dirac方程特征值的漸近估計(jì)

dirac方程特征值的漸近估計(jì)

1邊界條件s-l算子的跡值在sturm-liouvile算子的軌跡研究中，有大量文獻(xiàn)，但大多是在局部方程的局部邊界條件中獲得的。1981年李夢(mèng)如教授在文獻(xiàn)中得到下述帶有非局部邊界條件的S-L算子的跡公式:{-y″+q(x)y=λyy(0)=∫π0y(x)μ(x)dx,y(π)=0{-y″+q(x)y=λyy(0)=∫π0y(x)μ0(x)dx,y(π)=∫π0y(x)μπ(x)dx本篇論文主要研究下述問(wèn)題漸近跡的公式:(Ι){Bdydx+Ρ(x)y=λyy2(x)=0,y2(π)=∫π0y2(x)μ(x)dx其中:y=(y1y2),B=(01-10),Ρ(x)={-p(x)00-r(x)),p(x),r(x),μ(x)均為[0,π]上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)。2計(jì)算整函數(shù)我們先來(lái)考慮(I)的Cauchy問(wèn)題(II):{Bdydx+Ρ(x)y=λyy1(0)=1,y2(0)=0引理1:由文獻(xiàn)知:問(wèn)題(II)的解φ(x,λ)對(duì)λ的漸近式為:φ1(x)=cos(η(x))+1λΚ1(x,λ)+1λ2Κ2(x,λ)+o(e|τ|xλ3)φ2(x)=sin(η(x))+1λΤ1(x,λ)+1λ2Τ2(x,λ)+o(e|τ|xλ3)其中:η(x)=12∫x0A(s)ds+λx;B(s)=-[p(s)-r(s)];Κ1(x,λ)=14cos(η(x))B(0)-14cos(η(x))B(x)+18sin(η(x))∫x0B2(s)ds;Κ2(x,λ)=14sin(η(x))B′(x)-18sin(η(x))B′(0)+18cos(η(x))A(x)B(x)-18cos(η(x))A(0)B(0)+116cos(η(x))B2(0)-116cos(η(x))B(0)B(x)+116cos(η(x))∫x0B′(s)B(s)ds-116sin(η(x))∫x0A(s)B2(s)ds+132sin(η(x))?B(0)∫x0B2(s)ds-132sin(η(x))B(x)-1128[∫x0B2(s)ds]2cos(η(x));Τ1(x,λ)=14sin(η(x))B(0)+14sin(η(x))B(x)-18cos(η(x))∫x0B2(s)ds;Τ2(x,λ)=18cos(η(x))B′(x)-18cos(η(x))B′(0)-18sin(η(x))A(x)B(x)-18sin(η(x))A(0)B(0)+116sin(η(x))B2(0)+116sin(η(x))B(0)B(x)+116sin(η(x))∫x0B′(s)B(s)ds+116cos(η(x))∫x0A(s)B2(s)ds-132cos(η(x))?B(0)∫x0B2(s)ds-132cos(η(x))B(x)-1128[∫x0B2(s)ds]2sin(η(x)).命題1:設(shè)ω(λ)=φ2(π,λ)-∫0πφ2(x)μ(x)dx,則問(wèn)題(I)的特征值集合與ω(λ)的零點(diǎn)集合重合。證明:由于問(wèn)題(II)的解φ(x,λ)滿(mǎn)足(I)的第一個(gè)邊界條件,將φ(x,λ)代入(I)的第二個(gè)邊界條件可得:φ2(π,λ)-∫0πφ2(x)μ(x)dx=ω(λ)=0,所以φ(x,λ)是(I)的解,λ是(I)的特征值。由此可知ω(λ)零點(diǎn)集合與(I)的特征值集合重合。下面計(jì)算整函數(shù)ω(λ)的漸近式。由引理1知:φ2(π,λ)=sin(η(π))+1πΤ1(π,λ)+1λ2Τ2(π,λ)+o(e|τ|πλ3)=sin(η(π))+14λsin(η(π))(B(0)+B(π))-18λcos(η(π))∫π0B2(s)ds+o(e|τ|πλ2)∫π0φ2(x)μ(x)dx=∫π0[sin(η(x))+1λΤ1(x,y)+1λ2Τ2(x,λ)+o(e|τ|xλ3)]μ(x)dx=∫π0sin(η(x))μ(x)dx+∫π01λΤ1(x,λ)dx+∫π01λ2Τ2(x,λ)μ(x)dx+o(e|τ|xλ3)=Ι1+Ι2+Ι3+o(e|τ|xλ3).用分部積分可得:Ι1=∫π0sin(η(x))μ(x)dx=μ0λ+12A(0)-μ(π)cos(η(π))λ+12A(π)+μ′(π)sin(η(x))(λ+12A(π))2+o(e|τ|xλ3);Ι2=∫π01λΤ1(x,λ)μ(x)dx=μ0B(0)2λ(λ+12A(0))-μ(π)B(0)cos(η(π))4λ(λ+12A(π))+μ′(π)B(π)sin(η(x))4λ(λ+12A(π))+o(e|τ|xλ3)-∫x0B2(s)dsμ(π)sin(η(π))8λ(λ+12A(π));Ι3=∫π01λ2Τ2(x,λ)μ(x)dx=o(e|τ|xλ3).所以∫π0φ2(x)μ(x)dx=Ι1+Ι2+Ι3+o(e|τ|xλ3)=μ(0)λ+12A(0)-μ(π)cos(η(π))λ+12A(π)+o(e|τ|xλ3)因而ω(λ)=φ(π,λ)-∫π0φ2(x)μ(x)dx=sin(η(π))+14πsin(η(π))(B(0)+B(π))-18λcos(η(π))∫π0B2(s)ds-μ(0)λ+12A(0)-μ(π)cos(η(π))λ+12A(π)+o(e|τ|xλ2)為簡(jiǎn)化計(jì)算,令12∫π0A(s)ds=m0π,且|m0|≤N,則η(π)=(λ+m0)π,取ω0(λ)=sin(λ+m0)π.3相同個(gè)數(shù)的點(diǎn)以下根據(jù)m0的不同取值來(lái)討論問(wèn)題(I)的跡公式:(1)若m0≠0,且m0不是整數(shù)ω0(λ)的零點(diǎn)為:λn=n-m0,n=0,±1,±2,…因此ω(λ)ω0(λ)=1+B(0)+B(π)4λ-cot(λ+m0)π8λ∫π0B2(s)ds-μ(0)cos(λ+m0)πλ+12A(0)+μ(π)cot(λ+m0)πλ+12A(π)+o(e|τ|πλ2ω0(λ))引理2:記λ=σ+iτ,取回路Cn:σ1=τ1=-Ν+m0-12,σ2=τ2=Ν-m0+12(Ν=0,1,2??)?在CΝ上?以下三式均有界∶1ω0(λ),cos(λ+m0)πω0(λ),e|τ|πω0(λ).命題2:當(dāng)N充分大時(shí),ω(λ)與ω0(λ)在CN內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)。證明:由引理2知:ω(λ)ω0(λ)=1+B(0)+B(π)4λ-cot(λ+m0)π8λ∫0πB2(s)ds-μ(0)csc(λ+m0)πλ+12A(0)+μ(π)cot(λ+m0)πλ+12A(π)+o(1Ν2).當(dāng)N充分大時(shí),在Cn上有|ω(λ)ω0(λ)-1|<1,因?yàn)棣?λ),ω0(λ)是λ的整函數(shù),ω0(λ)在CN上無(wú)零點(diǎn),由Rouche定理知,ω(λ)和ω0(λ)在CN內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)。定理1:對(duì)于問(wèn)題(I),設(shè)p(x),r(x)∈C(2)[0,π],μ(x)∈C(3)[0,π],則有如下跡公式:∑-∞∞[λn-(n-m0)+∫0πB2(s)ds8(n+m0)π+(-1)nμ(0)(n+m0-12A(0))π-μ(π)(n+m0-12A(π))π]=-B(0)+B(π)4+18cotm0π∫0πB2(s)ds+μ(0)scs(m0-12A(0))π-μ(π)cot(m0-12A(π))π.證明:由命題2,當(dāng)N充分大時(shí),lnω(λ)ω0(λ)沿CN為單值解析函數(shù),對(duì)下面的恒等式沿CN作回路積分:λ[ω′(λ)ω(λ)-ω′0(λ)ω0(λ)]=-lnω(λ)ω0(λ)+ddλ[λlnω(λ)ω0(λ)]右邊第二項(xiàng)的積分因單值性消失,則∑-ΝΝ[λn-(n-m0)]=-12πi∮CΝlnω(λ)ω0(λ)dλ又lnω(λ)ω0(λ)=ln[+B(0)+B(π)4λ-cot(λ+m0)π8λ∫0πB2(s)ds-μ(0)csc(λ+m0)πλ+12A(0)+μ(π)cot(λ+m0)πλ+12A(π)+o(e|τ|πλ2)]=B(0)+B(π)4λ-cot(λ+m0)π8λ∫0πB2(s)ds-μ(0)csc(λ+m0)πλ+12A(0)+μ(π)cot(λ+m0)πλ+12A(π)+o(e|τ|πλ2)以下計(jì)算留數(shù)∶假定|12A(0)|<Ν|12A(π)|<Ν1.12πi∮CΝB(0)+B(π)4λdλ=B(0)+B(π)42.cot(λ+m0)π的最簡(jiǎn)分式展開(kāi)式如下∶cot(λ+m0)π=1(λ+m0)π+∑k=1∞[1(λ+m0)π-kπ+1(λ+m0)π+kπ]=∑-∞∞1(λ+m0+k)π所以∫0πB2(s)ds?12πi∮CΝcot(λ+m0)π8λdλ=∫0πB2(s)ds(∑-∞∞18(m0+k)π+∑k=-ΝΝ18(m0+k)π)3.csc(λ+m0)π的最簡(jiǎn)分式展開(kāi)式如下∶csc(λ+m0)π=1(λ+m0)π+∞k=1(-1)k2(λ+m0)π(λ+m0)2π2-k2π2=∑-∞∞(-1)k(λ+m0+k)π所以12πi∮CΝμ(0)csc(λ+m0)πλ+12A(0)dλ=∑-∞∞(-1)kμ(0)(-12A(0)+m0+k)π-∑-ΝΝ(-1)kμ(0)(12A(0)+m0+k)π4.12πi∮CΝμ(π)csc(λ+m0)πλ+12A(π)dλ=∑-∞∞μ(π)(-12A(π)+m0+k)π-∑-ΝΝμ(π)(-12A(π)+m0+k)π)所以問(wèn)題(I)的跡公式為∑-∞∞[λn-(n-m0)+∫0πB2(s)ds8(n+m0)π+(-1)nμ(0)(n+m0-12A(0))π-μ(π)(n+m0-12A(π))π]=-B(0)+B(π)4+18cotm0π∫0πB2(s)ds+μ(0)csc(m0-12A(0))π-μ(π)cot(m0-12A(π))π同理可得以下幾種情況的跡公式:(2)若m0=0,問(wèn)題(I)的跡公式為∑-ΝΝ[λn-k]=-B(0)+B(π)4+0+μ(0)csc(-12A(0)π)-∑-ΝΝ(-1)kμ(0)(k-12A(0))π)-μ(π)cot(-12A(π)π)+∑-ΝΝμ(π)(k+12A(π)π)+o(1Ν)即∑-ΝΝ[λn-k+(-1)kμ(0)(k-12A(0))π-μ(π)(k+