2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形第七講正弦定理和余弦定理課件

第七講正弦定理和余弦定理課標(biāo)要求考情分析1.借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題1.從近五年的考查情況來看，該節(jié)是高考的重點和熱點，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，有時也與三角恒等變換等進(jìn)行綜合命題.2.既有選擇題、填空題，也有解答題名稱正弦定理余弦定理定理其中R是三角形外接圓的半徑a2＝b2＋c2－2bccos

A；b2＝a2＋c2－2ac

cos

B；c2＝a2＋b2－2ab

cos

C1.正弦定理與余弦定理名稱正弦定理余弦定理變形a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(續(xù)表)角的分類A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解2.三角形解的判斷3.三角形中常用的面積公式【名師點睛】(1)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；(2)三角形中的射影定理在ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(3)在ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.

考點一利用正、余弦定理解三角形答案：AD2.(2023年武功縣期中)在△ABC中，若三邊之比a∶b∶c＝答案：B3.(2022年全國乙卷文科)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)若A＝2B，求C；(2)證明：2a2＝b2＋c2.(1)解：由

sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，又A＝2B，∴sinCsinB＝sinBsin(C－A)，∵sinB≠0，∴sinC＝sin(C－A)，即C＝C－A(舍去)或C＋C－A＝π，

(2)證明：由

sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，

得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，

由正弦定理可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，(1)求c的大??；(2)求sinB的值；(3)求sin(2A－B)的值.【題后反思】解三角形問題的技巧

(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.

考點二判斷三角形的形狀A(yù).鈍角三角形C.銳角三角形

B.直角三角形D.等邊三角形又B∈(0，π)，所以sinB>0，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因為在△ABC中sinA>0，所以cosB<0，即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形.答案：A邊)，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C為三角形的內(nèi)角，否相等.答案：A【題后反思】判斷三角形形狀的常用技巧若已知條件中既有邊又有角，則(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論.【變式訓(xùn)練】考點三與三角形面積、周長有關(guān)的問題考向1與三角形面積有關(guān)的問題

[例2](2022年太原市模擬)已知

a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，3csinA＝4bsinC，再從下面條件①與②中任選一個作為已知條件，完成以下問題.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.(1)證明：△ABC為等腰三角形；，點D在線段AB上，且BD＝

(2)若△ABC的面積為22DA，求CD的長.【題后反思】(1)求三角形面積的方法①若已知三角形的一個角(角的大小或該角的正、余弦值)及該積.

②若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入(1)中公式求面積.總之，結(jié)合圖形選擇恰當(dāng)?shù)拿娣e公式是解題的關(guān)鍵.(2)已知三角形面積求邊、角的方法①若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解.②若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.考向2與三角形周長有關(guān)的問題

則(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝4時等號成立)， ∴△ABC周長＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即△ABC周長的最大值為12.

答案：12【考法全練】1.(考向1)(2021年密云區(qū)月考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋bc，求：(1)A的大??；(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值.(1)證明：在△ABC中，因為sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sinC(sinAcosB－cosAsinB)＝sinB(sinCcosA－cosCsinA)，所以sinAsinBcosC＋sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，即sinA(sinBcosC＋cosBsinC)＝2cosAsinBsinC，所以sinAsin(B＋C)＝2cosAsinBsinC，即sin2A＝2cosAsinBsinC.由正弦定理得a2＝2bc·cosA，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以2a2＝b2＋c2.⊙解平面圖形問題(2)求CD的長.圖3-7-1(1)求sin∠BCE的值；

【反思感悟】平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角