，故的一個(gè)正周期為4，即，故117．(1)答案見解析(2)極大值為，極小值為．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意得，，由，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；所以的單調(diào)遞增區(qū)間：，，單調(diào)遞減區(qū)間；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取到極大值為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取到極小值為．18．(1)；增區(qū)間，(2)【分析】（1）利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)得，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性求解即可；（2）由得，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值可求函數(shù)的值域.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的最小正周期；令，，得，，故增區(qū)間為，.（2）由，得，所以故，所以值域?yàn)?19．(1)認(rèn)為喜歡跳舞與性別有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析，1【分析】（1）計(jì)算出的值，對(duì)照卡方表完成檢驗(yàn)；（2）分別計(jì)算出樣本中喜歡跳舞和不喜歡跳舞的概率，根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）零假設(shè)：：喜歡跳舞與性別無關(guān)聯(lián)，由題意，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷不成立，即認(rèn)為喜歡跳舞與性別有關(guān)聯(lián).（2）由題知，考生喜歡跳舞的概率，不喜歡跳舞的概率為X的可能取值為0，1，2，3，，，所以X的分布列如下：0123由，數(shù)學(xué)期望.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義待定系數(shù)法計(jì)算即可；（2）利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】（1）∵，∴，又∵為偶函數(shù)，∴，即，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，故，解之得，，∵，∴.21．(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)恒等式利用正弦定理將邊化為正弦，再逆用和角公式合并化簡(jiǎn)，即可求得角A.（2）先根據(jù)面積公式求出，再代入余弦定理公式，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】（1）由已知，，由正弦定理，所以，即，又，所以，解得.（2）由題，得，又（時(shí)取“=”）所以，即的最小值是，時(shí)取等號(hào).22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性即可得最值，從而證得結(jié)論；（2）求導(dǎo)，分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性從而驗(yàn)證極值，即可得a的取值范圍．【詳解】（1）證明：若，則，且，則，令，得．在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；故．（2），．當(dāng)時(shí)，易得，所以由（1）可得，若，則，所以在上單調(diào)遞增，這與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾．若，令，則，又令，則對(duì)恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，，因?yàn)椋?，因此存在唯一，使得，所以，在上，，單調(diào)遞減．又，所以在上，，故單調(diào)遞增；在上，，故單調(diào)遞減．所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿足題意．綜上，a的取值范圍為．方法點(diǎn)睛：函數(shù)由極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：（1