hlmann空間上正跡類算子跡范數(shù)不等式的證明

hlmann空間上正跡類算子跡范數(shù)不等式的證明

1跡類算子的確定矩陣軌跡計(jì)算廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，如數(shù)值計(jì)算、近似論和統(tǒng)計(jì)估計(jì)。由于它的普及，研究算子的路徑無疑是非常重要的。在文獻(xiàn)中給出了如下結(jié)果:定理1設(shè)A和B同階半正定陣,則對任何壓縮矩陣U、V(與A、B同階),有tr(A-B)≤tr|A-UBV|≤tr(A+B)(1)定理2設(shè)分塊矩陣A=(LXX*Μ)A=(LX?XM)是半正定的,這里L(fēng)∈Mm,M∈Mn,X∈Mm,m(Mm,n表示m×n復(fù)矩陣的空間,Mn≡Mn,n),則L、M是半正定的,且(1)對所有p>0和所有的k=1,2,…,min{m,n}有k∏i=1σpi(X)≤k∏i=1σp/2i(L)σp/2i(Μ)∏i=1kσpi(X)≤∏i=1kσp/2i(L)σp/2i(M)(2)(2)對所有p>0和每個酉不變范數(shù)‖·‖有‖|X|p‖2≤‖Lp‖·‖Mp‖(3)矩陣作為有限維Hilbert空間上的算子,定理1和定理2是指(1)～(3)式對有限維Hilbert空間中的算子是成立的。本文目的是證明無窮維Hilbert空間中的跡算子,(1)、(2)式成立,而對于跡范數(shù)(3)式也成立,由此還得到其它相關(guān)的不等式。下面先給出一些記號:B(H)表明可分無窮維Hilbert空間H上的有界線性算子全體,‖·‖表示算子范數(shù),對于B(H)中緊算子A,設(shè){sj(A)}為A的奇異值(即|A|=(A*A)1/2的特征值)的不增序列,若∑∞j=1(A)<∞,則稱A為跡類算子,‖A‖1=∑∞j=1sj(A)稱為A的跡范數(shù),并以tr(A)表示A的跡。若設(shè){ej}為H的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基,則有tr(A)=∑∞j=1(Aej,ej),它與基的選擇無關(guān),且知|tr(A)|≤tr(|A|)=‖A‖1,稱自伴算子A是正算子(記為A≥0)。如果對任意的x∈H,有(Ax,x)≥0,顯然,當(dāng)A為正的跡類算子時,A的奇異值就是A的特征值,且tr(A)=‖A‖1。由文獻(xiàn)可知,跡類算子A可表示為A=∑∞j=1λjφj?φ*j這里φj?φ*j表示一秩算子,其中φj是A的相應(yīng)于(包括重?cái)?shù)的)特征值λj的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量,且有tr(A)=∑∞j=1λj,關(guān)于跡類算子的其它性質(zhì),參見文獻(xiàn)。2,vmn中,有定理3設(shè)A和B為B(H)中跡類算子,且A≥0,B≥0,則對任意的壓縮算子U、V有tr(A-B)≤tr|A-UBV|≤tr(A+B)(4)證明首先證明對任意的正跡類算子A和任意的壓縮算子U、V有Retr(A-UAV)≥0(5)由跡類算子性質(zhì)可知UAV為跡類算子。因此Retr(A-UAV)=tr(A)-Retr(UAV)≥tr(A)-|tr(UAV)|=tr(A)-|tr(AVU)|≥tr(A)-tr(|A|)?∥V∥?∥U∥≥tr(A)-tr(A)=0Retr(A?UAV)=tr(A)?Retr(UAV)≥tr(A)?|tr(UAV)|=tr(A)?|tr(AVU)|≥tr(A)?tr(|A|)?∥V∥?∥U∥≥tr(A)?tr(A)=0同理Retr(A+UAV)≥0(6)下面證明(4)式。設(shè)(A-UBV)的極分解為(A-UBV)=Q|A-UBV|,即|A-UBV|=Q*(A-UBV),其中Q為部分等距算子,故‖Q‖≤1。利用(5)、(6)兩式得證畢。推論1在定理3的條件下,有∑∞j=1λj(A-B)≤∑∞j=1sj(A-UBV)≤∑∞j=1λj(A+B)其中λj(X)表示X的特征值。定義在Mm,n上的一個矩陣范數(shù)‖·‖稱之為酉不變的,是指對所有的A∈Mm,n和酉矩陣U∈Mm,V∈Mn有‖UAV‖=‖A‖。由文獻(xiàn)可知,定義于Mn上的Hilbert-Schmidt范數(shù)是酉不變的,作為它的推廣,對于無窮維Hilbert空間中的Hilbert-Schmidt算子也有此性質(zhì),即對于每一個Hilbert-Schmidt算子A以及任意酉算子U,V,‖UAV‖2=‖A‖2總成立。故先證明關(guān)于跡范數(shù)定理,作為一個推論,然后說明相應(yīng)的不等式對于范數(shù)‖·‖2也成立。定理4設(shè)A=(LXX*Μ)A=(LX?XM)是H?H上的正算子矩陣,其中Lp∈B(H),Mp∈B(H)為跡算子,p>0,則有(1)對所有的k=1,2,…有k∏j=1spj(X)≤k∏j=1sp/2j(L)sp/2j(Μ)∏j=1kspj(X)≤∏j=1ksp/2j(L)sp/2j(M)(7)(2)對所有的X=L1/2CM1/2(其中C為壓縮算子),其‖|X|p‖2121≤‖Lp‖1‖Mp‖1(8)成立。證明由文獻(xiàn)可知,A≥0的充要條件為L≥0,M≥0且存在壓縮算子C,使X=L1/2CM1/2,顯然X及L1/2、M1/2均為緊算子。由文獻(xiàn)及‖C‖≤1得k∏j=1sj(X)≤k∏j=1sj(L1/2)sj(CΜ1/2)≤k∏j=1s1/2j(L)s1/2j(Μ)k=1,2,?∏j=1ksj(X)≤∏j=1ksj(L1/2)sj(CM1/2)≤∏j=1ks1/2j(L)s1/2j(M)k=1,2,?因此,對p>0有k∏j=1spj(X)≤k∏j=1sp/2j(L)sp/2j(Μ)k=1,2,?∏j=1kspj(X)≤∏j=1ksp/2j(L)sp/2j(M)k=1,2,?由文獻(xiàn),從而∑kj=1kj=1spjpj(X)≤∑kj=1kj=1sp/2jp/2j(L)sp/2jp/2j(M)k=1,2,…故得∑∞j=1spjpj(X)≤∑∞j=1sp/2jp/2j(L)sp/2jp/2j(M)由Cauchy-Schwarz不等式得∑∞j=1spj(X)≤∑∞j=1sp/2j(L)sp/2j(Μ)≤(∑∞j=1spj(L))1/2(∑∞j=1spj(Μ))1/2∑∞j=1spj(X)≤∑∞j=1sp/2j(L)sp/2j(M)≤(∑∞j=1spj(L))1/2(∑∞j=1spj(M))1/2(9)注意到|X|為正的緊算子,應(yīng)有|X|=∑∞j=1sj(X)φj?φ*j從而|X|p=∑∞j=1spjpj(X)φj?φ*j故tr(|X|p)=∑∞j=1spjpj(X)同樣tr(Lp)=∑∞j=1spj(L),tr(Mp)=∑∞j=1spj(M)于是‖|X|p‖21≤‖Lp‖1‖Mp‖1推論2對B(H)中任意正跡類算子L、M及任意壓縮算子C,有‖L1/2CM1/2‖21≤‖L‖1‖M‖1推論3對B(H)中任意正的Hilbert-Schmidt算子L、M及任意壓縮算子C,記X=L1