關(guān)于有特征值的界的一個(gè)注記

關(guān)于有特征值的界的一個(gè)注記

1u3000結(jié)語(yǔ)假設(shè)acnn（n）2）（c為復(fù)方區(qū)域），12n0，并使用tra和dent來(lái)評(píng)估1、2和+k的邊界。特別是，可以獲得一個(gè)單一的特征值的定義。對(duì)于1和2的邊界，討論了界面。對(duì)于111n，可以找到中心界面。文獻(xiàn)中討論了最好的上限區(qū)1n1。在所有不等式中,等號(hào)都可以取到(參看),對(duì)于某些不等式,其等號(hào)成立的條件具有一般性:k=1,l=n,λ1=λ2=…=λn.但是大多數(shù)不等式具有下列性質(zhì):給定k,存在方陣A,使得不等式的等號(hào)成立.在中,作者利用k,l,n,trA,trA2,給出了λ1+λ2+…+λk的可能達(dá)到的最好下界,我們稱這個(gè)下界為Wolkowicz—Styan界(簡(jiǎn)稱WS界),在這個(gè)界中A的特征值為實(shí)數(shù)就足夠了,并沒(méi)有要求特征值為正的.定理1.1(中的定理2.1)設(shè)1≤k≤n,則當(dāng)k≤n/2時(shí),有λ1+λ2+?+λk≥k{trAn+√1n(n-1)(trA2-(trA)2n));λ1+λ2+?+λk≥k{trAn+1n(n?1)(trA2?(trA)2n)????????????????√);當(dāng)k≥n/2時(shí),λ1+λ2+?+λk≥ktrAn+(n-k)√1n(n-1)(trA2-(trA)2n).λ1+λ2+?+λk≥ktrAn+(n?k)1n(n?1)(trA2?(trA)2n)????????????????√.在本文中,我們對(duì)下面定理中的下界做了一些改進(jìn),得到了一個(gè)更好的新的下界,結(jié)果比較優(yōu)美,并且將得到的新界與原有的界作了比較.2單次給藥法中n1,2,tra2,5-2,5-2,5-2,5-2,2,4.2,4.2,4.2,4.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2在中,作者提出了λ1+λ2+…+λk,1≤k≤n的兩個(gè)上界,下面給予介紹.定理2.1()設(shè)1≤k≤n,則λ1+λ2+…+λk≤trA-(n-k)[(ktrA)k?detA]1/n-k.(1)A?(n?k)[(ktrA)k?detA]1/n?k.(1)證明這個(gè)結(jié)論來(lái)自下列不等式:p1x1+?+pnxnp1+?+pn≥(xp11+?+xpnn)1/(p1+?+pn),pi＞0,i=1,2,?,n.p1x1+?+pnxnp1+?+pn≥(xp11+?+xpnn)1/(p1+?+pn),pi＞0,i=1,2,?,n.定理2.2()設(shè)1≤k≤n,則λ1+λ2+?+λk≤k+1detA?(1+1k)k(trAn+1)n+1.(2)為了得到我們的新的下界,需要引入下列引理,其證明非常簡(jiǎn)單.引理2.3設(shè){di}是一實(shí)數(shù)列,i=1,2,…,n,令D=1nnΣi=1di,d=1ttΣi=1di?1≤t≤n,則有:1nnΣi=1d2i≥D2+tn-t(D-d)2,且等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)d1=…=dt,和dt+1=…=dn成立.證明e=1n-tnΣi=t+1di=nD-dtn-t,根據(jù)Chauchy-Schwary不等式有:nΣi=1d2i=tΣi=1d2i+nΣi=t+1d2i≥(tΣi=1di)2t+nΣi=t+1di)2n-t=td2+(n-t)e2=td2+(nD-td)2n-t=nD2+ntn-t(D-d)2不等式兩邊同除以n可到結(jié)果,并且當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí),上述不等號(hào)應(yīng)全為等號(hào),即可得結(jié)論.引理2.4()若q1,…,qn是正實(shí)數(shù),則對(duì)于任意實(shí)數(shù)p1,…,pn,有min1≤i≤n{(piqi}≤nΣi=1ΡinΣi=1qi≤max1≤i≤n{piqi}成立,且兩邊的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p1q1=?=pnqn成立.由此我們得出下列結(jié)果:定理2.5設(shè)1≤k≤n,則λ1+λ2+?+λk≤k{trAn+√n-knk(trA2-(trA)2n)}.(3)證明由于λ1+λ2+…+λn=trA,λ21+λ22+…+λ2n=trA2.令D=1nnΣi=1λi=trAn,d=1kkΣi=1λi,由引理2.3知,trA2A=nΣi=1λ21n≥D2+kn-k(D-d)2=(trAn)2+kn-k(trAn-kΣi=1λik)2.由λ1≥λ2≥…λn>0,又由上面引理2.4有trAn≤kΣi=1λik,從而得到結(jié)論.例:設(shè)A=diag(8,7,1,1,1),容易計(jì)算detA=56,trA=8+7+1+1+1=18,trA2=82+72+12+12+12=116.下面估計(jì)λ1+λ2的界:由(1)式知λ1+λ2≤trA-(5-2)[(2trA)2?detA]1/5-2=18-3[(2182?56]1/3≈15.35,由(2)式知λ1+λ2≤2+1detA?(1+12)2(trA5+1)5+1=2+156?(1+12)2(185+1)5+1≈87.87,由(3)式知λ1+λ2≤2{trA5+√5-210(trA2-(trA)25)}≈15.04,可以看出我們由定理2.5得出的界比(1)式和(2)式的界更精確.進(jìn)一步由定理2.5可以得出λk+λk+1+…+λl的界:推論2.6:λk+λk+1+?+λl≤(l-k+1){trAn+√n-lnl(trA2-(trA)2n)},1≤k≤l≤n.證明因?yàn)棣薻+λk+1+?+λl≤(