廣東省七校聯(lián)合體2024屆高三上學(xué)期開學(xué)第一次聯(lián)考8月數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省七校聯(lián)合體2024屆高三上學(xué)期開學(xué)第一次聯(lián)考（8月）數(shù)學(xué)試題一．單選題1.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B的子集個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}，則A∩B的子集個數(shù)為22＝4．故選：D．2.若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則的模長等于（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，所以，則，.故選：D.3.已知向量，且，則等于（）A.5 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，解?所以，，.故選：A.4.函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則有，即，故選：B5.已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)焦點(diǎn)在橫軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，設(shè)，設(shè)，，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，有，要想該不等式恒成立，只需，而，故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由而，，所以.故選：C7.在等比數(shù)列中，公比為.已知，則是數(shù)列單調(diào)遞減的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要〖答案〗C〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故充分性成立，若數(shù)列單調(diào)遞減，則，即，故必要性成立，所以是數(shù)列單調(diào)遞減的充要條件.故選：C.8.已知函數(shù)（，）在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)正弦和角與差角公式化簡函數(shù)式可得，（，）.根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間可知，（）上單調(diào)遞增，化簡得，；∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，（）.∵在上單調(diào)遞減，可得，解得，（）又，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得.故選：D.二．多選題9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)和中位數(shù)相同B.數(shù)據(jù)6，5，4，3，3，3，2，2，1的眾數(shù)為3C.有甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為9，則樣本容量為30D.甲組數(shù)據(jù)的方差為4，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙組〖答案〗AB〖解析〗對于A，平均數(shù)為，中位數(shù)為，故A正確；對于B，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，故B正確；對于C，設(shè)樣本容量為x，由題知，解得，即樣本容量為18，故C錯誤；對于D，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，又，所以兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲組，故D錯誤.故選：AB10.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，則下列說法正確的是（）A.地震釋放的能量為焦耳時(shí)，地震里氏震級為七級B.八級地震釋放的能量為七級地震釋放的能量的6.3倍C.八級地震釋放的能量為六級地震釋放的能量的1000倍D.記地震里氏震級為，地震釋放的能量為，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，當(dāng)時(shí)，由題意得，解得，即地震里氏震級為七級．故A正確；對于B,八級地震即時(shí)，由，解得，所以．故B不正確；對于C，六級地震即時(shí)，由，解得，所以，即八級地震釋放的能量為六級地震釋放的能量的1000倍．故C正確；對于D，由題意得，則．故D正確.故選：ACD.11.若函數(shù)同時(shí)滿足：（1）對于定義域內(nèi)的任意，有；（2）對于定義域內(nèi)的任意，，當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由（1）可知，為奇函數(shù)，由（2）可知，在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，對于A，定義域?yàn)镽，又，故為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，定義域?yàn)镽，又，故為奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，滿足要求，B正確；對于C，分別在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞減，C錯誤；對于D：，，所以是奇函數(shù)；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，易知在和都是減函數(shù)，且在處連續(xù)，所以在上是減函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”，D正確.故選：BD12.已知四面體的所有棱長均為，則下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成角為B.點(diǎn)到平面的距離為C.四面體的外接球體積為D.動點(diǎn)在平面上，且與所成角為，則點(diǎn)的軌跡是橢圓〖答案〗BC〖解析〗取中點(diǎn),連接,可得面,則,故A錯誤；在四面體中，過點(diǎn)作面于點(diǎn),則為為底面正三角形的重心，因?yàn)樗欣忾L均為,,即點(diǎn)到平面的距離為,故B正確；設(shè)為正四面體的中心則為內(nèi)切球的半徑，為外接球的半徑，因?yàn)?，所以，?所以四面體的外接球體積,故C正確；建系如圖：,設(shè)，則因?yàn)?，所以，即，平方化簡可得：，可知點(diǎn)的軌跡為雙曲線,故D錯誤.故選：BC．三．填空題13.某醫(yī)院傳染病科室有5名醫(yī)生．4名護(hù)士，現(xiàn)從這9名醫(yī)護(hù)人員中選取5名參加醫(yī)院組織的運(yùn)動會，要求其中至少有2名醫(yī)生．2名護(hù)士，則不同的選取方法有______種．〖答案〗〖解析〗符合題意的情況有兩種：名醫(yī)生、名護(hù)士和名醫(yī)生、名護(hù)士．選取名醫(yī)生、名護(hù)士的方法有：種；選取名醫(yī)生、名護(hù)士的方法有：種；綜上所述：滿足題意的選取方法共有種．故〖答案〗為：.14.在正方體中，點(diǎn)為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，平面將該正方體分成兩部分，其體積分別為，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意，延長線段與的延長線交于點(diǎn)，連接交于，連接，故平面延展開后即為平面，將該正方體分成兩部分一部分是三棱臺，另一部分是剩余的部分.由于，故，不妨設(shè)正方體棱長為3，，，即.故〖答案〗：.15.已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．〖答案〗(0,1)∪(1,4)〖解析〗y(tǒng)＝函數(shù)y＝kx－2的圖象恒過定點(diǎn)M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.k＝1時(shí)，直線y＝kx－2在x＞1或x≤－1時(shí)與直線y＝x＋1平行，此時(shí)有一個公共點(diǎn)，∴k∈(0,1)∪(1,4)時(shí)，兩函數(shù)圖象恰有兩個交點(diǎn)．16.已知點(diǎn)在線段上，是的角平分線，為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為__________．（結(jié)果用表示）．〖答案〗〖解析〗建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由，可設(shè)，，得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支（不含右頂點(diǎn)）．因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，且，所以也為的角平分線，為的內(nèi)心．如圖，設(shè)，則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，又，所以，，在上的投影長為，則在上的投影向量為，故〖答案〗為：四．解答題17.已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，．（1）求；（2）若，求面積的取值范圍．（1）解：由正弦定理可得，又由，因?yàn)?，可得，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋?；?）解：因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知且，可得，因?yàn)?，所以，由三角形面積公式得，又由正弦定理且，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，即面積的取值范圍為．18.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?（1）證明：[方法一]：幾何法因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?，所以平面．又因?yàn)椋瑯?gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋云矫妫忠驗(yàn)槠矫?，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因?yàn)槿庵侵比庵酌?，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因?yàn)椋?，所以．[方法三]：因?yàn)椋?，所以，故，，所以，所以．?）解：[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋O(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)．[方法二]：幾何法如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．作，垂足為H，因?yàn)槠矫妫?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過作交于點(diǎn)G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時(shí)，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過D作的平行線交于點(diǎn)Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．19.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，．（1）求的極值；（2）對于，，都有，試求實(shí)數(shù)取值范圍．（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）解：對于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由題意可得，故.20.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)?，令，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：.21.已知橢圓焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．（1）解：由橢圓的焦距為2，故，則，又由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入得，解得，所以橢圓的方程為．（2）解：根據(jù)題意，直線l的斜率顯然不為零，令，由橢圓右焦點(diǎn)，故可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，設(shè)，，且，設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可得，又因?yàn)?，所以，所以，所以直線和關(guān)于軸對稱，其傾斜角互補(bǔ)，即有，則，所以，所以，整理得，即，即，解得，符合題意，即存在點(diǎn)滿足題意．22.規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．（1）某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，表示對