2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)-考點(diǎn)03 分式與二次根式

考點(diǎn)03分式與二次根式

?考情分析與預(yù)測(cè)

分式與二次根式是歷年中考的考察重點(diǎn)，年年考查，分值為18分左右。預(yù)計(jì)2021年各地中考還將繼續(xù)重

視對(duì)分式與根式的有關(guān)概念、分式與根式的性質(zhì)和分式與根式的混合運(yùn)算等的考查，且考查形式多樣，為

避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

富知識(shí)整合：

一、分式

1.分式的定義

AA

（1）一般地，整式A除以整式8,可以表示成一的形式，如果除式8中含有字母，那么稱一為分式.

BB

A

（2）分式G?中，A叫做分子，8叫做分母.

B

AAA

【注】①若即0,則一有意義；②若8=0,則一無(wú)意義；③若4=0且B翔，則一=0.

BBB

2,分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.

AA.rAA—C

用式子表示為一=—^（CwO）或一=-^（C?0）,其中A,B,c均為整式.

BBCBB^C

3.約分及約分法則

（1）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分.

（2）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式

的最低次累；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù).如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，

然后約分.

【注】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì).約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式.

4.最簡(jiǎn)分式

分子、分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.

【注】約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式.

5.通分及通分法則

（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，這一

過(guò)程稱為分式的通分.

(2)通分法則

把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：

①先求各個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母(即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次基和所有不同因式的積)；

②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡(jiǎn)公分母除以原來(lái)各分母所得的商分別去乘原來(lái)分式的分子、分母，使每個(gè)

分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡(jiǎn)公分母為分母的分式；

③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分.

【注】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì).通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母.

6.最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次幕的積作為公

分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母.

7.分式的運(yùn)算

(1)分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減.用式子表示為：-±-=—.

bhb

②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆?式，然后再加減.

用式子表示沏拄”曾±各=竺竽.

babababa

(2)分式的乘法

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用式子表示為：

baba

(3)分式的除法

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘.

用式子表示為：_=

bdbcb-c

(4)分式的乘方

乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方.用式子表示為：(*)"=/(〃為正整數(shù)，。70).

(5)分式的混合運(yùn)算

含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算.

混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減.有括號(hào)的，先算括號(hào)里的.

二、二次根式

1.二次根式的有關(guān)概念

(1)二次根式的概念

形如&(a20)的式子叫做二次根式.其中符號(hào)“一”叫做二次根號(hào)，二次根號(hào)下的數(shù)叫做被開方數(shù).

【注】被開方數(shù)。只能是非負(fù)數(shù).即要使二次根式犯有意義，則吟0.

(2)最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式,

叫做最簡(jiǎn)二次根式.

(3)同類二次根式：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式，叫做同類二次根式.

2.二次根式的性質(zhì)

a(a>0)

⑴必0(a加);(2)(Va)2=a(a>0)-；(3)值=|a|=<0(a=0)；

-a(a<0)

(4)\[ah>(),/?>())；(5)1^->0,Z?>0).

Nb4b

3.二次根式的運(yùn)算

(1)二次根式的加減

合并同類二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，若有同類二次根式，

可把同類二次根式合并成一個(gè)二次根式.

(2)二次根式的乘除

乘法法則：4a-y/h=y/ab(a>0,/?>0)；除法法則:東也心。力>。>

(3)二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的.

在運(yùn)算過(guò)程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用.

"重點(diǎn)考向,

考向一分式的有關(guān)概念

A

1.分式的三要素：（1）形如一的式子；（2）AB均為整式；（3）分母8中含有字母.

B

2.分式的意義：（1）有意義的條件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即8/0.

（2）無(wú)意義的條件是分母為0.（3）分式值為0要滿足兩個(gè)條件，分子為0,分母不為0.

典例引領(lǐng)

1.（2020?江蘇南京?中考真題）若式子1-一!一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

X-1

【答案】

【分析】由分式有意義的條件可得答案.

【解析】解：由題意得：無(wú)一100,，了。1,故答案為：xwl

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?湖南郴州?中考真題）若分式一匚的值不存在，則》=.

X+1

【答案】-I

【分析】根據(jù)分式無(wú)意義的條件列出關(guān)于X的方程，求出X的值即可.

【解析】?.?分式一匚的值不存在，；d+1=0,解得：x=-l,故答案為：-1.

X+1

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式無(wú)意義的條件，熟知分式無(wú)意義的條件是分母等于零是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2020?浙江金華?中考真題）分式土戈+言5的值是零，則x的值為（）

x-2

A.5B.2C.-2D.-5

【答案】D

【分析】分式的值為零：分子等于零，且分母不等于零.

【解析】解：依題意,得x+5=0,且x-2邦，解得，x=-5,且x*2,即答案為x=-5.故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分

母不為0.這兩個(gè)條件缺不可.

變式拓展

1.（2020?湖南衡陽(yáng)?中考真題）要使分式L有意義，則X的取值范圍是（）

x-l

A.x>lB.xHlC.x-lD.XHO

【答案】B

【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可解答.

【解析】根據(jù)題意可知，X-1H0,即故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為0是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.（2020?貴州貴陽(yáng)?中考真題）當(dāng)x=l時(shí)，下列分式?jīng)]有意義的是（）

x+1XX—1X

A.------B.------C.--------D.------

xx-lxx+1

【答案】B

【分析】由分式有意義的條件分母不能為零判斷即可.

X

【解析】—-，當(dāng)X=1時(shí)，分母為零，分式無(wú)意義.故選B.

X—1

【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件，關(guān)鍵在于牢記有意義條件.

3

3.（2020?江蘇淮安?）方程——+1=0的解為.

X-1

【答案】x=-2

【分析】先用異分母分式加法法則運(yùn)算，然后利用分式為零的條件解答即可.

33x-lx+2（x+2=0

【解析】解：上:+1=0--+=0-~-=0則：\,八，解得x=2

故答案為x=-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了異分母分式加法法則和分式為零的條件，掌握分式為零的條件是解答本題的關(guān)鍵.

考向二分式的基本性質(zhì)

分式基本性質(zhì)的應(yīng)用主要反映在以下兩個(gè)方面：

（1）不改變分式的值，把分式的分子、分母中各項(xiàng)的系數(shù)化為整數(shù)；

（2）分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變.

典例引領(lǐng)

1.（2020?河北中考真題）若出b,則下列分式化簡(jiǎn)正確的是（）

61+2aa-2aa2a9a

A.----=-B.----=-C.—=-D,^-=-

h+2bb-2bh~hb

2

【答案】D

【分析】根據(jù)aWb,可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的式子是否正確，從而可以解答本題.

___Q+2ay1…、口a-2a、八工…、口

【R解2析】TaWb,；?----W一,選項(xiàng)A錯(cuò)i天；-----W一,選項(xiàng)B錯(cuò)1關(guān)；

力+2hb-2b

1

2-Q

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；=￡，選項(xiàng)D正確；故選：D.

2

bbLhb

2

【點(diǎn)睛】本題考查分式的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確分式的性質(zhì).

變式拓展

1.（2019?江蘇揚(yáng)州?中考真題）分式一L可變形為（）

3-x

1111

A.----B.----C.----D.----

3+x3+xx-3%—3

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解析】A.」一W-L,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.--=—^―,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3+x3-x3+x-3-x3-x

C.%=￡=-二一，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤：D.=—~—=^—,故D選項(xiàng)正確，故選D.

53-xx—3—（x-3）3-x

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變.

考向三分式的約分與通分

約分與通分的區(qū)別與聯(lián)系：

1.約分與通分都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，對(duì)分式進(jìn)行恒等變形，即每個(gè)分式變形之后都不改變?cè)质降闹?

2.約分是針對(duì)一個(gè)分式而言，約分可使分式變得簡(jiǎn)單；

3.通分是針對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的，通分可使異分母分式化為同分母分式.

典例引領(lǐng)

1.（2020.成都市中考模擬）關(guān)于分式的約分或通分，下列哪個(gè)說(shuō)法正確

A.三r4約-1分的結(jié)果是一|B.分式與一!一的最簡(jiǎn)公分母是廠1

x-1xx-1x-1

C.與約分的結(jié)果是1f1

D.化簡(jiǎn)-F—的結(jié)果是1

x2-lx2-l

【答案】D

【解析】A、二斗=」一,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

x--lx-1

B、分式二一與」一的最簡(jiǎn)公分母是N-1,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

X—1X—1

2x2Y21

C、=二一，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、—二1，故本選項(xiàng)正確，故選D.

x2xX2-1x2-l

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的通分和約分，這是分式的重要知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握.

2.（山東濱州?中考真題）下列分式中，最簡(jiǎn)分式是（）

A?句X+1c彳2―2封+y2D尤2-36

x2-1無(wú)？一孫2x+\2

【答案】A

x+11

【解析】選項(xiàng)A為最簡(jiǎn)分式；選項(xiàng)B化筒可得原式=?

(x+1)(x-1)X-1

選項(xiàng)c化簡(jiǎn)可得原式=_（：二y）、之二;選項(xiàng)D化簡(jiǎn)可得原式=二x-6

?

X（x-y）X2（x+6）2

故答案選A.

考點(diǎn)：最筒分式.

變式拓展

2r2

L⑵2。?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）分式三與e的最簡(jiǎn)公分母是,方程

2x

-——=1的解是.

x—2x~-2x

【答案】x（x-2）x=-4

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義得出結(jié)果，再解分式方程，檢驗(yàn)，得解.

2YQ

【解析】解：-2x=x(x-2),.?.分式一^與丫^-的最簡(jiǎn)公分母是x(x—2),

XLXX

2V-Q

方程———P—=1，去分母得：2d-8=x(x-2),去括號(hào)得：2X2-8=X2-2X,

x-2X2-2X''

移項(xiàng)合并得：X2+2X-8=0,變形得：(x-2)(x+4)=0,解得：x=2或-4,

.當(dāng)x=2時(shí)，x(x-2)=0,當(dāng)x=-4時(shí)，X(X—2)#),，x=2是增根，.?.方程的解為：x=-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)公分母和解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法.

X+1

2.(2020?浙江湖州?中考真題)化簡(jiǎn):

x~+2.x+1

1

【答案】

X+1

【分析】先將分母因式分解，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)約分即可.

x+lX+11

【解析】2-2故答案為：一-一.

x+2x+lU+1)X+1X+1

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)

以及因式分解的方法.

考向四分式的運(yùn)算

(1)分式的加減運(yùn)算：異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時(shí)應(yīng)確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母.

(2)分式的乘除運(yùn)算：分式乘除法的運(yùn)算與因式分解密切相關(guān)，分式乘除法的本質(zhì)是化成乘法后，約去分

式的分子分母中的公因式，因此往往要對(duì)分子或分母進(jìn)行因式分解(在分解因式時(shí)注意不要出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤)，

然后找出其中的公因式，并把公因式約去.

(3)分式的乘方運(yùn)算，先確定基的符號(hào)，遵守“正數(shù)的任何次嘉都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次基是正數(shù)，負(fù)數(shù)

的奇數(shù)次幕是負(fù)數(shù)”的原則.

(4)分式的混合運(yùn)算有乘方，先算乘方，再算乘除，有時(shí)靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整

式.注意運(yùn)算順序，計(jì)算準(zhǔn)確.

典例引領(lǐng)

1.(2020?山西中考真題)下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

。一92x+l

x2+6x+92x+6

_(x+3)(x-3)2x+l

一(X+3)22(X+3)

_x-32x+l

x+32(x+3)

_2(x-3)2x+l

2(x+3)2(x+3)

2尤—6—(2x+1)

第四步

2(x+3)

2.x—6—2.x+1

第五步

2(x+3)

5

第六步

2x+6

任務(wù)一：填空：①以上化簡(jiǎn)步驟中，第步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是或

填為；

②第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；

任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果；

任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就分式化簡(jiǎn)時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一

條建議.

【答案】任務(wù)一：①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式

7

的值不變：②五；括號(hào)前是“一”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；任務(wù)二：-------；任務(wù)

2x+6

三：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式，答案不唯一，詳見(jiàn)解析.

【分析】先把能夠分解因式的分子或分母分解因式，化簡(jiǎn)第一個(gè)分式，再通分化為同分母分式，按照同分

母分式的加減法進(jìn)行運(yùn)算，注意最后的結(jié)果必為最筒分式或整式.

【解析】任務(wù)一：①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式

的值不變；故答案為：三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分

式的值不變：②五；括號(hào)前是“一”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；

故答案為：五；括號(hào)前是''一”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；

x2—92x+1_(x+3)(x—3)2x+l_x-32x+1

X2+6x+9~2x+6(x+3)22(x+3)x+32(x+3)

2(x—3)2x+12x—6—(2x+l)2x—6—2x—17

---------------------------=-------------------------=-----------------------_________

2(x+3)2(x+3)2(x+3)2(x+3)2x+6

任務(wù)三：解：答案不唯一，如：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式；約分，通分時(shí)，應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)

進(jìn)行變形；分式化簡(jiǎn)不能與解分式方程混淆，等.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)，掌握以上兩種以上是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川遂寧?中考真題）先化簡(jiǎn)，（廠+4葉4_%_2）+日土2,然后從-2WxW2范圍內(nèi)選取一

X2-4x-2

個(gè)合適的整數(shù)作為x的值代入求值.

【答案】-x+3,2

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再選取使分式有意義的x的值代入計(jì)算可得.

【解析】解：原式4—（x+2）]xy當(dāng)

（x+2）（x-2）[x+21x-2x-2Jx+2

—x~+x+6x—2（x+2）（x-3）九一2,.

=----------------x--------=------------------x-------=-（x-3x）=-x+o3

x—2x+2x—2x+2

,可取x=l,則原式=-1+3=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及分式有意義

的條件.

變式拓展

1.（2020?江蘇南京?中考真題）計(jì)算：（.-I+」一）+《！網(wǎng)

Q+167+1

a

【答案】

。+2

【分析】先把括號(hào)里通分，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分化筒即可.

(Q-1)(Q+1)+1Q+1a2。+1a

【解析】解：3—1+」一）十幺二名----------------------=--------------=-----

。+1。+1(2+1a2+2aa+\a(a+2)a+2

【點(diǎn)睛】分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減,

有括號(hào)的先算括號(hào)里面的；最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

2.（2。2。?山東德州?中考真題）先化簡(jiǎn):（三x—1-丁r-4-2卜?了二4—印x,然后選擇一個(gè)合適的x值代入求值.

x—2

【答案】化簡(jiǎn)結(jié)果是：——,選擇.『1時(shí)代入求值為-1.

x

【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再選出合適的尢的值代入進(jìn)行計(jì)算即可

【解析】解：原式=（三X—1x+2].(4—x]x(x-1)(x4-2)(x—2).4—x

xJ-4X+4Jx(x-2)x(x-2)(x-2)2

—x—%?+4（x—2）~4—x（x—2）2x—2

----------------------=-----------------------

x（x-2）4-xx（x-2）4-xx

當(dāng)X=1時(shí)代入，原式==二=—1.故答案為：化簡(jiǎn)結(jié)果是匚，選擇時(shí)代入求值為-1.

1x

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵，最后在選擇合適的X

求值時(shí)要保證選取的X不能使得分母為0.

考向五二次根式的概念與性質(zhì)

1.二次根式的意義：首先考慮被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，其次還要考慮其他限制條件，這樣就轉(zhuǎn)化為解不等式或

不等式組問(wèn)題，如有分母時(shí)還要注意分式的分母不為0.

2.利用二次根式性質(zhì)時(shí)，如果題目中對(duì)根號(hào)內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì)根式進(jìn)行化

簡(jiǎn)，如果題目中沒(méi)有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對(duì)題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定

的取值范圍顯現(xiàn)出來(lái)，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn).

典例引領(lǐng)

1.（2020?廣東中考真題）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則》的取值范圍是（）

A.2B.x>2C.x<2D.xw—2

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式里面被開方數(shù)4-2x20即可求解.

【解析】解：由題意知：被開方數(shù)4-2xN0,解得：%<2,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，必須保證被開方數(shù)大于等于0.

2.（四川涼山?中考真題）已知y=j2x—5+J5—2x—3,則2個(gè)的值為（）

A.-15B.15C.——D.—

22

【答案】A

-----------2x-5>0x=2.5

【解析】由y=，2x—5+45-2%一3，得｛<一八，解得｛o.2xy=2x2.5x（-3）=-15,故選A.

■5-2x>0>=一3

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，一元一次不等式組的解法，以及有理數(shù)的乘法運(yùn)算，掌握

以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?廣東中考真題）若式子岳二4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是（）

A.x/2B.x>2C.x<2D.xw—2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式里面被開方數(shù)2X-4即可求解.

【解析】解：由題意知：被開方數(shù)2x-420,解得：%>2,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，必須保證被開方數(shù)大于等于0.

2.（2020?湖北黃石?中考真題）函數(shù)>=」一+J7=，的自變量x的取值范圍是（）

x-3

A.x>2,且x/3B.x>2C.%H3D.X>2,且XH3

【答案】A

【分析】根據(jù)分式與二次根式的性質(zhì)即可求解.

【解析】依題意可得x-3#0,x-2K）解得x22,且XW3故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)的自變量取值，解題的關(guān)鍵是熟知分式與二次根式的性質(zhì).

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東濟(jì)寧?中考真題）下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V13B.V12C.后D./

【答案】A

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可求出答案.

【解析】解：A、厲是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)正確；B、712=2^,不是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、病=時(shí)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡(jiǎn)二次根式的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型.

變式拓展

1.(2019?山西中考真題)下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是()

【答案】D

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念逐一進(jìn)行判斷即可.

【解析】A.=故A選項(xiàng)不符合題意；B.、區(qū)=口包

故B選項(xiàng)不符合題意;

\22V77

C.我=2&，故C選項(xiàng)不符合題意；D.百是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意，故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的識(shí)別，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)以及最簡(jiǎn)二次根式的概念是解題的關(guān)鍵.

典例引領(lǐng)

1.(2020?四川攀枝花?中考真題)實(shí)數(shù)。、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)

"(a+1)2+—Ip—的結(jié)果是().

?a]??b

~~-2'-10123^

A.-2B.0C.一2aD.2h

【答案】A

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)a和b在數(shù)軸上的位置得出其取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)即可求出

答案.

【解析】由數(shù)軸可知l<b<2,；.a+l<0,b-l>0,a-b<(),

二y](a+l)2+y](b-l)2—yj(a-b)2=|?+1|+|Z?-1|-|a-Z?|=—(a+++=-2故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及二次根式的性質(zhì)，要求學(xué)生正確根據(jù)數(shù)在數(shù)軸

上的位置判斷數(shù)的符號(hào)以及絕對(duì)值的大小，再根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行判斷.

變式拓展

1.（2020?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）已知實(shí)數(shù)。在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示,則化簡(jiǎn)國(guó)-“-歷不

的結(jié)果是（）

a

——I-------u----1—?

012

A.3-2。B.-1C.1D.2。一3

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)軸上a點(diǎn)的位置，判斷出（a-1）和（a-2）的符號(hào)，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

【解析】解:由圖知：l<a<2,...a-lX）,a-2<0,

原式=aT-|a-2|=a-l+（a-2）=2a-3.故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確得出aT>0,a-2<0是解題關(guān)鍵.

考向六二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的運(yùn)算

（1）二次根式的加減法就是把同類二次根式進(jìn)行合并.

（2）二次根式的乘除法要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性；要熟練掌握被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

（3）二次根式混合運(yùn)算先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去括號(hào)）.

2.比較分式與二次根式的大小

（1）分式：對(duì)于同分母分式，直接比較分子即可，異分母分式通常運(yùn)用約分或通分法后作比較：

（2）二次根式：可以直接比較被開方數(shù)的大小，也可以運(yùn)用平方法來(lái)比較.

典例引領(lǐng)

1.（2020?重慶中考真題）下列計(jì)算中，正確的是（）

A.y/2,+^3=B.2+>/2=2A/2C.^/2x>/3=>/6D.2g-2=6

【答案】C

【分析】根據(jù)同類二次根式的概念與二次根式的乘法逐一判斷可得答案.

【解析】解：4夜與不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤;

B.2與0不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.72x73=72^3=76.此選項(xiàng)計(jì)算正確;

D.26與-2不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則與同類二次根式的概

念.

2.（2019?湖北中考真題）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：

2+73(2+我(2+6)

=7+46，除此之外,我們也可以用平方之后再開方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)

2-6(2-73)(2+73)

的無(wú)理數(shù),如：對(duì)于。3+右一』3-小，設(shè)x=J%耳*#，易知,3+逐>J3—6,故%>0,

由爐=（13+6一13—6）2=3+逐+3_石_25（3+石）（3_石）=2,解得》=夜，即

，3+君—J3—行=0.根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)噌-+）6-38—&+36后的結(jié)果為（）

，3+，42

A.5+3逐B(yǎng).5+V6C.5-V6D.5-376

【答案】D

【分析】根據(jù)題中給的方法分別對(duì)56.3百-）6+3省和魯噌進(jìn)行化簡(jiǎn)'然后再進(jìn)行合并即可?

【解析】設(shè)x=J6-3G-J6+3G,且,6-<"6+3&，，x<0，

???x2=6-373-27(6-373)(6+3>/3)+6+3^-；?f=12-2x3=6，:?x=-屈，

..V3-V2

=5-276,，原式=5-2卡-n=5-3卡,故選D.

,V37V2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及了分母有理化等方法，弄清題意，理解和掌握題中介紹的

方法是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?內(nèi)蒙古中考真題）計(jì)算：（6+血）（6-血）2=

【答案】V3-V2

【分析】先將乘方展開，然后用平方差公式計(jì)算即可.

【解析】解：（百+痣）（右-拒）2=（6+0）（6-0）（6-

-V3-V2.故答案為6—0.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算以及平方差公式的應(yīng)用，掌握二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和平

方差公式是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2020?江蘇泰州?中考真題）下列等式成立的是（）

A.3+4后=7五B.6x0=#）C.&+耳=2&D.^（-3）2=3

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可逐一判斷.

【解析】解：A、3和4夜不能合并，故A錯(cuò)誤；B、V3xV2=V6.故B錯(cuò)誤；

C、yfi--73XA/6=A/FS=3-72,故C錯(cuò)誤；D、J（—3）2=3,正確：故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握基本的運(yùn)算法則.

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東臨沂?中考真題）設(shè)〃=嶼+2，則（）

A.2<a<3B.3<。<4C.4<a<5D.5<a<6

【答案】C

【分析】先估計(jì)近的范圍，再得出a的范圍即可.

【解析】解：：4<7V9,2<近<3，,4<近+2<5，即4<。<5,故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握無(wú)理數(shù)的估算方法.

2.（2020?安徽天長(zhǎng)?中考模擬）比較大?。篤7-V6一V6-V5

【答案】<

【分析】利用分子有理化即可比較大小.

【解析】脩布—乒正正躍一鄧力^）=1

1V7+V6V7+V6

瓜_①一娓-亞人瓜-亞N&⑹-]

1767^~16^5

,:5+?>屈+#：.幣'+&<#:6...J7—卡〈指一石故答案為：<.

【點(diǎn)睛】此題考查的是實(shí)數(shù)的比較大小，掌握利用分子有理化比較大小是解決此題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?天津中考真題）估計(jì)J五的值在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【答案】B

【分析】因?yàn)??<22<52,所以后在4到5之間，由此可得出答案.

【解析】解：:42<22<52，,4（后<5.故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問(wèn)題.

2.（2020?四川達(dá)州?中考真題）下列各數(shù)中，比3大比4小的無(wú)理數(shù)是（）

]0LL

A.3.14B.C.J12D.J17

【答案】C

【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義找出無(wú)理數(shù)，再估算無(wú)理數(shù)的范圍即可求解.

【解析】解：?.?四個(gè)選項(xiàng)中是無(wú)理數(shù)的只有和J萬(wàn)，而17>42,32<12<42

AV17>4,3<配<4,選項(xiàng)中比3大比4小的無(wú)理數(shù)只有g(shù).故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義和估算，解題時(shí)注意帶根號(hào)的要開不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)

小數(shù)為無(wú)理數(shù).

、亨點(diǎn)沖關(guān)充

r4-1

1.（2019?江蘇常州?中考真題）若代數(shù)式上」有意義，則實(shí)數(shù)》的取值范圍是（）

x-3

A.x=—1B.x=3C.xH—1D.x豐3

【答案】D

【分析】分式有意義的條件是分母不為0.

X+]

【解析】?.?代數(shù)式--■有意義，3。（），故選D.

x-3

【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用了分式有意義的條件知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵要知道分母不為0是分式有意義的條件.

2

2.（2019?山東臨沂?中考真題）計(jì)算----a—1的正確結(jié)果是（）

C7-1

112a—12a—1

A.---------B.-------C.-----------D.

a-ld—1CL—1CL—1

【答案】B

【分析】先將后兩項(xiàng)結(jié)合起來(lái)，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加減的法則計(jì)算就可以了.

222?1

【解析】原式=」二一（。+1）="一一竺二=——.故選B.

0-1<7-10-1<7-1

【點(diǎn)睛】本題考查分式的通分和分式的約分的運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于在解答的過(guò)程中注意符號(hào)的運(yùn)用及平方

差公式的運(yùn)用.

Ir|-1

3.（2019?山東聊城?中考真題）如果分式^^—的值為0,那么X的值為（）

x+1

A.-1B.1C.-1或1D.1或0

【答案】B

【分析】根據(jù)分式的值為零的條件可以求出x的值.

【解析】根據(jù)題意，得岡-1=0且x+"0,解得,x=l.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0;（2）分

母不為0.這兩個(gè)條件缺一不可.

4.（上海中考真題）下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是

A.79B.不C.V20

【答案】B

【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件（1）被開

方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式：（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的

就是最筒二次根式，否則就不是.

【解析】=3，病=2石,=屬于最簡(jiǎn)二次根式.故選B.

5.（2020?江蘇南通?）下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是（）

A.V5-V3=V2B.3+上=3百C.瓜:近=3D.=

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】A.石與也不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.3與0不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.76-72=7672=73.此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.瓜乂0=上又氏乂叵=2下）,此選項(xiàng)計(jì)算正確；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式加減乘除計(jì)算，熟知以上計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

6.（2019?四川綿陽(yáng)?中考真題）己知x是整數(shù)，當(dāng)卜一回|取最小值時(shí)，％的值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，找到與回最接近的整數(shù)，可得結(jié)論.

【解析】解：：岳〈而〈病，；.5〈而＜6，且與回最接近的整數(shù)是5,

...當(dāng)卜一國(guó)|取最小值時(shí)，》的值是5,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的估算和絕對(duì)值的意義，熟練掌握平方數(shù)是關(guān)鍵.

7.（2019?江蘇常州?中考真題）下列各數(shù)中與2+6的積是有理數(shù)的是（）

A.2+石B.2C.73D.2-73

【答案】D

【分析】利用平方差公式可知與2+6的積是有理數(shù)的為2-6;

【解析】???（2+間（2一石）=4-3=1；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查分母有理化；熟練掌握利用平方差公式求無(wú)理數(shù)的無(wú)理化因子是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?貴州黔南?中考真題）已知。=而-1，a介于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是（）

A.\<a<2B.2<a<3C.3<。<4D.4<a<5

【答案】C

【分析】先估算出J萬(wàn)的范圍，即可得出答案.

【解析】解：〈而'<5，，3<舊一1<4，，在3和4之間，即3<a<4.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小.能估算出J廳的范圍是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?遼寧朝陽(yáng)?中考真題）計(jì)算灰-JTExJ；的結(jié)果是（）

A.0B.GC.3石D-I

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)第一項(xiàng)，根據(jù)二次根式的乘法化簡(jiǎn)第二項(xiàng)，然后合并即可.

【解析】解：原式=26—J12x：=26-6=6.故選民

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

10.（湖南張家界?中考真題）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|>|b|,則化簡(jiǎn)，/-卜+目的結(jié)果

為（）

a0b

A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b

【答案】C

【解析】利用數(shù)軸得出a+b的符號(hào)，進(jìn)而利用絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)得出即可:

?.?由數(shù)軸可知，b>0>a,目.|a|>|b|,J+闿=一〃+（。+8）=".故選C.

考點(diǎn)：1.絕對(duì)值；2.二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；3.實(shí)數(shù)與數(shù)軸.

11.（2020?浙江中考真題）計(jì)算的結(jié)果是.

x3x

2

【答案】—

3x

【分析】先通分，再相加即可求得結(jié)果.

113122

【解析】解：-=7；-=—?故答案為：—.

x3x3x3x3x3x

【點(diǎn)睛】此題考察分式的加法，先通分化為同分母分式再相加即可.

/、

12.(2020?湖北黃岡?中考真題)計(jì)算：丁「+1-——的結(jié)果是___________.

X_y-Ix+y)

【答案】—

x-y

【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)分式的減法、將被除式分母因式分解，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后約分即可得.

［解析］解：｝$一］=’?T

.X-/(X+y)(x+y)(x-y)(x+yx+y)(