2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高三上冊期初檢測數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高三上冊期初檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則等于（

）A． B． C． D．2．已知全集，集合，或，則（

）A． B．C． D．3．在空間直角坐標(biāo)系中，已知異面直線，的方向向量分別為，，則，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則6．設(shè)，已知的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．7．已知在直角三角形中，，以斜邊的中點(diǎn)為圓心，為直徑，在點(diǎn)的另一側(cè)作半圓弧，為半圓弧上的動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．將一個半徑為的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知一組樣本數(shù)據(jù)、、、均為正數(shù)，且，若由生成一組新的數(shù)據(jù)、、、，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的（

）可能相等A．極差 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差10．若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，其中，則（

）A．不等式對恒成立B．若關(guān)于的方程有且只有兩個實(shí)根，則的取值范圍為C．方程共有4個實(shí)根D．若關(guān)于的不等式恰有1個正整數(shù)解，則的取值范圍為12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)，都為偶函數(shù)，令，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為．14．某高中學(xué)校在新學(xué)期增設(shè)了“傳統(tǒng)文化”?“數(shù)學(xué)文化”?“綜合實(shí)踐”?“科學(xué)技術(shù)”和“勞動技術(shù)”5門校本課程.小明和小華兩位同學(xué)商量每人選報(bào)2門校本課程.若兩人所選的課程至多有一門相同，且小明必須選報(bào)“數(shù)學(xué)文化”課程，則兩位同學(xué)不同的選課方案有種.（用數(shù)字作答）15．設(shè)隨機(jī)變量，記，．在研究的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．16．在平面直角坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)且同時(shí)與曲線，曲線都相切的直線有兩條，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)（且）．(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知在中，，，，．(1)求的取值范圍；(2)若線段BE上一點(diǎn)D滿足，求的最小值．19．四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，平面平面．

(1)證明：；(2)若，且三棱錐的體積為，點(diǎn)滿足，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．20．已知函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，若不等式對恒成立，求的取值范圍．21．某校為了增強(qiáng)學(xué)生的安全意識，組織學(xué)生參加安全知識答題競賽，每位參賽學(xué)生可答題若干次，答題賦分方法如下：第一次答題，答對得2分，答錯得1分；從第二次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得1分．學(xué)生甲參加這次答題競賽，每次答對的概率為，且每次答題結(jié)果互不影響．(1)求學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分的概率；(2)設(shè)學(xué)生甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為．（?。┣?，，；（ⅱ）直接寫出與滿足的等量關(guān)系式（不必證明）；（ⅲ）根據(jù)（ⅱ）的等量關(guān)系求表達(dá)式，并求滿足的的最小值．22．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，試證明存在零點(diǎn)（記為），存在極小值點(diǎn)（記為），并比較與的大小關(guān)系．1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模除法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：C2．B【分析】根據(jù)并集、補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】由或得，又，所以.故選：B.3．A【分析】根據(jù)向量的夾角公式結(jié)合已知條件直接求解即可【詳解】設(shè)異面直線，所成角為，因?yàn)楫惷嬷本€，的方向向量分別為，，所以，故選：A4．D【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及二次函數(shù)性質(zhì)可得對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，且在區(qū)間內(nèi)的最小值大于等于零，即可解得.【詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此可知對稱軸，且，解得.故選：D5．C【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對于A，若，，則或者或者相交，故A錯誤，對于B，若，，則或者或者相交，故B錯誤，對于C，若，，則，又，所以，故C正確，對于D，若，，，則或者或者相交，故D錯誤，故選：C6．C【分析】根據(jù)題意得到和，再根據(jù)項(xiàng)的取法為1個和1個再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式一共有項(xiàng)，即，令，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，所以，中項(xiàng)的取法為1個和1個，所以系數(shù)為.故選：C7．A【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出半圓弧所在的圓的方程，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式可求數(shù)量積的取值范圍.【詳解】

因?yàn)橹苯侨切螢榈妊苯侨切?，故可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中，，，而以為直徑的圓的方程為：，設(shè)，則,，故，因?yàn)镸在半圓上運(yùn)動變化，故，故的取值范圍為.故選：A.8．D【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，表示出圓錐的體積，換元后利用導(dǎo)數(shù)可求出體積的最大值，從而可求出圓錐的底面半徑和高，再求出母線長，作出圓錐的截面，然后利用三角形相似可求出圓錐內(nèi)切球的半徑.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，所以圓錐的體積為，令，得，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)圓錐的高為，母線長為，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，圓錐的軸截面圖如圖所示，則，因?yàn)?，所以，所?即，解得，故選：D

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查圓錐的內(nèi)切球問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出圓錐的體積，化簡后利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，從而可確定圓錐的大小，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于難題.9．BC【分析】利用極差的定義可判斷A選項(xiàng)；利用平均數(shù)公式可判斷B選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用方差公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，因?yàn)?，則，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，即，所以，樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，由可知，當(dāng)時(shí)，兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確；當(dāng)時(shí)，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，同理可知當(dāng)時(shí)，中位數(shù)相等，當(dāng)時(shí)，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為同理可知當(dāng)時(shí)，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，故C正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，，因?yàn)?，則，故，故兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不可能相等，故D錯誤.故選：BC.10．ACD【分析】由正實(shí)數(shù),滿足,再根據(jù)基本不等式判斷每個選項(xiàng)的正誤.【詳解】,,且,,,故A正確；,,故B錯誤；因?yàn)?故C正確；因?yàn)?故D正確.故選：ACD易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.11．ACD【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，求出其最小值，可判斷A選項(xiàng)；作出曲線與直線圖像，根據(jù)圖像可判斷B選項(xiàng)；令，且，有兩解分別為:，，或，數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；由直線過原點(diǎn)，再結(jié)合圖像分析即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)A，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時(shí)，恒有成立，的最小值是，即，對恒成立，故A正確；對于B選項(xiàng)，方程有且只有兩個實(shí)根，即曲線與直線有且只有兩個交點(diǎn)，由A選項(xiàng)分析，曲線與直線圖像如下，

由圖知，當(dāng)或時(shí)，曲線與直線有且只有兩個交點(diǎn)，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，由得：，解得，令，且，由圖像知，有兩解分別為:，，所以或，而，則有兩解，，也有兩解，綜上，方程共有4個根，C正確；對于D選項(xiàng)，直線過原點(diǎn)，且，，，記，，，易判斷，，不等式恰有1個正整數(shù)解，即曲線在上對應(yīng)的值恰有1個正整數(shù)，由圖像可得，，即，故D正確.故選：ACD.12．ABD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可求得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，即AB正確；又可知，所以，即C錯誤；經(jīng)計(jì)算可知，又，，即可得是等差數(shù)列，由前項(xiàng)和公式可得D正確.【詳解】根據(jù)題意為偶函數(shù)可得，即可知，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即A正確；由是偶函數(shù)可得為奇函數(shù)，所以滿足，即，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以B正確；由可知，所以；即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，因此，即C錯誤；易知，，由可得，聯(lián)立可得；所以；即，易知是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列；所以代入等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可知，即D正確；故選：ABD方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)性質(zhì)綜合問題時(shí)，往往借助函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性等性質(zhì)進(jìn)行推理證明，結(jié)合對稱軸、對稱中心等實(shí)現(xiàn)求和計(jì)算即可.13．【分析】本題即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求．【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的所有根，令，根據(jù)函數(shù)，方程的解是，則方程的根，即為方程的根，當(dāng)時(shí)，，由，，當(dāng)時(shí)，，由，，綜上，函數(shù)所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合是.故答案為.14．36【分析】分兩類：所選課程恰有一門相同和沒有相同，利用排列、組合分別求出每類的種數(shù)，再利用分類計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時(shí)：相同的課程為“數(shù)學(xué)文化”時(shí)，有種，相同的課程不是“數(shù)學(xué)文化”時(shí)，有種，所以小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時(shí)，共有種，當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程沒有相同時(shí)，有,所以，兩位同學(xué)不同的選課方案有，故3615．17【分析】直接根據(jù)服從二項(xiàng)分布，結(jié)合取整數(shù)部分可得后面80次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1的次數(shù)為13概率最大，從而得解.【詳解】繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1次數(shù)服從二項(xiàng)分布，由，結(jié)合題中結(jié)論可知，時(shí)概率最大，即后面80次中出現(xiàn)13次點(diǎn)數(shù)1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出現(xiàn)17次的概率最大.故17.16．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然這兩條曲線的公切線存在斜率，設(shè)為，因此切線方程為，設(shè)曲線的切點(diǎn)為，即，由，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為，則有，設(shè)的切點(diǎn)為，即，由，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為，則有，由題意可知：，于是有：，得，或，當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，則有，由可解，.故關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出公切線的方程.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解；（2）由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化不等式，再進(jìn)行分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，從而得參數(shù)范圍．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)每一個元素恒成立．即，則，即．又因?yàn)?，所以，故．?）因?yàn)?，所以．由，得到，又，故只需要，即對任意恒成立．因?yàn)?，所以，故對任意的恒成立．因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，所以，故．綜上所述，．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算及向量的求模的公式得到，然后利用二次函數(shù)求最值即可；（2）利用向量運(yùn)算及三點(diǎn)共線得，再利用基本不等式即可求解最小值.【詳解】（1）由題意可得，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，則取最小值3，當(dāng)時(shí)，則取最大值12，所以，因此的取值范圍為.（2）因?yàn)榍?，，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，故的最小值為．19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）證明，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）由題設(shè)，為等邊三角形，則，又四邊形為梯形，，則，在中，，，所以，即，則，所以，即，面面，面面，面，則面，又面，故．（2）若為中點(diǎn)，，則，面面，面面，面，則面，連接，則，且面，故，綜上，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，為，，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系．

所以，，，，由三棱錐的體積為，則，即，故．則，則，所以，，，，若是面的一個法向量，則，取，則，則．若是面的一個法向量，則，取，則，，則，所以，則銳二面角的余弦值為．20．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）可得，令，利用導(dǎo)數(shù)解不等式即可.【詳解】（1）由題意可知：的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為．因?yàn)椴坏仁綄愠闪?，所以．設(shè)，則的定義域?yàn)椋液愠闪?，可知：在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即，可得，即．綜上所述：的取值范圍是．21．(1)；(2)（?。?，，；（ⅱ），，；（ⅲ），最小值是6.【分析】（1）根據(jù)給定條件，分析甲前三次答題得分之和為4分的事件，再利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算作答.（2）（ⅰ）依次求出得分分別為的可能值及對應(yīng)的概率，再利用期望的定義求解即可；（ⅱ）分析（?。┑慕Y(jié)論，探求與的關(guān)系即可作答；（ⅲ）由（ⅱ）的遞推公式，求出，再解不等式作答.【詳解】（1）學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分的事件，即為學(xué)生甲前三次答題中僅只答對一次的事件，設(shè)“學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分”為事件，所以.（2）（?。W(xué)生甲第1次答題得2分、1分的概