福建省百校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

保密★啟用前準(zhǔn)考證號(hào)__________ 姓名__________（在此卷上答題無(wú)效）2023~2024學(xué)年高中畢業(yè)班第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題2023.11一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．圖中的陰影部分表示的集合為（）．A． B．C． D．2．若，為復(fù)數(shù)，則“是純虛數(shù)”是“，互為共軛復(fù)數(shù)”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的部分圖象為（）．A． B．C． D．4．故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群．故宮宮殿房檐設(shè)計(jì)恰好使北房在冬至前后陽(yáng)光滿(mǎn)屋，夏至前后屋檐遮陰．已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽(yáng)高度角約為75°，冬至前后正午太陽(yáng)高度角約為30°，圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長(zhǎng)度（單位：米）約為（）．A．3 B．4 C． D．5．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，若，則正整數(shù)k為（）．A．13 B．12 C．11 D．106．如圖，AB是圓O的一條直徑，且．C，D是圓O上的任意兩點(diǎn)，．點(diǎn)P在線段CD上，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．7．已知直線，是函數(shù)圖像相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖像．若在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）．A． B． C． D．8．已知，，，則（）．A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）．A．的最小值為3 B．a(chǎn)b的最大值為1C．的最小值為2 D．的最小值為210．函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則（）．函數(shù)在上單調(diào)遞增圓的半徑為C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)在上單調(diào)遞減11．如圖，在長(zhǎng)方體，，E，F(xiàn)分別是棱AD，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，且，則三棱錐外接球表面積的取值可能是（）．A． B． C． D．12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則下列說(shuō)法正確的有（）．A． B．C．若，則 D．三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，且，則______．14．已知非零向量，滿(mǎn)足，，若，則向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．15．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為_(kāi)_____．16．法國(guó)的拿破侖提出過(guò)一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰好是一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．”在ABC中，，以AB，BC，AC為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，，則______；若的面積為，則三角形中的最大值為_(kāi)_____．四、解答題：共65分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，是否存在整數(shù)，都有恒成立，若存在求出實(shí)數(shù)m的最小值，若不存在說(shuō)明理由．19．設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和滿(mǎn)足，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20．如圖，在四棱錐中，PAD為等邊三角形，M為PA的中點(diǎn)，，平面平面ABCD．（1）證明：平面平面PAB；（2）若，，，直線PB與平面MCD所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．21．如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng)，游樂(lè)場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段FGBC，該曲線段是函數(shù)，的圖像，圖像的最高點(diǎn)為．邊界的中間部分為長(zhǎng)1千米的直線段CD，且，游樂(lè)場(chǎng)的后一部分邊界是以O(shè)為圓心的一段圓弧DE．（1）求曲線段FGBC的函數(shù)表達(dá)式；（2）曲線段FGBC上的入口G距海岸線EF最近距離為1千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口G修一條筆直的景觀路到O，求景觀路GO長(zhǎng)；（3）如圖，在扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)OMPQ，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧DE上，且，求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時(shí)的值．22．已知函數(shù)．（1）求在的單調(diào)區(qū)間與最值；（2）當(dāng)時(shí)，若，證明：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．2023年~2024學(xué)年高中畢業(yè)班第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)評(píng)分參考標(biāo)準(zhǔn)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678BDCCBDAA二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9101112ABDCDBCDBCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14． 15． 16．，4四、解答題：共65分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．解：（1），將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為，∴，，∴，．又，∴，∴．（2）∵，∴，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減．且，，．∵方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．18．解：（1）∵，，當(dāng)，，∴在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令，得，得，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．綜上，時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）∵，∴，∴，∴，令，∴，令，，∴在單調(diào)遞減．∵∵，∴，使得，即，，當(dāng)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，，單調(diào)遞減，∴，∵，，∴，∴m的最小值為3．19．（1）證明：∵，且，∴，∴，∴，令，可得，∴，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）可得，∴，∴，∴，∴．20．【解析】（1）取AD中點(diǎn)為N，連接PN，因?yàn)镻AD為等邊三角形，所以，且平面平面ABCD，平面平面，面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又因?yàn)椋?，PN，平面PAD，所以平面PAD，又因?yàn)槠矫鍼AD，所以，因?yàn)镸為AP中點(diǎn)，所以，且，PA，平面PAD，所以平面PAB，且平面CDM，所以平面平面PAB．（2）由（1）可知，且，，所以平面PAD，且平面PAD，所以，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD所在直線為x，y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可得，，，，，，即，，，設(shè)平面MCD的法向量為，則則可得，取，則，，所以平面MCD的一個(gè)法向量為，設(shè)直線PB與平面MCD所成角為，所以，解得，或，即（舍去）或1，所以，．21．解：（1）由已知條件，得，又∵，，∴．又∵當(dāng)時(shí)，有，∴，∴曲線段FBC的解析式為，．（2）由得，又，∴，，∴，，∴景觀路GO長(zhǎng)為千米．（3）如圖，，，∴，，作軸于點(diǎn)，在中，，在中，，∴，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，平行四邊形面積最大值為．22．解：（1）∵，解得或0或，∴與的分布列如下：x0＋－＋－↑極大值↓極小值1↑極大值↓所以，的增區(qū)間為：，，減區(qū)間為：，，的最大值為，最小值為．（2