專題1.3 探索勾股定理（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（北師大版）

專題1.3探索勾股定理（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題類型一、勾股定理的證明1．如圖，在四邊形中，//，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，.下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，，根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（

）A． B．C． D．3．歷史上對(duì)勾股定理的一種證法采用了如圖所示的圖形，其中兩個(gè)全等的直角三角形的直角邊在同一條直線上.證明中用到的面積相等關(guān)系是（

）A． B．C． D．類型二、用勾股定理解直角三角形4．一個(gè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．55．如圖，和都是等腰直角三角形，的頂點(diǎn)在的斜邊上下列結(jié)論：其中正確的有（

）①≌；②；③；④A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)6．已知點(diǎn)是平分線上的一點(diǎn)，且，作于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5類型三、勾股數(shù)的問(wèn)題7．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，88．如圖，在中，，以的各邊為邊在外作三個(gè)正方形，，，分別表示這三個(gè)正方形的面積，若，則（

）A．5 B．7 C．13 D．159．《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”．后人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)律：若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么m與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)；若m是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1，加1得到兩個(gè)整數(shù)，那么m與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)．由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由m生成的勾股數(shù)”．根據(jù)以上規(guī)律，“由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”為（）A．16 B．17 C．25 D．64類型四、勾股定理與面積問(wèn)題10．如圖，我國(guó)古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，則直角三角形較短的直角邊a與較長(zhǎng)的直角邊b的比的值是（）A． B． C． D．11．如圖是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形的兩直角邊分別是a、b，且，大正方形的面積是9，則小正方形的面積是（

）A．3 B．4 C．5 D．612．如圖，△ABC中，，以其三邊分別向外側(cè)作正方形，然后將整個(gè)圖形放置于如圖所示的長(zhǎng)方形中，若要求圖中兩個(gè)陰影部分面積之和，則只需知道（

）A．以BC為邊的正方形面積 B．以AC為邊的正方形面積C．以AB為邊的正方形面積 D．△ABC的面積類型五、勾股定理的其他應(yīng)用13．在中，，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．14．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．4515．定義：順次連接平面內(nèi)不在同一條直線上的任意三點(diǎn)A，B，C，稱為A，B，C，三點(diǎn)的勾股差，記作，即．若D、E、F是平面內(nèi)不在同一條直線上的任意三點(diǎn)，順次將其連接，根據(jù)上述定義，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若，則C．若，則D．若，，，則二、填空題類型一、勾股定理的證明16．如圖，把長(zhǎng)、寬、對(duì)角線的長(zhǎng)分別是a、b、c的矩形沿對(duì)角線剪開(kāi)，與一個(gè)直角邊長(zhǎng)為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補(bǔ)法能夠得到的一個(gè)等式是__．17．如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊長(zhǎng)都是的直角三角形拼成如圖形狀用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，可得關(guān)于a，b，c的一個(gè)等式是_______________________．18．曾任美國(guó)總統(tǒng)的加菲爾德曾經(jīng)給出了一種勾股定理的證明方法.如圖，該圖形整體上拼成了一個(gè)直角梯形，所以它的面積有兩種表示方法，既可以表示為_(kāi)______，又可以表示為_(kāi)______.對(duì)比兩種表示方法可得________，化簡(jiǎn)，可得.類型二、用勾股定理解直角三角形19．如圖，的兩直角邊AC、BC的長(zhǎng)分別為6、8，按圖示那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則______．20．如圖，CD是△ABC的中線，將△ACD沿CD折疊至，連接交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．若的面積為12，，則點(diǎn)F到AC的距離為_(kāi)_____．21．對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD=3，BC=5，則____________．類型三、勾股數(shù)的問(wèn)題22．觀察下列幾組勾股數(shù)，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，則第⑥組勾股數(shù)為_(kāi)_____．23．如圖，所有的四邊形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)為13，則圖中所有的正方形的面積之和為_(kāi)____．24．觀察下列各組勾股數(shù)（1）3，4，5（2）5，12，13；（3）7，24，25：（4）9，40，41照此規(guī)律，將第n組勾股數(shù)按從小到大的順序排列，排在中間的數(shù)，用含n的代數(shù)式可表示為_(kāi)__．類型四、勾股定理與面積問(wèn)題25．如圖，在中，，分別以，，邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時(shí)，陰影部分的面積為_(kāi)_______．26．如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構(gòu)成，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為7，則正方形A、B、C、D的面積之和為_(kāi)_________．27．如圖，Rt△ABC的兩條直角邊，．分別以Rt△ABC的三邊為邊作三個(gè)正方形．若四個(gè)陰影部分面積分別為，，，，則的值為_(kāi)_____，的值為_(kāi)_____．類型五、勾股定理的其他應(yīng)用28．如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．29．如圖，在四邊形ABCD中，，AD=CD，AB+BC=8，則四邊形ABCD的面積是_________．30．設(shè)，是直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)，若該三角形的周長(zhǎng)為24，斜邊長(zhǎng)為10，則的值為_(kāi)_______．三、解答題31．做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直線邊分別為a，b，斜邊為c，再做3個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的正方形，把它們按下圖所示的方式拼成兩個(gè)正方形．利用兩個(gè)正方形的面積相等來(lái)證明勾股定理：a2＋b2＝c232．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC的延長(zhǎng)線上，且，連接DE，DF．(1)求證：；(2)連接EF，取EF中點(diǎn)G，連接DG并延長(zhǎng)交BC于H，連接BG．①依題意，補(bǔ)全圖形；②求證：；③若，用等式表示線段BG，HG與AE之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．33．閱讀理解：課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，于是王老師提出以下問(wèn)題讓學(xué)生解決．(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11，_________，_________；(2)若第一個(gè)數(shù)用字母（為奇數(shù)，且）表示，則后兩個(gè)數(shù)用含的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的小明發(fā)現(xiàn)每組第二個(gè)數(shù)有這樣的規(guī)律：，，，……于是他很快表示出了第二個(gè)數(shù)為，則用含的代數(shù)式表示第三個(gè)數(shù)為_(kāi)________．(3)用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明（2）中用表示的三個(gè)數(shù)是勾股數(shù)．34．如圖，在等腰中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，作等腰，且，連接．(1)求證：；(2)求證：．參考答案1．D【解析】【分析】證明△ABC≌△CDE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCE，∠ACB=∠E．由圖形的面積可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB∥DE，AB⊥BD，∴DE⊥BD，∴∠B=∠D=90°．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠A=∠DCE，∠ACB=∠E．∵∠A+∠ACB=90°，∴∠DCE+∠ACB=90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°，故①②正確；∵AB∥DE，AB⊥BD，∴四邊形ABDE的面積是(a+b)2；故③正確；∵梯形ABDE的面積-直角三角形ACE的面積=兩個(gè)直角三角形的面積，∴，∴a2+b2=c2．故④⑤都正確．綜上，正確的結(jié)論是①②③④⑤，共5個(gè)故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的證明，垂直的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．2．C【解析】【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積可得問(wèn)題的答案．【詳解】標(biāo)記如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查的是利用勾股定理的證明，可以完全平方公式進(jìn)行證明，掌握面積差得算式是解決此題關(guān)鍵．3．D【解析】【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積，從而證明勾股定理．【詳解】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四邊形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴證明中用到的面積相等關(guān)系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四邊形ABCD．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的證明依據(jù)．此類證明要轉(zhuǎn)化成該圖形面積的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達(dá)到證明的結(jié)果．4．C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)面積法求出斜邊的高．【詳解】解：設(shè)斜邊長(zhǎng)為c，高為h．由勾股定理可得：c2=62+82，則c=10，直角三角形面積S=×6×8=×c×h，可得h=4.8，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)和利用面積法求直角三角形的高是解決此類題的關(guān)鍵．5．C【解析】【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出正確；由證出≌，正確；證出是直角三角形，由勾股定理得出正確；由全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)得出不正確；即可得出答案．【詳解】解：和都是等腰直角三角形，，，，，，，，故正確；，，在和中，，≌，故正確；，，，是直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，故正確；在上截取，連接，如圖所示：在和中，，≌，，當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，則，此時(shí)，故不正確；故選：．【點(diǎn)撥】本題是考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．B【解析】【分析】根據(jù)垂線段最短可得PN⊥OA時(shí)，PN最短，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，再結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)PN⊥OA時(shí)，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵，，，∴由勾股定理可知：PM=3，∴PN的最小值為3．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)及勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．B【解析】【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)判定則可．【詳解】解：A、12+22≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；B、32+42=52，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；C、42+52≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；D、62+72≠82，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)的定義，注意：一組勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)；②兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方．8．B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2，∴S3=S2?S1=10?3=7，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．熟練掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．9．B【解析】【分析】直接根據(jù)題意分別得出由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”記為A，∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，故A＝17，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查勾股數(shù)問(wèn)題．能理解題中的計(jì)算方式，并能依此計(jì)算是解決此題的關(guān)鍵．需注意在計(jì)算“由m生成的勾股數(shù)”時(shí)，m分奇偶計(jì)算方式不同．10．B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到2ab的值，然后根據(jù)即可求得（a＋b）的值；根據(jù)小正方形的面積為即可求得，進(jìn)而聯(lián)立方程組求得a與b的值，則可求出答案．【詳解】解：∵大正方形的面積是13，設(shè)邊長(zhǎng)為c，∴，∴，∵直角三角形的面積是，又∵直角三角形的面積是，∴，∴，∴．∵小正方形的面積為，又∵，∴，聯(lián)立可得，解得，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理以及完全平方公式的知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟記完全平方公式，還要注意圖形的面積和a、b之間的關(guān)系．11．A【解析】【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積?4個(gè)直角三角形的面積，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面積為9，可以得出直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：∵(a+b)2=15，∴a2+2ab+b2=15，∵大正方形的面積為：a2+b2=9，∴2ab=15?9=6，即ab=3，∴直角三角形的面積為：，∴小正方形的面積為：，故選：A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了完全平方公式及勾股定理的應(yīng)用，熟練應(yīng)用完全平方公式及勾股定理是解題關(guān)鍵．12．D【解析】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于N，延長(zhǎng)AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，證明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，則，即可推出由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于N，延長(zhǎng)AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面積的面積即可求出陰影部分的面積，故選D【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．13．A【解析】【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可．【詳解】解：中，，，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，，∵，，∴，，故A正確．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是將完全平方公式變形求出ab的值．14．D【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2）＝AC2?AB2＝45．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的知識(shí)，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認(rèn)真觀察，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點(diǎn)，重點(diǎn)還是在于勾股定理的熟練掌握．15．B【解析】【分析】根據(jù)定義，并結(jié)合有關(guān)的幾何知識(shí)，可以對(duì)選項(xiàng)的正確性作出判斷，從而選出錯(cuò)誤選項(xiàng)．【詳解】A、由已知定義，,,通過(guò)比較，成立，A正確；B、由A可知，不管是否成立，都有成立，所以B不一定正確；C、若，則為直角三角形，根據(jù)勾股定理有：，所以，C正確；D、若，，，則，D正確；故選B．【點(diǎn)撥】本題綜合考查閱讀能力以及勾股定理等有關(guān)幾何知識(shí)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的定義對(duì)各選項(xiàng)的有關(guān)符號(hào)作出表示．16．a(chǎn)2+b2＝c2【解析】【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積，從而列出等式，發(fā)現(xiàn)邊與邊之間的關(guān)系．【詳解】解：此圖可以這樣理解，有三個(gè)Rt△其面積分別為ab，ab和c2．還有一個(gè)直角梯形，其面積為（a+b）（a+b）．由圖形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．【點(diǎn)撥】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的證明，主要利用了三角形的面積公式：底×高÷2，和梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2．17．【解析】【分析】用兩種方法求圖形面積，一是直接利用梯形面積公式來(lái)求；一是利用三個(gè)三角形面積之和來(lái)求．【詳解】根據(jù)題意得：S=(a+b)(a+b)，S=ab+ab+c2，∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2，即(a+b)(a+b)=ab+ab+c2，整理得：a2+b2=c2．故答案為：a2+b2=c2．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的證明，整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．18．

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.【解析】【分析】因?yàn)樘菪蔚纳系诪閍，下底為b，高為（a+b），則它的面積可表示為（a+b）?（a+b）；此梯形的面積還可以看成是三個(gè)直角三角形的面積和，即（ab×2+c2）；則（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）．【詳解】由題可知梯形面積為（a+b）（a+b）；此梯形的面積還可以看成是三個(gè)直角三角形的面積和，即（ab×2+c2）．因此（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）即a2+b2=c2．【點(diǎn)撥】主要應(yīng)用了梯形的面積公式和三角形的面積公式．19．【解析】【分析】設(shè)CE=x，然后可得關(guān)于x的方程，解方程即可得到解答．【詳解】解：設(shè)CE=x，則AE=BE=BC-CE=8-x，∴在Rt△ACE中，由勾股定理可得：AC2+CE2=AE2，即62+x2=（8-x）2，解方程可得：故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及方程思想方法在幾何中的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．20．【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，由翻折的性質(zhì)可知S△AA'D=24，由D為AB的中點(diǎn)，則S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通過(guò)AAS證明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，最后通過(guò)面積法即可求出FH的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，根據(jù)翻折的性質(zhì)得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D為AB的中點(diǎn)，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F為A'E的中點(diǎn)，∴A'F=EF，在△A'BF與△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA=10，在△CAF中，CA?HF=AF?CE，∴HF==，即點(diǎn)F到AC的距離為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用等積法求垂線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．21．34【解析】【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，進(jìn)一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根據(jù)AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案為：34．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．22．16，63，65【解析】【分析】據(jù)前面的幾組數(shù)可以得到每組勾股數(shù)與各組的序號(hào)之間的關(guān)系，如果是第n組數(shù)，則這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2（n+2），第二個(gè)是：（n+1）（n+3），第三個(gè)數(shù)是：（n+2）2+1．根據(jù)這個(gè)規(guī)律即可解答．【詳解】解：根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可得：這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2（n+2），第二個(gè)是：（n+1）（n+3），第三個(gè)數(shù)是：（n+2）2+1，故可得第⑥組勾股數(shù)是16，63，65．故答案為選：16，63，65．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的勾股數(shù)找出規(guī)律，按照此規(guī)律即可解答．23．507【解析】【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，等量代換即可求所有正方形的面積之和．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1，則S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507．故答案為507【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理．有一定難度，注意掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．24．##【解析】【分析】觀察數(shù)據(jù)，題中數(shù)據(jù)第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)是連續(xù)的，第一個(gè)數(shù)是從3開(kāi)始的連續(xù)的奇數(shù)，則第個(gè)為：，根據(jù)完全平方公式展開(kāi)即可求得中間的數(shù)．【詳解】解：觀察數(shù)據(jù)可知，第一個(gè)數(shù)是從3開(kāi)始的連續(xù)的奇數(shù)，則第個(gè)為：，，，，……，則第組勾股數(shù)為設(shè)中間的數(shù)為，則第三個(gè)數(shù)為，即即中間的數(shù)為故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)字類找規(guī)律，勾股數(shù)，整式的乘法運(yùn)算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．25．24【解析】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根據(jù)陰影部分的面積等于直角三角形的面積加上以AC，BC為直徑的半圓面積，再減去以AB為直徑的半圓面積即可．【詳解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，則陰影部分的面積，故答案為24．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理、半圓面積計(jì)算，掌握勾股定理和半圓面積公式是解題的關(guān)鍵．26．49【解析】【分析】根據(jù)正方形A，B，C，D的面積和等于最大的正方形的面積，求解即可求出答案．【詳解】如圖對(duì)所給圖形進(jìn)行標(biāo)注：因?yàn)樗械娜切味际侵苯侨切?，所有的四邊形都是正方形，所以正方形A的面積，正方形B的面積，正方形C的面積，正方形D的面積．因?yàn)?，，所以正方形A，B，C，D的面積和．故答案為：49．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)，面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．27．

24

0【解析】【分析】先證明從而可得再利用圖形的面積關(guān)系可得：兩式相減可得：而證明從而可得第二空的答案.【詳解】解：如圖，以Rt△ABC的三邊為邊作三個(gè)正方形，兩式相減可得：而故答案為：24，0【點(diǎn)撥】本題考查的是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形面積之間的關(guān)系，證明是解本題的關(guān)鍵.28．【解析】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，分別解得的長(zhǎng)，繼而證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，據(jù)此解題．【詳解】如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，則矩形中在與中，在中，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．29．16【解析】【分析】求不規(guī)則四邊形的面積，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積，由題意，可知：求出與的面積，即為四邊形ABCD的面積．【詳解】連接AC，∵，∴，，∴，∵AB+BC=8，∴，∴，∴故答案為：16．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是四邊形面積的求解，三角形面積以及勾股定理，熟練運(yùn)用三角形面積公式以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．30．48【解析】【分析】由該三角形的周長(zhǎng)為24，斜邊長(zhǎng)為10可知a＋b＋10＝24，再根據(jù)勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．【詳解】解：∵三角形的周長(zhǎng)為24，斜邊長(zhǎng)為10，∴a＋b＋10＝24，∴a＋b＝14，∵a、b是直角三角形的兩條直角邊，∴a2＋b2＝102，則a2＋b2＝（a＋b）2?2ab＝102，即142?2ab＝102，∴ab＝48．故答案為：48．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系及完全平方公式的變形求值是解題的關(guān)鍵．31．證明見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)不同圖形拼成的兩個(gè)正方形面積相等即可證明【詳解】證明：①左圖大正方形的邊長(zhǎng)為：a+b，則面積為（a+b）2，分成了四個(gè)直角邊為a，b，斜邊為c的全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的小正方形，；②右圖大正方形的邊長(zhǎng)為：a+b，則面積為（a+b）2，分成了邊長(zhǎng)為a的一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為b的一個(gè)正方形，還有四個(gè)直角邊為a，b，斜邊為c的全等的直角三角形，；綜上所述：，即．【點(diǎn)撥】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行組合圖形．32．(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；③BG2＋HG2＝4AE2．【解析】【分析】（1）證△ADE≌△CDF（SAS），得∠ADE＝∠CDF，再證∠EDF＝90°，即可得出結(jié)論；（2）①依題意，補(bǔ)全圖形即可；②由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DG＝EF，BG＝EF，即可得出結(jié)論；③先證△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再證DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后證△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾股定理即可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＝90°，即∠A＝∠DCF，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，