山東省德州市禹城市綜合高中2024屆高三上學期10月月考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市禹城市綜合高中2024屆高三上學期10月月考數學試題一、選擇題1.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合或，集合，所以，則，故選：.2.如圖，在平行四邊形中，為對角線的交點，為的中點，為的中點，若，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖：因為,所以故選：3.設等比數列的公比為q，則是為單調遞增數列的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若,則,則為單調遞減數列所以是為單調遞增數列的不充分條件若為單調遞增數列,則,則即或,所以故是為單調遞增數列的不必要條件故是為單調遞增數列既不充分也不必要條件故選：D.4.已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意易知，，而在上的投影向量為：.故選：B.5.八卦是中國古老文化的深奧概念，如圖示意太極八卦圖．現將一副八卦簡化為正八邊形，設其邊長為，中心為O，則下列選項中不正確的是（）A. B.C.和是一對相反向量 D.〖答案〗C〖解析〗對于A中，由正八邊形中，可得，則，所以，即，所以，所以A正確；對于B中，由正八邊形中，可得，，則，所以B正確；對于C中，由和方向相反，但長度不等，因此不是一對相反向量，所以C錯誤；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：C.6.阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數關系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據題意，由振幅是2易知，故，則是的最高點，不妨記相鄰的最低點為，連接，過作軸，過作，交點為，如圖，則，，，故，得，又因為，故，得，所以，因為是的點，故，得，即，因為，所以，故，.故選：A..7.已知定義在上的函數滿足，且是偶函數，當時，，則（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因為是偶函數，所以，則，因為，所以，則是的一個周期，因為，所以，，.故選：C.8.已知，是方程的兩根，且，，則的值為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗B〖解析〗由題知，，是方程的兩根，所以，即，因為，，所以，，所以，因為，所以，故選：B.二、多項選擇題9.已知函數則（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.直線是圖象的一條對稱軸D.的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到〖答案〗BC〖解析〗可化為，函數的最小正周期為，A錯誤；當時，，因為在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，B正確；當時，，所以直線是圖象的一條對稱軸，C正確；函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，D錯誤.故選：BC.10.已知定義在上的奇函數，，且當時，，則（）A.B.有2個零點C.在上為減函數D.不等式的解集是〖答案〗AD〖解析〗在中，令，得，故A正確；又為上的奇函數，，，∴至少有三個零點，故B錯誤；設x1，，且，則，，，∴在上是增函數，由于為奇函數，∴在上也是增函數，故C錯誤：由題意，畫出的圖象如圖，等價于或，由圖可知不等式的解集為,故D正確.故選:AD.11.已知中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，若點P是邊BC上一點，Q是AC的中點，點O是所在平面內一點，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若在方向上的投影向量為，則的最小值為C.若點P為BC中點，則D.若，則為定值18〖答案〗ACD〖解析〗如圖，設BC的中點為E，連接QE，∵，由余弦定理可得：，∴，∴，又，∴，∴，∴，對A選項，∵，∴，∴，又E為中點，∴，又，∴，∴，故A選項正確；對B選項，∵在方向上的投影向量為，∴，又Q是AC的中點，P在BC上，∴當時，PQ最小，此時，故B選項錯誤；對C選項，若點P為BC的中點，即P與E點重合，∵，∴，∴，故C選項正確；對D選項，∵，∴的平分線與BC垂直，∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由A選項分析知，∴根據向量數量積的幾何意義知，∴，故D選項正確．故選：ACD．12.已知函數，則（）A.當時，函數最小值為B.當時，函數的極大值點為C.存在實數使得函數在定義域上單調遞增D.若恒成立，則實數的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗因為函數，則，其中，當時，則，令，可得，當時，，則函數單調遞減，當時，，則函數單調遞增，當時，有極小值，即最小值，故A正確；當時，則，令，可得，當時，，則函數單調遞減，當時，，則函數單調遞增，當時，函數有極小值，則為極小值點，故B錯誤；假設存在實數使得函數在定義域上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因為的值域為，所以函數無最小值，故不存在實數使得函數在定義域上單調遞增，故C錯誤；若恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當時，，則函數單調遞減，當時，，則函數單調遞增，當時，有極小值，即最小值，所以，故D正確；故選：AD三.填空題13.已知向量，則與夾角的大小為_____________．〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即與的夾角為.故〖答案〗為：.14.已知，若，，則=．〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，，整理得解得或（舍去）因此，因為，所以，，15.已知函數，則______．〖答案〗〖解析〗由已知，，則所以，，所以，.故〖答案〗為：.16.已知，，則______.〖答案〗〖解析〗由同角三角函數的平方關系及已知條件可知：，當，此時，不合題意；當，符合題意；所以.故〖答案〗為：.四.解答題17.如圖，平行四邊形的對角線AC和BD交于點M，E在BC上，且，直線DE與AB的延長線交于點F，記，．（1）試用，表示、；（2）試用，表示．解：（1）平行四邊形的對角線AC和BD交于點M，，.（2）點E在BC上，且，，則，于是，即，，所以18.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面積．解：（1）因，則，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以.（2）在中，AD平分并交BC于D，則，而，顯然有，即，則，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，所以的面積.19.設數列的前n項和為，已知，，成等差數列，且.（1）求的通項公式；（2）若，的前n項和為，若對任意正整數n，不等式恒成立，求的最小值.（1）解：因為，，成等差數列，所以，即，當時，，即，由，得，所以數列是以為公比的等比數列，則，即，所以，所以；（2）解：，則，因為恒成立，所以，所以的最小值.20.已知數列的前項和為（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和．解：（1）因為，，所以數列是首項為，公差為的等差數列，則，所以，當時，，當時，上式也成立，所以；（2），，，兩式相減得，所以.21.已知函數存在兩個極值點.（1）求的取值范圍；（2）求的最小值.解：（1）由題意知：定義域為，；令，則有兩個不等正根，，解得：，實數的取值范圍為.（2）由（1）知：，是的兩根，則；；令，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；，即的最小值為.22.設函數．（1）討論的單調性;（2）若，求證：．（1）解：由題，①當時，，令則，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；②當時，令則，：當，即時，在當和時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當，即時，，單調遞增