高等數(shù)學(xué)：多元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用

多元函數(shù)的概念

偏導(dǎo)數(shù)與全微分

多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

隱函數(shù)求導(dǎo)法

多元函數(shù)微分學(xué)的

方向?qū)?shù)與梯度

多元復(fù)合函數(shù)的第

章6

元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用幾何應(yīng)用極值及其求法多6.1多元函數(shù)的概念6.1.1平面點(diǎn)集的有關(guān)概念6.1.2多元函數(shù)的概念6.1.3多元函數(shù)的極限6.1.4多元函數(shù)的連續(xù)性1.鄰域6.1多元函數(shù)的概念6.1.1平面點(diǎn)集的有關(guān)概念2區(qū)域例如，即為開集．

(6)區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，例如，有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，３有界集4聚點(diǎn)(1)內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；注：(2)邊界點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；例如(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．(3)點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．5n維空間(1)n維空間的記號(hào)為注：(2)

n維空間中兩點(diǎn)間距離公式注：n維空間中鄰域、區(qū)域等概念

特殊地當(dāng)n=1，2，3時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．

定義

6.1.１設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，則稱映射f:D

R為定義在D上的二元函數(shù)，6.1.2多元函數(shù)的概念1二元函數(shù)的定義例1

解所求定義域?yàn)槎瘮?shù)的圖形通常是一張曲面.2二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形6.1.3多元函數(shù)的極限定義6.1.2注：（1）定義中P

P0

的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．（4）二元以上的函數(shù)的極限可類似地定義。例2

用定義證明證明:原結(jié)論成立．2．二元函數(shù)極限問題舉例

例3

求極限解其中例4

證明分析：要證明二重極限不存在，可使P選擇不同的路徑而趨于P0，如有不同的極限，則二重極限不存在。證明：令P沿直線y=kx而趨于點(diǎn)P0(0,0),則有顯然，此極限值隨k的變化而變化,所以二重極限例4*.

解：當(dāng)P沿直線y=kx而趨于(0，0)點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)P沿曲線y=kx2而趨于(0，0)時(shí),它是與k的取值有關(guān)的，所以二重極限確定極限不存在的方法：

定義6.1.3注:(1)

間斷點(diǎn)的判別與一元函數(shù)類似。(2)多元函數(shù)不僅有間斷點(diǎn)而且有間斷線。1

多元函數(shù)連續(xù)性的定義

6.1.4多元函數(shù)的連續(xù)性例5

討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例6

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．2閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理

多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．3

多元初等函數(shù)的連續(xù)性

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．例7解小結(jié)

本節(jié)主要討論了多元函數(shù)