2023-2024學(xué)年福建省福州市閩侯縣高三上冊10月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省福州市閩侯縣高三上冊10月月考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．?dāng)?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是與的等差中項(xiàng)，則的公比等于（

）A．2 B． C．3 D．4．已知向量，且夾角的余弦值為，則（

）A．0 B． C．0或 D．5．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件6．過圓：外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則（

）A．2 B． C． D．37．若，則（

）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，（為的導(dǎo)函數(shù)），若，則（

）A． B．C． D．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，下列敘述不正確的是（

）A．的最小正周期是 B．在上單調(diào)遞增C．圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱11．已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則12．在三棱錐中，，，則（

）A．B．三棱錐的體積為C．三棱錐外接球半徑為D．異面直線與所成角的余弦值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．如圖，在正四棱臺中，，且四棱錐的體積為48，則該四棱臺的體積為.14．已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離為．15．在中，，，是上的點(diǎn)，平分，若，則的面積為.16．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，亦稱“阿基米德體”．點(diǎn)A，B，M是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)N是該多面體表面上的動點(diǎn)，且總滿足，若，則該多面體的表面積為，點(diǎn)N軌跡的長度為．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17．在△中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且．（1）求角的大??；（2）點(diǎn)滿足，且線段，求的取值范圍．18．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，平面平面.(1)證明：；(2)若為正三角形，求二面角的正弦值.21．已知數(shù)列中，，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知橢圓的離心率是，上、下頂點(diǎn)分別為，.圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，且.(1)求的方程；(2)直線與圓相切且與相交于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓恒過定點(diǎn).1．B【分析】先求出集合，然后直接求即可.【詳解】集合，集合，，故選：B．2．D【分析】先求出，再求出，直接得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn).【詳解】，則∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限故選：D.3．A【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)的概念得到關(guān)于的方程，結(jié)合可求解出的值.【詳解】因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以或，又因?yàn)?，所以，所以，故選：A.4．A【分析】根據(jù)向量的夾角的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】由已知，所以，即，故，且，解得或（舍去），所以故選：A5．A【分析】根據(jù)分式不等式求解，再判斷充分性與必要性即可.【詳解】因?yàn)榍?，充分性成立，所以?”是“”的充分不必要條件.故選：A6．C【分析】本題首先可結(jié)合題意繪出圖像，然后根據(jù)圓的方程得出，再然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及勾股定理得出、，最后通過等面積法即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像：因?yàn)閳A：，直線、是圓的切線，所以，，，，因?yàn)?，所以，，根?jù)圓的對稱性易知，則，解得，，故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓的切點(diǎn)弦長的求法，主要考查圓的切線的相關(guān)性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間距離公式以及勾股定理的應(yīng)用，考查等面積法的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.7．B【分析】根據(jù)題意進(jìn)行三角恒等變換，把整理到一邊切化弦，通分利用二倍角公式，再把分式化為整式，逆用兩角和的余弦公式即可得到答案.【詳解】由于，因?yàn)?，且，整理得，故，整理得：，故．故選：B．8．D【分析】由已知確定函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，然后把自變量的值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上，可得大小關(guān)系．【詳解】因?yàn)?，則，可知直線為圖像的一條對稱軸，又因?yàn)闀r(shí)，，則在上單調(diào)遞減，可知在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，且，可得，所以，即．故選：D．9．ACD【分析】利用基本不等式及其變形求最值即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故A正確；B選項(xiàng)：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，故D正確.故選：ACD.10．ABC【分析】首先利用三角恒等變換將化為正弦型函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷各選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)果.【詳解】，，所以A不對；令，，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以B不對；時(shí)，不取最大值或最小值，所以C不對；因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以D正確.故選：ABC.11．ACD【分析】A.設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得到判斷；B.由，得到為遞增數(shù)列判斷；C.由判斷；D.由，求得首項(xiàng)和公差判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，所以，則，故A正確；因?yàn)椋?，所以為遞增數(shù)列，但不一定成立，如，故B不正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；因?yàn)榻獾?，則，得，故D正確.故選：ACD12．ABD【分析】將三棱錐補(bǔ)形為長方體，利用異面直線的夾角的定義判斷A，D，再確定三棱錐的外接球的球心及半徑，判斷C，利用體積公式求三棱錐的體積判斷B.【詳解】將三棱錐補(bǔ)形為長方體如下：其中，，所以，，連接，因?yàn)椋?，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又四邊形為正方形，所以，所以，A對；長方體的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，所以三棱錐的體積，B對，為長方體的外接球的直徑，，所以長方體的外接球的半徑為，長方體的外接球也是三棱錐外接球，所以三棱錐外接球的半徑為；C錯(cuò)；連接，交于，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），由已知，，,所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，D對，故選：ABD.13．399【分析】方法一：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)的體積可得，再代入棱臺的體積公式求解即可；方法二：延長交于一點(diǎn)，設(shè)為，根據(jù)臺體體積為錐體體積之差求解即可.【詳解】方法一：由題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由四邊形面積為，得四棱錐的體積為，得.所以棱臺體積為.方法二：由題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由四邊形面積為，得四棱錐的體積為，得.由棱臺定義知，延長交于一點(diǎn)，設(shè)為，設(shè)棱錐的高為，則棱錐的高為，由三角形相似可得，得，于是棱臺體積3）.故39914．【分析】利用向量的模公式及向量的夾角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及銳角三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】，,，，設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為，則.故答案為.15．【分析】由正弦定理可得、，即有，而，可得，結(jié)合余弦定理求，再應(yīng)用三角形面積公式求的面積即可.【詳解】∴由正弦定理，，，即，，而，∴，∵，即，，∴，即，又由余弦定理知：，∴，即，令，∴，即（舍去），∴.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用正余弦定理，列方程求，根據(jù)三角形面積公式求面積.16．【分析】正四面體的表面積，減去截去的小正四面體的側(cè)面積加上小正四面體的底面面積，可得多面體的表面積，利用動點(diǎn)的特征，判斷軌跡形狀，求出軌跡的長度.【詳解】根據(jù)題意該正四面體的棱長為，點(diǎn)分別是正四面體棱的三等分點(diǎn)．該正四面體的表面積為，該多面體是正四面體截去頂角所在的小正四面體，每個(gè)角上小正四面體的側(cè)面面積為，每個(gè)角上小正四面體的底面面積為，所以該多面體的表面積為：．如圖設(shè)點(diǎn)為該多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，為所在棱的頂點(diǎn)，則，在中，，則，所以，得，即；同理，，由，平面，所以平面．由點(diǎn)是該多面體表面上的動點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)的軌跡是線段，所以點(diǎn)軌跡的長度為：．故；17．（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件及正弦定理可得，利用余弦定理的推論求得，故；（2）由得，在中,由余弦定理可得到，變形得，運(yùn)用基本不等式可得，由此可求得，又，從而可得所求范圍為．試題解析：（1）由及正弦定得，∴，整理得，∴，又∴（2）∵,∴，在中,由余弦定理知，即，∴，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，∴，解得，∴

，∴,故的范圍是．點(diǎn)睛：（1）在解三角形中，運(yùn)用正弦、余弦定理可進(jìn)行邊角之間的互化，可達(dá)到解三角形的目的；（2）除兩個(gè)定理之外，還應(yīng)注意三角形的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，如“三角形的兩邊之和大于第三邊”，“等邊（角）對等角（邊）”，“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”等性質(zhì)的應(yīng)用．18．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)得到的值，進(jìn)而寫出的通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，再利用錯(cuò)位相減法求即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，顯然，由，相除可得，解得，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即；（2）由（1）得：，所以①，②，②①得：，所以.19．(1)(2)【分析】（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可得；（2）設(shè)切點(diǎn)寫出切線方程，將過點(diǎn)可作曲線的三條切線轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)解，求導(dǎo)得極大值與極小值異號即可.【詳解】（1）（1），所以切點(diǎn)為，所以切線方程為，即（2）（2）設(shè)切點(diǎn)為，切線方程可寫為，又切線過，所以有，整理得，由題意可知關(guān)于的方程要有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，記，今，可得或，結(jié)合圖象可知極大值與極小值異號即時(shí)，方程有三個(gè)解，解得．20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，可得，利用平面平面，可得平面，則；（2）方法一（向量法）：取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，過點(diǎn)分別作和的平行線，分別為軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的法向量和平面的法向量，進(jìn)而利用數(shù)量積求解即可.方法二（幾何法）：如圖，取的中點(diǎn)，連接，在平面中作，連接，證明，又，則為二面角的平面角，解三角形即可.【詳解】（1）證明：由題意，設(shè)，又，得，又，所以，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：方法一（向量法）：取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，過點(diǎn)分別作和的平行線，分別為軸和軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由為正三角形，，得，則，則，設(shè)為平面的法向量，則有，即，可取，設(shè)為平面的法向量，同理所以，設(shè)二面角的平面角為，則，故二面角的正弦值為.方法二（幾何法）：如圖，取的中點(diǎn)，連接，在平面中作，連接，由（1）知，又為正三角形，所以，所以，所以，又，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，在中，，所以，所以，在中，，所以，在中，，所以，即二面角的正弦值?21．(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，結(jié)合已知條件，由待定系數(shù)法求出，進(jìn)而可得是等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和求出，分離可得對于任意正整數(shù)恒成立，令，利用的單調(diào)性求出的最大值，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，即，因?yàn)?，所以，可得，所以，所以是以為首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2），若對于恒成立，即，可得即對于任意正整數(shù)恒成立，所以，令，則，所以，可