12.3 角的平分線的性質(zhì)（原卷版）

12.3角的平分線的性質(zhì)1.理解和掌握角平分線的作圖方法；2.理解和掌握角平分線的性質(zhì)定理，并能夠運(yùn)用性質(zhì)定理解決問題；3.理解和掌握角平分線的判定定理，能夠利用判定定理證明角平分線。一、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。2.書寫格式如圖所示：∵點P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE?！纠斫夂屯卣埂竣偈褂媒堑钠椒志€的性質(zhì)有兩個條件：a.點在角的平分線上；b.過這一點作角的兩邊的垂線段。結(jié)論：這點到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等。②角的平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個三角形全等。③如果已知一個點在角的平分線上，常作出該點到角兩邊的垂線段，運(yùn)用性質(zhì)得到兩條線段相等。題型一角平分線的性質(zhì)定理如圖，在中，，，AD平分交BC于D，于E．求證：；1．如圖，在中，，平分，，如果，，求的長度及的度數(shù)．2．已知：如圖所示，點O在的平分線上，，垂足分別為D，E，的延長線分別交的延長線于點B，C，求證：．如圖，在中，若，平分，于點E，點F在上，且．(1)求證：．(2)請你判斷，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．1．如圖，，點E是的中點，平分．(1)求證：是的平分線；(2)已知，，求四邊形的面積．2．如圖，在四邊形中，，，平分，于點．求證：(1)；(2)．二、角平分線的判定1.角的平分線的判定內(nèi)容：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。2.書寫格式如圖所示：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線上。3.應(yīng)用運(yùn)用角的平分線的判定，可以證明兩個角相等和一條射線是角的平分線?！纠斫夂屯卣埂吭谶\(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定時，往往錯誤地將任一線段當(dāng)作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線的性質(zhì)和判定成立的條件，因此在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定時，一定要注意“距離”必須有垂直的條件。4.角的平分線的性質(zhì)和判定的關(guān)系對于角的平分線的性質(zhì)和判定，要正確理解和明確其條件和結(jié)論。“性質(zhì)“和“判定“恰好是條件和結(jié)論的互換，在應(yīng)用時不要混淆。性質(zhì)是證明兩條線段相等的依據(jù)；而判定是證明兩角相等的依據(jù)。5.有角平分線或中點時常用的輔助線(1)在角的兩邊截相等的線段，構(gòu)造全等三角形。(2)過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線段。(3)如有和角平分線垂直的線段時，常把它延長與角的兩邊相交，構(gòu)成等腰三角形。(4)有中線或有以線段的中點為端點的線段時，常加倍延長，構(gòu)造全等三角形。題型三角平分線的判定定理如圖，交延長線于，于，，．(1)求證：平分；(2)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．1．如圖，，，垂足分別為，，，相交于，連接．(1)若，求證：；(2)若，求證：．2．如圖，已知于，于，，相交于點，若．求證：(1)；(2)平分．如圖，在和中，，（），，直線，交于點，連接．(1)求證：；(2)用表示的大?。?3)求證：平分．1．如圖，和都是等腰直角三角形，．(1)求證：；(2)試判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．如圖，在中，點在邊的延長線上，，的平分線與外角的平分線交于點，過點作，垂足為．(1)求的度數(shù)．(2)若，，，且，求的面積．題型四角平分線的作圖尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．(1)作中的平分線．(2)在（1）的條件下，若，，求的度數(shù)．1．如圖，已知在中，．(1)分別作，的平分線，它們交于點（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求的度數(shù)．2．如圖，在中，，D為延長線上一點，E為的中點．(1)利用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；①作的平分線；②連接并延長交于點F．(2)猜想與位置和數(shù)量的關(guān)系，并說明理由．一、單選題1．如圖，是的角平分線，，垂足為，若，則的長為（

）．A． B． C． D．2．點P在的平分線上，點P到邊的距離等于3，點D是邊上的任意一點，則關(guān)于長度的選項正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖，在和中，，，，，連接，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分．其中正確的個數(shù)為（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．如圖，點P是內(nèi)部的一點，點P到三邊的距離，，則的度數(shù)為（

）A．65° B．80° C．100° D．70°5．如圖，平分，點是射線，上的點，連接．按以下步驟作圖：①以點為圓心，任意長為半徑作弧，交于點，交于點；②分別以點和點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點；③作射線，交于點．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點為點P．其中一把直尺邊緣恰好和射線重合，而另一把直尺的下邊緣與射線重合，上邊緣與射線于點M，連接．若，則的大小為（

）A．48° B．52° C．56° D．64°7．如圖，已知平分，平分交于E，若，請用含的式子表示，下列表示正確的是（

）A． B． C． D．8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列結(jié)論：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正確的個數(shù)為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個二、填空題9．如圖，平分，點在上，．于D，，點E是射線上的動點，則的最小值為______．10．如圖，在中，，，，有下列結(jié)論：①；②；③連接DE，則．其中正確的結(jié)論有______．11．如圖，是的角平分線，，垂足為，，和的面積分別為和，則的面積為______．12．如圖，在中，，平分交于于點D．（1）若，，則點D到的距離是_______．（2）若，點D到的距離為6，則的長為________．三、解答題13．如圖，在中，為的平分線，于點，且，，，求的面積．14．如圖，，，，，交于點，連接.求證：(1)；(2)平分.15．如圖，在中，平分，，于點E，點F在上，．(1)求證：．(2)若，，求的長．16．如圖，，分別是的高，且．(1)求證：；(2)若與相交于點P，則點P在的角平分線上嗎？為什么？17．如圖，在中，，是延長線上一點，點是的中點．(1)實踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母保留作圖痕跡，不寫作法．作的平分線；連接，并延長交于點；過點作的垂線，垂足為．(2)猜想與證明：猜想與有怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并說明理由．18．如圖（1），點C、點D在直線上，點A、點B在直線上，且，連接、、、．(1)請在圖（1）中，找出三對面積相等的三角形：；(2)利用（1）中的結(jié)論解決下面兩個問題：①將圖（1）中的、進(jìn)行以下操作：第一步，分別復(fù)制、，粘貼，如圖（2）所示的、．第二步，先將圖（2）中的、的頂點C、D重合，再將繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖（3）所示位置．若直線與相交于點E，連接．求證：平分．②如圖（4），折線型小路P﹣M﹣Q，將四邊形苗圃分成甲、乙兩塊，為了方便管理，要將折線型小路P﹣M﹣Q改為經(jīng)過點P的直線型小路，使得甲、乙的面積前后不發(fā)生改變．請你在圖（4）中畫出直線型小路（不需要尺規(guī)作圖，但要規(guī)范，并簡單說明作圖的關(guān)鍵步驟）．19．我們定義：三角形一個內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．(1)如圖1，是中的遙望角．①直接寫出與的數(shù)量關(guān)系___________；②連接AE，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，四邊形ABCD中，，點E在BD的延長線上，連CE，若已知，求證：是中的遙望角．20．已知：，小新在學(xué)習(xí)了角平分錢的知識后，做了一個夾角為120°（即）的角尺來作的角平分線．(