2021年中考25 正方形（解析版）

專題25正方形問題

專題知識點概述

1.正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2.正方形的性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的統(tǒng)統(tǒng)性質(zhì)；

（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；

（3）正方形的兩條對角線相等，并且彼此垂直平分，每一條對角線平分一組對角；

（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；

（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個

全等的小等腰直角三角形；

（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的間隔相等。

3.正方形的判斷

判斷一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

一是先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

二是先證它是菱形，再證有一個角是直角。即有一個角是直角的菱形是正方形。

h2

4.正方形的面積：設(shè)正方形邊長為a,對角線長為b,S=/=—

2

【例題1】（2021?臺州）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正

方形地磚面積為a,小正方形地磚面積為b,依次毗鄰四塊大正方形地磚的中間得到正方形力6W.則

正方形/式》的面積為.（用含a,8的代數(shù)式示意）

【答案解析】a^b.

【試題解答】如圖，毗鄰〃4DN、證明S四邊形順-尸工a即可解決問題.

4

如圖，毗鄰?fù)釪N,

?：4KDN=/MDT=9G0,

：?/KDM=/NDT,

'：DK=DN,ZDKM=4DNT=45°,

???△加儂△ZM7(ASA)

?e?SADK尸S^a\7f

；?正方形4成。的面積=4x工＞8=附6.

4

【對點練習(xí)】（2021?廣西賀州）如圖，正方形仍切的邊長為4,點￡是切的中點，”?平分/物￡

交6c于點￡將△血應(yīng)繞點力順時針旋轉(zhuǎn)90°得△/%,則。,的長為.

【答案解析】6-275.

【試題解答】作用小加于M,FNLAG于N,如圖，易得四邊形C為力為矩形，則冏片4,

?正方形46繆的邊長為4,點E是徵的中點,

：.DE=2,

4E=yj42+22=>

應(yīng)繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90°得AA3G,

：.AG=AE=2yfs>BG=DE=2,Z3=Z4,NGAE=90：NABG=ND=90°,

而//8C=90°,

二點G在。的耽誤線上，

?：AF平分NB4E交BC于點F,

.\Z1=Z2,

/.Z2+Z4=Z1+Z3,即用平分/的〃

:.FN=FM=4,

?.我仍〃=工向怏的

22

:.GF=9'2運(yùn)=2娓,

4

:.CF=CG-GF^4+2-2遙=6-2遍.

故答案為6-2泥.

AD

【例題2】（2021?青島）如圖，在正方形/紀(jì)9中，對角線4c與劭交于點、0,點右在切的耽誤線

上，毗鄰如；點尸是熊的中點，毗鄰在1交助于點G.若班'=2,必=3,則點/到毋■的間隔

為________

【答案解析】于.

【試題解答】根據(jù)正方形的性質(zhì)得至lJ/4如，/4%=90°,求得NADE=90：根據(jù)直角三角形的

性質(zhì)得到加="="三卻5；根據(jù)三角形中位線定理得到式G=，《=l,求得4?=切=4,過/作4〃

LDF于■H,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

?.?在正方形ABCD中,對角線4C與他交于點0,

：./\O=DO,N4OC=90°,

...N49￡=90°,

:點尸是四的中點,

:.DF=AF=EF=癡

3垂直平分AD,

：.AG=DG,：.FG=\DE=\,

,：0F=2,：.0G=2,

■:AgCO,二32%=4,34,

過/作于以：.NH=NADE=90：

■:AF=DF,:.NADF=NDAE,：./XADH^/\AED,

.AH_AD

**DE~~AE9

：.AE=y/AD2+DE2=V42+22=2遙，

.AH4.AU_4VS

?不=京，-AH=—'

即點4到8的間隔為?

【對點練習(xí)】（2021內(nèi)蒙古包頭）如圖，在正方形四切中，AB=1,點￡尸分別在邊比1和切上，

AE=AF,NA伊=60°,則b的長是（）

A.立口B.返C.V3-1D.2

423

【答案解析】C

【試題解答】?.?四邊形4及力是正方形，

：.ZB=ZD=ZBAD=90a,AB=BC=CD=AD=\,

在隊/\4a'和RtZWF中，1A^AF,

1AB=AD

RtZ\46%RlZ\W(HD,

:./BAE=/DAF,

必尸=60°,

:.NBAE+NDAF=30°,

，N%F=15°,

在ADk取一點G,使N0%=/%產(chǎn)=15°,如圖所示:

:.AG=FG、4DGF=30°,

DF=LFG=^AG,DG=屈DF,

22

設(shè)DF=x,則%AG=FG=2X,

■:AG+DG=AD,

?\2x^y/^x—1,

解得：x=2-丑，

:，DF=2-g

：.CF=CD-DF=\-(2-V3)=V3-1：

故選：C.

【例題3】(2021?湘西州)如圖，在正方形切的外側(cè)，作等邊三角形/眼毗鄰能CE.

(1)求證：△為匡△微?；

(2)求//旗的度數(shù).

BA

【答案解析】見解析。

【試題解答】操縱等邊三角形的性質(zhì)得到//?=四=〃/EAg/EDA=6G°,操縱正方形的性質(zhì)得

至T"B=A/)=a),/BAD=/CDAS,所以N必作=/"。=150°,然后根據(jù)“%S”判斷△胡匡△

CDE：

先證明力夕=力￡然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算N4座的度數(shù).

(1)證明：:△力施為等邊三角形，

:?/AD=AE=DE,4EAD=/EDA=6G,

??,四邊形力比》為正方形，

：.AB=AD=CDyZBAD=ZCDA=90°,

：.ZEAB=ZE/)C=150°,

在彷和中

tAB=DC

ZEAB=/EDC,

AE=DE

:?/\BA跆ACDE(SAS

(2)?:AB=A0AD=AEt

:,AB=AE,

：.AABE=4AEB,

???N￡4〃=150°,

：.ZABE=-(180°-150°)=15°.

2

【對點練習(xí)】(2021湖南株洲)如圖所示，已知正方形廢汽G的極點。為正方形/靦對角線/C、BD的

交點，毗鄰CE、DG.

(1)求證：XD(3l\CO&

(2)若DG1BD,正方形48繆的邊長為2,線段”與線段必訂交于點M,求正方形陽％

2

的邊長.

【答案解析】(1)見解析；(2)2遙.

【試題解答】解:

(1)?:正方形ABCD與正方形OEFG,對角線〃、、BD

：.DO=OC

「DB1AC,：.4D0A=4DOC=90°

*/NG偌=90°,，/GON/DOE=/DOE+/COE=9V

：.ZGOD=ACOE

■:GO=OE

???在ADOG和叢COE*'

'DO=0C

,ZG0D=ZC0E

GD=OE

：./\DOG^/\COE(SA0

(2)如圖，過點."作"1.DO交〃。于點H

13

U：AM=一，%=2,I.

22

N1期=45°

ZW=sin45°?DM=^^,Z)Z7=cos45°?%=&

：.HO=DO-DH=&-372V2

在Rt△物宛中，由勾股定理得

=返

;W9=VMH2+HOV

■:DGLBD,MHLDO,J.MH//DG

二易證△"叱△則'

V2返

.OH=MO=T=-F得G0=2娓

"ODGO~^2布

則正方形兩的邊長為2娓.

一、挑選題

1.（2021?河南）如圖，在△48。中，N〃》=90°,邊比1在x軸上，極點48的坐標(biāo)分別為

（-2,6）和（7,0）.將正方形仍定沿x軸向右平移，當(dāng)點￡落在邊上時，點〃的坐標(biāo)為

（）

D

A.(|,2)B.(2,2)C.(-,2)D.(4,2)

4

【答案解析】B

【試題解答】根據(jù)已知前提得到4C=6,0C=2,0B=l,求得BC=9,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DE=

0C=0E=2,求得O'E'=0'C=2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到60=3,于是得到結(jié)論.

如圖，設(shè)正方形〃‘C0'E'是正方形優(yōu)選'沿x軸向右平移后的正方形,

:極點48的坐標(biāo)分別為（-2,6）和（7,0）,

：.AC=6,0C=2,0B=l,

：.BC=9,

:四邊形面比'是正方形，

:.DE=0C=0E=2,

：.O'E'=ffC=2,

'：E'O'IBC,

/.ABO'E'=NBC4=9Q°,

：.E'O'//AC,

E's叢BCA,

.E，O，_BO^_

AC-BC

.2_BO

""6~9

:.BO'=3,

OC=7-2-3=2,

當(dāng)點6落在4?邊上時，點〃的坐標(biāo)為（2,2）

2.（2021?湖州）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，盛行于天下各地.由邊長為2的正方形可以制

作一副中國七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示.分別用這兩副七巧板試拼如圖2中的平行四邊形或

矩形，則這兩個圖形中，中國七巧板和日本七巧板能拼成的個數(shù)分別為（）

A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2

【答案解析】D

【試題解答】根據(jù)要求拼平行四邊形矩形即可.

中國七巧板和日本七巧板能拼成的個數(shù)都是2,如圖所示:

用中國的七巧板拼日本七巧板的拼法

故選：D.

3.（2021?溫州）如圖，在RtZ\46，中，NAC8=90°,以其三邊為邊向外作正方形,過點，作CRL

FG于點、R,再過點C作網(wǎng)，薪分別交邊陽掰于點AQ.若QH=2PE,0g15,則以的長為

)

DH

A.14B.15C.8V3D.6^5

【答案解析】A

【考點解析】如圖，毗鄰尾.設(shè)相交于/證明△的-△從圖推出3案=：,由國

CQCHHQZ

=15,可得PC=5,綺=10,由必C7/=l:2,推出他8c=1:2,設(shè)/C=a,BC=2a,證明四

邊形四耍是平行四邊形，推出/IQCglO,根據(jù)*+弘=4以構(gòu)建方程求出a即可解決問題.

【試題解答】如圖，毗令B&；CH.設(shè)AB交CR于J.

?.?四邊形4切區(qū)四邊形式、/〃都是正方形,

:.NACE=/BCH=45：

VZJ6?=90°,/%7=90°,

???/ACE+/ACB+/BCH=1,/ACB+/BCIS

:?B,C〃共線，4C,/共線，E、a〃共線,

*：DE//AI//BHy

：.ACEP=ZCHQy

9

：ZECP=ZQC//f

:■△ECP^XHCQ、

.PC_CE_EP_1

*°CQ-CH-HQ-2,

*：PQ=\3,

:?PC=5,8=10,

■:EC:CH=\:2,

：.AC\BC=1:2,設(shè)47=a,BC=2a,

■:PQ1CR、CRLAB、

:?CQ〃AB,

AC//BQ.CQ〃AB、

...四邊形/6宓是平行四邊形,

..”8=浙10,

6d=初，

/.5a2=100,

:.a=24（負(fù)根己經(jīng)舍棄）

."「=26BC=m,

,：^AC'BC=^AB'CJ,

=4,

.\CJ=---10---

?:JR=AF=AB=0

:?CR=CJ+JR=]A

4.（2021?南京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點尸在第一象限，。尸與x軸、y軸都相切，且經(jīng)

由矩形/阪■的極點C與比訂交于點〃.若。P的半徑為5,點力的坐標(biāo)是（0,8）.則點〃的

坐標(biāo)是（）

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

【答案解析】A

【考點解析】設(shè)。。與x、y軸相切的切點分別為尸、E點、,毗鄰陽、PF、PD,耽誤外與喜交于點

G,證明四邊形仍如為正方形，求得(力,再根據(jù)垂徑定理求得必進(jìn)而得用、DB,便可得〃點

坐標(biāo).

【試題解答】設(shè)。。與x、y軸相切的切點分別為尸、￡點，毗鄰陽、PF、PD,耽誤用與切交于點

G,

則血y軸，卯_Lx軸，

VZ^=90°,四邊形/W是矩形，

,:PE=PF,PE//OF,.?.四邊形班,0尸為正方形，

：.OE=PF=PE=OF=5,

,：A(0,8),.',04=8,.*"￡■=8-5=3,

.四邊形如％為矩形，：.BC=OA=8,BC//OA,AC//OB,

：.EG//AC,

，四邊形力￡*為平行四邊形，四邊形?！??為平行四邊形，

：.CG=AE=3,EG=OB,

'：PEVAO,AO//CB,:.PG工CD,，32CG=6,:.D4BC-CAB-6=2,

:⑶=5,DG=CG=3,

:.PG=4,...如=氏;=5+4=9,：.D(9,2)

5.(2021?天津)如圖，四邊形的力是正方形，0,。兩點的坐標(biāo)分別為(0,0),(0,6)

點。在第一象限，則點，的坐標(biāo)是()

JA

D------------------iC

~OBx

A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)

【答案解析】D

【試題解答】操縱正方形的性質(zhì)求出OB,BC,徵即可.

?.?四邊形。%是正方形,

：.OB=BC=CDD,/CDg/CBg9Q°，

?：0,。兩點的坐標(biāo)分別為（0,0）,（0,6）,

：.OD=6,

：.OB=BC=CD=&,

：.C（6,6）.

二、填空題

6.（2021?連云港）如圖，將5個大小一樣的正方形置于平面直角坐標(biāo)系中，若極點KN的坐標(biāo)分

別為（3,9）、（12,9）,則極點/的坐標(biāo)為.

%

~Ox

【答案解析】（15,3）

【試題解答】由圖形可得物V〃x軸，物￥=9,硼/y軸，可求正方形的邊長，即可求解.如圖,

%

~0X

?.?極點材、1的坐標(biāo)分別為(3,9)、(12,9),

?軸，MN=9,加〃y軸，

.?.正方形的邊長為3,

:.BN=6,

二點8(12,3),

.?"8〃x軸，

...點4(15,3)

7.(2021?紹興)如圖1,直角三角形紙片的一條直角邊長為2,剪四塊如許的直角三角形紙片，把

它們按圖2放入一個邊長為3的正方形中(紙片在聯(lián)合部分不重疊無縫隙)，則圖2中陰影部分面積

為

圖1圖2

【答案解析】4病.

【試題解答】根據(jù)題意和圖形，可以得到直角三角形的一條直角邊的長和斜邊的長，從而可以得到

直角三角形的另一條直角邊長，再根據(jù)圖形，可知陰影部分的面積是四個直角三角形的面積，然

后世入數(shù)據(jù)計算即可.由題意可得，

直角三角形的斜邊長為3,一條直角邊長為2,

故直角上角形的另一條直角邊長為：V32-22=V5,

故陰影部分的面積是：X4=4V5

8.（2021?天水）如圖，將正方形龐五G放在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點，點￡的坐標(biāo)為（2,

3）,則點尸的坐標(biāo)為.

【答案解析】（-1,5）

【試題解答】聯(lián)合全等三角形的性質(zhì)可以求得點G的坐標(biāo)，再由正方形的中間對稱的性質(zhì)求得點尸

的坐標(biāo).

如圖，過點后作x軸的垂線以垂足為〃過點C作x軸的垂線G弘垂足為M毗鄰必'、尸。交于

點0'.

?..四邊形第&是正方形，

：.0G=E0,ZGOQZOEH,ZOGQZE0H,

在△061/與△砌中，

(Z0GM=NE0H

loG=E0

(NG0M=ZOEH

.△①儂△以第(ASA)

：.GM=0H=2,0M=EH=*

，G(-3,2).

AO'-).

2’2

?.?點b與點。關(guān)于點。對稱，

二點尸的坐標(biāo)為(-1,5)

9.（2021?德州）如圖，在矩形四切中，AB=V3+2,448.把四沿四折疊，使點。恰好落在

四邊上的D'處，再將繞點后順時針旋轉(zhuǎn)a,得到,使得￡4'恰好經(jīng)由刎的中

點五.A'D"交四于點6；毗鄰加'.有如下結(jié)論：①4尸的長度是V6-2；②弧〃力的長度是等

n；③△/AF^/XA'EG；④△44'F^^EGF.上述結(jié)論中，所有對的序號是

【答案解析】①②④.

【試題解答】?.?把4〃沿4f折疊，使點。恰好落在46邊上的D'處,

.?.NO=N4〃￡=90°=NDAD,AD=AB,

二四邊形/麗是矩形，

又,：AgAD=聲,

/.四邊形ADEO是正方形,

:.AgAD=DE=DE=遮,AE=?AD=顯,NEAD=NAED=45°,

:.DB=AB-AD=2,

?.?點產(chǎn)是BD中點，

:.DF=\,

：.EF=J。'E2+。'F2=V3TT=2,

?.?將△/口'繞點￡順時針旋轉(zhuǎn)a,

:.AE=#E=?ZDED'=0,N￡4'。'=/￡4〃=45°,

.F'金迷-2,故①正確；

；tan/曲===4=勺，

D'EV33

"FED=30°

:.a=30°+45°=75°,

：MDD"的長度=75；媼？6=野”,故②正確;

"：E,AAEA=75°,

=N￡4，/=52.5°,

...N/lZ/f5°,

'：ZAA'G,NA#EWNEA'G,//四'=120°WN￡4'G,

??.△留‘?與△/◎不全等，故③錯誤；

'：UE=D'E,EG=EG,

；.Rt△M隹RtZ\￡Z/，G（4）,

:.乙UGE=/D，GE,

'：4AGO'=Z/傷N/4'G=105°,

:.NDGE=52.5°=ZJ/F,

又TN/必'=ZEFG,

：.sXEFG,故④正確，

故答案為：①②④.

10.（2021?攀枝花）如圖，在邊長為4的正方形4靦中，點、E、尸分別為必⑦的中點，DE、

/尸交于點GI/7的中點為〃毗鄰86、以/.給出下列結(jié)論：

①/尸JL4反?DG=1；③HDHBG；④△46E△版.

其中對的結(jié)論有.（請?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號）

【試題解答】故答案為：①④.

【考點解析】證明再操縱全等三角形的性質(zhì)聯(lián)合余角的性質(zhì)得到N%7，=90°,可判

斷①，再操縱三角形等積法7三可算出〃G,可判斷②；再證明N/〃>=N/力=/劭6求出/C,

DH,HF,可判斷△466—△〃》；可判斷④；通過力吃的得到/月用和/力陽不相等，則N/1的N

DHF,可判斷③.

【試題解答】???四邊形4?5為正方形,

：.4ADC=NBCD=90：AD=CD,

二￡和尸分別為此和切中點,

:.DF=EC=2,

:.XADP&XDCE（必S

ZAFD=ADEC,ZFAD=AEDC,

?：2EDC+乙DEC=90°、

:./EDC+/AFg9Q：

.?./戊卞=90°,即如然故①正確;

?.34,%g

/.AF=A/42+22=2A/5,

二DG=ADXDF+AF=故②錯誤；

,:H為"'中點，

：.HD=HF=^AF=V5,

4HDF=4HFD,

'：AB//DC,

：.AI1DF=AIIFD=ABAG,

'：AG=>JAD2-DG2=手，4B=4,

.AB_AB_4V5_AG

.?DH-HF-5-O尸

XABgXDHF,故④正確；

/.ZABG=ADHF,而AB^AG,

貝IJN45G和N力切不相等,

故NAG阱ZDHF,

故如與比不平行，故③錯誤。

11.（2021?咸寧）如圖，四邊形4?必是邊長為2的正方形，點￡是邊a'上一動點（不與點氏C

重合），4AEF=9Q：且〃交正方形外角的平分線"1于點人交⑦于點G毗鄰”；有下列結(jié)

論：

Q）4ABEs/\ECG；

②AE=EF；

③NDAF=NCFE；

④△面的面積的最大值為1.

其中正確結(jié)論的序號是.（把正確結(jié)論的序號都填上）

【試題解答】①②③.

【考點解析】①由盼/。％=/月陟/刈E得NBAE=NCEG,再聯(lián)合兩直角相等得MABEsgCG；

②在冊上截取加=陽易得△跖獷為等腰直角三角形，則監(jiān)'=45°,所以//磔=135°,再

操縱等角的余角相等得到NBAE=NFEC,于是根據(jù)“4弘”可判斷△41儂△的；則根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)可對②進(jìn)行判斷；

③由N物@■/的尸=45°,N或2必‘=45°,可得出/的尸與NG叨的大小關(guān)系，便可對③判斷；

④設(shè)比'=x,則8J/=x,AA=AB-BM=4-x,操縱三角形面積公式得到&耀=3x?（2-x）,則根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)可得見小的最大值，便可對④進(jìn)行判斷.

【試題解答】①?..四邊形力及口是正方形，

:.NB=NECG=90°,

膠=90°,

4AEB+/CEG=AAEB^ABAE,

:.NBAE=/CEG,

:*△ABES[\ECG,

故①正確；

②在BA上截取網(wǎng)=應(yīng)；如圖1,

B

圖1

???四邊形力時為正方形,

/.Z5=90°,BA=BC,

：?/\BEM為等腰直角三角形,

:?/BME=45°,

???N4/=135°,

*：BA-BM=BOBE、

：.AM=CEy

?：CF為正方形外角平分線，

：.ZDCF=45°,

???N￡gl350,

VZJ￡F=90°,

:./AE//FEC=9G0、

而/力陟N物￡=90°,

：.ZBAE=ZFECt

在△4陽和△形尸中

(ZMAE=NCEF

\AM=EC,

\ZAME=ZECV

:.△AME^XECF,

:?AE=EF,

故②正確；

③YAE=EF,ZAEF=90°,

：.ZEAF=45°,

：.ZBAE^ZDAF=45°,

?：/BAE+/CFE=/CEF+4CFE=A50,

：.2DAF=2CFE、

故③正確；

④設(shè)應(yīng)'=x,則的/=x,AM=AB-BM=4-x,

5k4=5kwtt=?x?(2-x)=-j(^r-1)2+1，

當(dāng)x=l時，&妤有最大值

故④錯誤.

12.（2021?河南）如圖，在邊長為2聲的正方形施切中，點￡尸分別為邊仍留的中點，毗

鄰尾FD,點G,〃分別為比；外的中點，毗鄰州則。/的長度為.

【試題解答】1.

【考點解析】設(shè)詼思交于。根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NQ/W尸=90°,BC=CD=AB,根據(jù)線段

中點的定義得到放=優(yōu)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到龍=詼NBCE=NCDF,求得隴1四根

據(jù)勾股定理得到g分三J（2后］（瘋尸=VTU,點、G,H分型為EC,9的中點，根據(jù)射影定理

即可得到結(jié)論.

【試題解答】設(shè)班應(yīng)交于“，

?.?四邊形4靦是正方形，

/.NB=NDCF=90°,BC=CD=AB,

，:點、E,尸分別為邊四，利的中點，

：.BE=CF,

:.△CBE^XDCF〈SAS）,

：.CE=DF,4BCE=4CDF,

Y/CDF+/CFDS,

:?/BCE+/CFD=9。。,

.*.Z6ZF=90°,

:?DF1CE,

:?CE=DF=(2V2)2+(V2)2=V10,

??,點G〃分別為EC,物的中點,

"G=FH=號,

VZZ?6F=90°,C01DR

:.C戶=OF*DF,

:,昨嚕如奪

*：Od=OF?OD,

三、解答題

13.（2021?遵義）如圖，在邊長為4的正方形/版中，點后為對角線/C上一動點（點￡與點/、

C不重合），毗鄰龐；作旗_L如交射線胡于點K過點￡■作物V〃宛分別交或、AB于點M、N,作

射線如交射線CA于點G.

（1）求證：EF=DE；

（2）當(dāng)小=2時，求面■的長.

【答案解析】見解析。

【考點解析】（1）要證明密瓦；只要證明△〃儂△以戶即可，然后根據(jù)問題中的前提和正方形的

性質(zhì)，可以得到△血儂的前提，從而可以證明結(jié)論成立;

(2)根據(jù)勾股定理和三角形相似，可以得到4G和4、龍的長，然后即可得到制的長.

【解答】（1）證明：:四邊形力為切是正方形，力。是對角線,

：.Z.ECM=^,

?:MN〃BC,ZBCM=9G°,

：.Z^aZBaf=180°,/施盼/B=180°,

.\Z/W=90°,Z；W=90°,

:"MEC=ZMCE=45°,4DME=4ENF=9N,

：.MC=MEy

'：CD=帆

:?DM=EN,

■:DE工EF,NED班4DEMS

???/頌=90°,

:./DE嶺/FEN=9G,

：.AEDM=/FEN,

在△〃監(jiān)'和△以夕中

(ZEDM=NFEN

<DM=EN,

1/DME=NENF

:■△DME^XENFCASA),

:.EF=DE',

(2)如圖1所示，由(1)知，ADME^叢ENF,

:.ME=NF,

??,四邊形版W%是矩形，

:?MC=BN,

又,：ME=MC,AB=4tAF=2t

：.BN=MC=NF=\,

?：NEMC=90°,

JCE=V2,

9：AF//CD,

:.△DGCSXFGA、

?,?—CD=—CG,

AFAG

.4_CG

，G-茄，

'：AB=BC=4,Z5=90°,

:?AC=4&,

%

：AC=AG^GCi

：.AG=^,CG=逗,

3'3'

：.GE=GC-CE=--y[2=~

33

如圖2所示，

同理可得，F(xiàn)N=BN,

°：AF=2,AB=4t

：.AN=lf

?：AB=BC=4,N5=90°,

：.AC=4y/2y

■:AF//CD,

:ZAFSXGCD、

.AF_GA

??布-GCf

口ri2AG

即-------F>

44G+4V2

解得，AG=4四,

AN^NE=1,N￡M=90°,

?*.AE=y/2,

:.GE=GA+AE=5位.

14.(2021湖南湘西州)如凰在正方形4?切中，點￡尸分別在邊切，成上，且"'

—CE.

(1)求證：△ABF^XCBE：

(2)若48=4,AF=1,求四邊形刎;"的面積.

【答案解析】（1）見解析；（2）12.

【解答】（1）在防和△Q坦中

'AB=BC

<ZA=ZC=90°.

AF=CE

:.△ABF^MBE（SAS）；

（2）由已知可得正方形月四面積為16,

尸面積=△&%'面積=1X4X1=2.

2

所以四邊形應(yīng)M的面積為16-2X2=12.

15.（2021湖北仙桃模擬）如圖，E,尸分別為正方形/靦的邊紹加耽誤線上的點,且BE=

CF,過點￡作尾〃明交正方形外角的平分線CG于點G,毗鄰距求證：

（1）AE1BF；

（2）四邊形BEGF是平行四邊形.

【答案解析】見解析。

【試題解答】由5力S證明△力應(yīng)力△60得HJ>AE^BF,4BAE=NCBF,由平行線的性質(zhì)得出/儂'=/

CEG,證出力￡_L園即可得出結(jié)論；耽誤18至點匕使B—BE,毗鄰?fù)鈩t4Q紹NEBP=

90°,證明這△￡■口；得出/￡=仇;，證出仇;=能即可得出結(jié)論.

證明：（1）???四邊形/即是正方形，

:"B=BC,/ABC=ZBCQ900,

:.NABE=NBCF=9Q：

rAB=BC

在△/應(yīng)'和△比/中，，ZABE=ZBCF.

BE=CF

:.XAB昭XBCFQSA$),

:.AE=BF,NBAE=/CBF,

'：EG//BF,ZCBF=ZCEG,

■:/BAE+/BEA=90°,:.ZCEG^NBEA=9。：

：.AEVEG,：.AEVBF-,

(2)耽誤4