專題3.1 平面直角坐標(biāo)系【九大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題3.1平面直角坐標(biāo)系【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1用有序數(shù)對表示位置或路線】 1【題型2平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征】 3【題型3由點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離確定點(diǎn)的坐標(biāo)】 4【題型4由點(diǎn)的位置確定坐標(biāo)系中字母的取值】 4【題型5坐標(biāo)系內(nèi)求圖形的面積】 4【題型6圖形在坐標(biāo)系中的平移】 6【題型7坐標(biāo)系中的平移變換】 7【題型8利用平面直角坐標(biāo)系解決探究性問題】 8【題型9建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系解決實(shí)際問題】 9【知識點(diǎn)1有序數(shù)對】有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對叫做有序數(shù)對.點(diǎn)的坐標(biāo):有了平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的點(diǎn)就可以用一個(gè)有序數(shù)對來表示，a點(diǎn)對應(yīng)x軸的數(shù)值為橫坐標(biāo)，b點(diǎn)對應(yīng)y軸的數(shù)值為縱坐標(biāo)，有序數(shù)對就叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作（a,b）.【題型1用有序數(shù)對表示位置或路線】【例1】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期中）一個(gè)小伙伴拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜單詞的游戲，若聽到“咚咚一咚咚，咚一咚，咚咚咚一咚”表示的是“DOG”，則聽到“咚咚一咚，咚咚咚一咚咚，咚一咚咚咚”時(shí)，表示的是___________．【變式1-1】（2023春·福建福州·八年級福州三牧中學(xué)?？奸_學(xué)考試）小李、小王、小張、小謝原有位置如圖（橫為排、豎為列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小張?jiān)诘?排第2列，小謝在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有確定位置的方法確定新的位置，下列說法正確的是（

）．A．小李現(xiàn)在位置為第1排第2列 B．小張現(xiàn)在位置為第3排第2列C．小王現(xiàn)在位置為第2排第2列 D．小謝現(xiàn)在位置為第4排第2列【變式1-2】（2023春·重慶渝中·八年級統(tǒng)考期末）從2，3，5三個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)組成有序數(shù)對，一共可以組成有序數(shù)對有（

）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對【變式1-3】（2023春·浙江杭州·八年級開學(xué)考試）如圖，一只甲蟲在5×5的方格（每小格邊長為1）上沿著網(wǎng)格線運(yùn)動(dòng)，它從A處出發(fā)去看望B、C、D處的其它甲蟲，規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負(fù)．例如從A到B記為：A→B(+1，+4)，從D到C記為：D→C(-1，+2)，其中第一個(gè)數(shù)表示左右方向，第二個(gè)數(shù)表示上下方向．（1）圖中A→C（______，______），B→C（______，______），D→______（-4，-2）；（2）若這只甲蟲從A處去P處的行走路線依次為（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），請?jiān)趫D中標(biāo)出P的位置；【知識點(diǎn)2坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征】1.坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征:①坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）；②第一象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y同號，均為正；③第二象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y異號，x為負(fù)，y為正；④第三象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y同號，均為負(fù)；⑤第四象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y異號，x為正，y為負(fù)；⑥橫軸（x軸）上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為0，即（x，0），所以，橫軸也可寫作：y=0（表示一條直線）⑦縱軸（y軸）上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為0，即（0，y）,所以，縱橫也可寫作：x=0（表示一條直線）2.平行于坐標(biāo)軸的直線的表示:在平面直角坐標(biāo)系中，與x軸平行的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，與y軸平行的直線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.3.象限角平分線的特點(diǎn):①第一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)相等（同號）②第二、四象限的角平分線的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)(異號)【題型2平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征】【例2】（2023春·廣東珠海·八年級珠海市紫荊中學(xué)桃園校區(qū)?？计谥校┤鐖D，若在象棋盤上建立平面直角坐標(biāo)系，使“兵”位于點(diǎn)(1，-1)，則“炮

A．(0，0) B．(0，-1) C．【變式2-1】（2023春·廣東珠海·八年級珠海市紫荊中學(xué)桃園校區(qū)?？计谥校c(diǎn)P(1，-4)，則點(diǎn)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2-2】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，下列各點(diǎn)在x軸上的是（

）A．1，2 B．3，0 C．【變式2-3】（2023春·天津?yàn)I海新·八年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)A-1,m2A．一 B．二 C．三 D．四【知識點(diǎn)3點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離】坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值表示這點(diǎn)到縱軸（y軸）的距離，而縱坐標(biāo)的絕對值表示這點(diǎn)到橫軸（x軸）的距離.注:①已知點(diǎn)的坐標(biāo)求距離，只有一個(gè)結(jié)果，但已知距離求坐標(biāo)，則因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)有正有負(fù)，可能有多個(gè)解的情況，應(yīng)注意不要丟解.【題型3由點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離確定點(diǎn)的坐標(biāo)】【例3】（2023春·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，A是第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，如果它到x軸、y軸的距離分別是3和4，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）A．3,-4 B．-3,4 C．4,-3 D．-4,3【變式3-1】（2023春·北京朝陽·八年級校考期中）直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)Pa,b到x軸的距離為______，到y(tǒng)軸的距離為______【變式3-2】（2023春·天津西青·八年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi)有一點(diǎn)M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離恰為到x軸距離的2倍，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

）A．(8,-4) B．-4,8 C．(2,4) D．-4,2【變式3-3】（2023春·黑龍江鶴崗·八年級?？计谥校┮阎c(diǎn)P坐標(biāo)為2+a,3a-6且點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A．6,6 B．3,-3 C．-6,-6或-3,-3 D．6,6或3,-3【知識點(diǎn)4坐標(biāo)平面內(nèi)對稱點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)】①一個(gè)點(diǎn)A（a,b）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A＇（a,-b）,特點(diǎn)為：x不變，y相反；②一個(gè)點(diǎn)A（a,b）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A＇（-a,b）,特點(diǎn)為：y不變，x相反；③一個(gè)點(diǎn)A（a,b）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A＇（-a,-b），特點(diǎn)為：x、y均相反.【題型4由點(diǎn)的位置確定坐標(biāo)系中字母的取值】【例4】（2023春·上海寶山·八年級統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,a-2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為5,a+3，AB∥y軸，則線段AB的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．13【變式4-1】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）若點(diǎn)Ma+3，a-2在x軸上，則【變式4-2】（2023春·八年級校考期中）若A（x，4）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是B（﹣3，y），則x=____，y=____．點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是____．【變式4-3】（2023春·廣東肇慶·八年級校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M2-m,1+2m(1)若點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是3，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M在第一、三象限的角平分線上，求M點(diǎn)的坐標(biāo).【題型5坐標(biāo)系內(nèi)求圖形的面積】【例5】（2023春·遼寧丹東·八年級?？计谥校┤鐖D所示，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A-3,0，B5,0，C3,4（1）求四邊形ABCD的面積（2）點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，且△ABP的面積等于四邊形ABCD的面積的一半，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式5-1】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-1,1)，B(3,2)，C(3,4)．（1）請?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中描出A，B，C三點(diǎn)，再連接AB，BC，AC，并求△ABC的面積；（2）連接OA，OB，請直接寫出△ABO面積的值．【變式5-2】（2023春·河北承德·八年級統(tǒng)考期中）已知A(a,0)和點(diǎn)B(0,5)兩點(diǎn)，則直線AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于10，則a的值是（

）A．-4 B．4 C．±4 D．±5【變式5-3】（2023春·青海西寧·八年級?？计谥校┮阎c(diǎn)A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．（1）在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn)A，B，C的位置；（2）求線段AB的長；（3）求點(diǎn)C到x軸的距離，點(diǎn)C到AB的距離；（4）求三角形ABC的面積；（5）若點(diǎn)P在y軸上，且三角形ABP的面積與三角形ABC的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【知識點(diǎn)5點(diǎn)的平移】在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（x,y）向右平移a個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x＋a，y）；將點(diǎn)（x,y）向左平移a個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x－a，y）；“左減右加”將點(diǎn)（x,y）向上平移b個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x，y＋b）；將點(diǎn)（x,y）向下平移b個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x，y－b）.“下減上加”【題型6圖形在坐標(biāo)系中的平移】【例6】（2023春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在單位正方形網(wǎng)格中，建立了平面直角坐標(biāo)系xOy，試解答下列問題：

(1)若將△ABC向右平移6個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后得到△A1B(2)求△ABC的面積；(3)已知第一象限內(nèi)有兩點(diǎn)P3，?n+2，Q6，?n．平移線段【變式6-1】（2023春·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，△ABC經(jīng)過平移，其頂點(diǎn)A2,-1的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)是-2,3，那么其內(nèi)部任意一點(diǎn)Dx,y的對應(yīng)點(diǎn)DA．-x,-y B．-x,y+4 C．x-4,y+4 D．x+4,y-4【變式6-2】（2023春·廣東汕尾·八年級?？计谥校┌哑矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的一點(diǎn)P(3，m)向上平移2個(gè)單位長度后，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P'剛好落在x軸上，則m的值為(A．-2 B．0 C．1 D．2【變式6-3】（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)Aa-5,2b-1在y軸上，點(diǎn)B3a+2,b+3在x軸上，則點(diǎn)Ca,b向右平移2個(gè)單位長度再向下平移3【題型7坐標(biāo)系中的平移變換】【例7】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第70中?？计谀┰谌鐖D所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）ABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為-4,5，-1,3．

(1)請作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C(2)在y軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC最小，在圖中標(biāo)出點(diǎn)P．【變式7-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Aa,1與點(diǎn)B-2,b關(guān)于x軸對稱，則a+b的值為（A．-3 B．-1 C．1 D．3【變式7-2】（2023·寧夏銀川·八年級賀蘭縣第一中學(xué)?？计谀┮阎?，點(diǎn)A0(1)在坐標(biāo)系中畫出△ABC；(2)求△ABC的面積；(3)畫出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B(4)畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A'B【變式7-3】（2023春·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點(diǎn)A的坐標(biāo)是3,2則經(jīng)過第2022次變換后所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)是

【題型8利用平面直角坐標(biāo)系解決探究性問題】【例8】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谀┤鐖D，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到1,1，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2,0，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3,2，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過第2023次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A．2023,0 B．2023,1 C．2023,2 D．2024,0【變式8-1】（2023春·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整點(diǎn)，按圖中→方向排列，即0,0→0,1→1,1→2,2→2,3→3,3→4,4，……，則按此規(guī)律排列下去第23個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．(13,13) B．(14,14) C．(15,15) D．(14,15)【變式8-2】（2023春·山東泰安·八年級肥城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，長方形ABCD的兩邊BC，CD分別在x軸，y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A-1,2，將長方形ABCD沿x軸無滑動(dòng)向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)記為A1；經(jīng)過兩次翻滾，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)記為A2；…；經(jīng)過第2023次翻滾，點(diǎn)A【變式8-3】（2023春·山西·八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，某點(diǎn)按向下、向右、向上、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長度，其運(yùn)動(dòng)路線如圖所示，根據(jù)圖形規(guī)律，解決下列問題．(1)點(diǎn)A5的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)A9的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)A13的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)A(2)直接寫出點(diǎn)A1到點(diǎn)A2025的距離：【題型9建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系解決實(shí)際問題】【例9】（2023春·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）我們出門旅游經(jīng)常利用平面圖確定位置，如圖是某地火車站及周圍場所的簡單平面圖，（圖中每個(gè)小正方形的邊長代表1千米）．(1)請以圖中某一場所所在的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以小正方形的邊長為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，并直接寫出體育場A、超市B、市場C、文化宮D的坐標(biāo)；(2)在（1）中所建的坐標(biāo)平面內(nèi)，相關(guān)部門計(jì)劃興建一所學(xué)校，請你選擇某一格點(diǎn)為學(xué)校E的位置，請?jiān)趫D中標(biāo)出學(xué)校E的位置并寫出E的坐標(biāo)，簡要說明你的選址理由.【變式9-1】（2023春·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）直升機(jī)除了可以正常飛行，還可以懸停在空中進(jìn)行作業(yè)，這也是直升機(jī)區(qū)別于一般固定翼飛機(jī)的一種特有飛行狀態(tài)．如圖，訓(xùn)練中的三架直升機(jī)按要求懸停在同一高度，若甲、乙的位置分別表示為1,0，-1,-2，則丙直升機(jī)的位置表示為______．【變式9-2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）景德鎮(zhèn)市第十六中學(xué)為全面保障校慶五十周年的整體效果，在操場中標(biāo)記了幾個(gè)關(guān)鍵位置，如圖是利用平面直角坐標(biāo)系畫出的關(guān)鍵位置分布圖，若表示點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,-2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1)，則表示其他位置的點(diǎn)的坐標(biāo)正確的是（

）A．C(-1,-2) B．D(-3,1) C．E(-7,-3