2023-2024學(xué)年浙江省嘉興市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省嘉興市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)．3．所必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．選擇題部分一、選擇題I：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．兩條平行直線：與：之間的距離是（

）A．0 B． C．1 D．3．已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，設(shè)命題甲是：“是定值”，命題乙是：“點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓”，那么甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則平面的一個(gè)法向量為（

）A． B． C． D．5．已知圓：與圓：外切，則的值為（

）A．1 B．5 C．9 D．216．如圖，在三棱錐O-ABC中，點(diǎn)P，Q分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段PQ上一點(diǎn)，且，若記，，，則等于（）A． B．C． D．7．圓與的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在直線上，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題II：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．已知橢圓：，在下列結(jié)論中正確的是（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8 B．焦距為C．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．離心率為10．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則C．直線的方向向量為，平面的法向量為，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則11．已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．圓的圓心坐標(biāo)為 B．直線過定點(diǎn)C．直線與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為 D．直線與圓可以相切12．已知橢圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)（

）A．若的面積為，則的最大值為9B．若的坐標(biāo)為，則過的橢圓的切線方程為C．若過的直線交于不同兩點(diǎn)，，設(shè)，的斜率分別為，，則D．若，是橢圓的長(zhǎng)軸上的兩端點(diǎn)，不與，重合，且，，則點(diǎn)的軌跡方程為非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．圓的方程為，則該圓的半徑為．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)、，若橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)，且為等邊三角形，則是．15．已知空間向量，，則向量在向量上投影向量的坐標(biāo)是．16．在正方體中，動(dòng)點(diǎn)在線段上，，分別為，的中點(diǎn)．若異面直線與所成角為，則的取值范圍為．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知直線：，直線：．其中，均不為0．(1)若，求的值；(2)若，求的值．18．已知，．(1)求與夾角的余弦值；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．19．如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面，，分別為，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面所成角的余弦值．20．給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑是的圓為橢圓的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓和其“準(zhǔn)圓”的方程；(2)若點(diǎn)，是橢圓的“準(zhǔn)圓”與軸的兩交點(diǎn)，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．21．已知圓的圓心在直線：上，并且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．已知點(diǎn)到直線：的距離和它到定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過作曲線的兩條切線分別切于點(diǎn)與點(diǎn)，試求三角形面積的最小值．（二次曲線在其上一點(diǎn)處的切線為）1．B【分析】寫出直線斜截式，根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系確定傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，設(shè)傾斜角為且，則，所以.故選：B2．B【分析】利用平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，兩平行線間的距離為，故選：B3．B【分析】解決這道題目首先要了解充分，必要條件的概念，小范圍是大范圍是充分條件，大范圍是小范圍的必要條件，若二者范圍相同，則為充要條件，若不是包含關(guān)系，則既不充分也不必要。由題目可知，命題甲得出，而命題乙橢圓的定義得出，從而可得到甲是乙的必要不充分條件【詳解】是定值有兩種情況，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，或，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，所以命題甲不一定能夠推出命題乙，反之，如果點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，則根據(jù)橢圓定義可得出為定值，綜上可得，命題甲是命題乙的必要不充分條件故選：B4．A【分析】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，利用列方程求解即可.【詳解】由已知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，取，解得，選項(xiàng)A符合，另外選項(xiàng)BCD中的向量與選項(xiàng)A中的向量不共線.故選：A.5．A【分析】根據(jù)圓心距等于半徑和求解即可.【詳解】因?yàn)閳A：與圓：外切，所以，解得.故選：A.6．A【分析】根據(jù)題意，由空間向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故選：A7．D【分析】已知兩圓方程，可先讓兩圓方程作差，得到其公共弦的方程，然后再計(jì)算圓心到直線的距離，再結(jié)合勾股定理即可完成弦長(zhǎng)的求解.【詳解】已知圓，圓，兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：：，而圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以，所以.故選：D.8．C【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式和離心率公式計(jì)算求解.【詳解】由已知設(shè)，則，則，又，兩式做差可得，整理得，則.故選：C.9．ABD【分析】先確定的值，然后根據(jù)橢圓性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由已知得，則，故橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率，故ABD正確，故選：ABD.10．AB【分析】利用空間位置關(guān)系的向量證明來逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：，故，即，A正確；對(duì)于B：，故，即，B正確；對(duì)于C：明顯不存在實(shí)數(shù)，使，即不共線，則不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，即不垂直，則不成立，D錯(cuò)誤.故選：AB.11．ABC【分析】根據(jù)圓的方程直接求出圓心判斷A，直線恒過定點(diǎn)判斷B，利用垂徑定理結(jié)合圓的性質(zhì)求出最短弦長(zhǎng)判斷C，利用直線恒過圓內(nèi)定點(diǎn)判斷D.【詳解】對(duì)于A，圓的圓心坐標(biāo)為，正確；對(duì)于B，直線方程即，由可得，所以直線過定點(diǎn)，正確；對(duì)于C，記圓心，直線過定點(diǎn)，則，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)直線截圓所得的弦長(zhǎng)最小，此時(shí)弦長(zhǎng)為，正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓必相交，錯(cuò)誤.故選：ABC12．BD【分析】A：根據(jù)題意結(jié)合橢圓縱坐標(biāo)的取值范圍分析運(yùn)算；B：設(shè)切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合運(yùn)算求解；C：利用點(diǎn)差法分析運(yùn)算；D：利用點(diǎn)差法的結(jié)論分析得，運(yùn)算求解.【詳解】由橢圓方程知：，設(shè)點(diǎn)，A：，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為短軸上的頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，錯(cuò)；B：顯然過處切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去y得，則，整理得，解得，故過處切線方程為，即，對(duì)；C：設(shè)，則，，則，兩式相減得，則，即，錯(cuò)；D：當(dāng)不與重合時(shí)，由C知：，由，，則，所以，設(shè)，則，，可得，整理得；當(dāng)與重合時(shí)，滿足題意，符合上式；綜上：的方程為，對(duì).故選：BD.方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)的軌跡常用方法，1.直接法：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，代入其滿足的等式化簡(jiǎn)整理；2.定義法：根據(jù)題意分析動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，結(jié)合已知曲線的定義，進(jìn)而求軌跡方程；3.相關(guān)點(diǎn)法：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入相關(guān)點(diǎn)滿足的等式化簡(jiǎn)整理；4.參數(shù)法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再消去參數(shù)，從而得到軌跡方程.13．【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式即可得答案.【詳解】圓的方程為，即，故則該圓的半徑為.故答案為.14．3【分析】先確定，然后根據(jù)為等邊三角形得到，帶入已知計(jì)算即可.【詳解】由已知得，則，又為等邊三角形，則，即所以，解得.故答案為.15．【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合已知求向量在向量上投影向量的坐標(biāo).【詳解】由投影向量定義知：向量在向量上投影向量.故16．【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求異面直線的夾角范圍即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，設(shè)，則，則．當(dāng)時(shí)，取到最大值，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)．所以的取值范圍為．故17．(1)；(2).【分析】（1）由兩線垂直的判定列方程，即可求值；（2）由兩線平行的判定列方程，即可求值，注意或；【詳解】（1）由，則，得.（2）由，則，故，其中（或）．18．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)空間向量夾角公式求得正確答案.（2）根據(jù)列方程，從而求得的值.【詳解】（1）.（2）由于，所以，所以，，解得或.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用中位線可得平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面所成的角.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，且，又底面為正方形，且為中點(diǎn)，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）由平面，平面，可得，又正方形中，故兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，，，，故，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可取，設(shè)平面與平面所成角為，則，∴平面與平面所成角的余弦值為．20．(1)橢圓的方程為，其“準(zhǔn)圓”方程為；(2).【分析】（1）根據(jù)已知求橢圓方程中的參數(shù)，即得橢圓方程，再由“準(zhǔn)圓”定義寫出對(duì)應(yīng)“準(zhǔn)圓”的方程；（2）設(shè)，寫出，坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得，結(jié)合是橢圓上及其有界性，即可求范圍.【詳解】（1）由題意知，且，可得，故橢圓的方程為，其“準(zhǔn)圓”方程為．（2）由題意，設(shè)，則有，不妨設(shè)，，所以，，所以，又，則，所以的取值范圍是．

21．(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)寫出的垂直平分線的方程，結(jié)合已知圓心在直線:上，聯(lián)立求圓心，并確定半徑，即得方程；（2）根據(jù)已知得，再由圓心到直線的距離求參數(shù)范圍.【詳解】（1）因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，且，所以的垂直平分線為，即，由，得，所以圓心，則半徑，所以圓：．（2）如圖，由得，所以，

所以圓心到直線的距離，則，解得所以的取值范圍