廣東省梅州市豐順縣石江中學2022-2023學年九年級下學期2月月考數學試題

2022-2023學年度第二學期梅州市豐順縣石江九年級數學2月測試題一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．若方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是關于x的一元二次方程，則m的值為（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．不存在2．點（a，﹣3）關于原點的對稱點是（2，3），則a的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．33．已知點A（a，﹣2），B（3，b）關于原點對稱，則a﹣b的值為（）A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣34．受世界經濟下滑的影響，某服裝廠今年9月的月產值為60萬元，11月下降到28萬元，若設這兩個月平均每月減少產值的百分率為x，則可得方程（）A．60（1﹣x）2＝28 B．60（1﹣x）＝28 C．60（1+x）2＝28 D．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝285．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．若方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數根為α，β，則α+β的值為（）A．12 B．3 C．7 D．47．將拋物線y＝﹣0.5x2向左平移2個單位長度，再向下平移5個單位得到的拋物線是（）A．y＝﹣0.5（x﹣2）2﹣5 B．y＝﹣0.5（x﹣2）2+5 C．y＝﹣0.5（x+2）2+5 D．y＝﹣0.5（x+2）2﹣58．方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝09．規(guī)定：在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度α（0°＜α＜180°）后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，轉動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉角．例如：正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉90°或180°后，能與自身重合，所以正方形是旋轉對稱圖形，且有兩個旋轉角．針對以上“規(guī)定”，甲、乙、丙同學展開了討論：甲說：“正五邊形是旋轉對稱圖形，但不是中心對稱圖形”；乙說：“等腰三角形是旋轉對稱圖形”；丙說：“圓是旋轉對稱圖形，且有很多個旋轉角”．下列說法正確的是（）A．三人說法都對 B．三人說法都不對 C．只有乙說法錯誤 D．甲說法不對，丙說法對10．下列方程中：①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．一元二次方程共有（）個A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（共7小題）11．甲、乙兩人分別從A，B，C這3個景點隨機選擇2個景點游覽，甲、乙兩人選擇的2個景點恰好相同的概率是．12．如圖，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4，點D的坐標是（6，0），∠BDO＝15°，將△BDE旋轉到△ABC的位置，點C在BD上，則旋轉中心的坐標為．13．甲、乙、丙、丁四人外出旅游時準備站成一排拍照合影留念，則甲和丁相鄰的概率為．14．若點A（3，y1），B（﹣5，y2），C（7，y3）為二次函數y＝（x+2）2﹣9的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關系是．15．如圖，將Rt△ABC繞直角邊AC的中點H旋轉，得到△EFD．若△EFD的直角頂點D落在△ABC的斜邊AB上，EF與AC交于點G，且△EGH恰好是以GH為底邊的等腰三角形，則∠A＝．16．如圖，BC為⊙O的直徑，P為CB延長線上的一點，過P作⊙O的切線PA，A為切點，PA＝4，PB＝2，則⊙O的半徑等于．17．若點A（3，n）關于y軸對稱的點為（﹣3，2），則點A關于原點對稱的點的坐標是．三、解答題（共8小題）18．解方程：（1）16（x+3）2﹣16＝0；（2）x（2x+3）＝4x+6．19．解方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0；（2）（x+2）2＝2x+3．20．某商場購進一批進價為20元/件的日用品，第一個月，按進價提高50%的價格出售，售出了400件．第二個月，該商場準備在不低于原售價的基礎上進行加價銷售，根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量誠少，銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）（x為整數）的關系如圖所示．（1）圖中點Q所表示的實際意義是；（2）求出圖中字母a的值，并求出y與x之間的函數解析式；（3）第二個月日用品的銷售單價定為元/件時，可獲得最大利潤，最大利潤是元．21．如圖，點A.B.C在⊙O上，∠ABC＝60°，直線AD∥BC，AD＝AB，點O在BD上．（1）判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為4，求弦BC的長．22．如圖，在Rt△ABC中，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點D，E，連接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若CD＝AE＝2，，求⊙O的半徑．23．某商品的進價為每件30元，現(xiàn)在的售價為每件45元，每月可賣出1500件，市場前期調查反映，如調整價格，每漲1元，每月少賣出60件，每月銷量不少于1200件．（1）每件售價最高為多少元？（2）實際銷售時，發(fā)現(xiàn)商品積壓較多，為盡快減少庫存，經重新調查評估，發(fā)現(xiàn)每件在最高售價的基礎上降價銷售，每降1元，每月銷量比最低銷量1200件多賣120件，要使利潤達到25920元，則每件應降價多少元？24．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于點A（6，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C，連接BC，過點A.C作直線AC．（1）求拋物線的函數解析式．（2）點P為直線AC下方拋物線上一動點，過點P作PF⊥AC交AC于點F，過點P作PE∥AC交x軸于點E，求AE+PF的最大值及此時點P的坐標．（3）在（2）問的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣3沿射線CB方向平移個單位長度得到新拋物線y'，新拋物線y'與原拋物線交于點M；連接CP，把線段CP沿直線AC平移，記平移后的線段為C'P'，當以C'，P'，M為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出所有符合條件的P'點的坐標．25．如圖1，已知拋物線Fl：y＝﹣x2+2x+3交x軸于A.B兩點，與y軸交于點C，拋物F2：y＝x2+bx+c經過點A，B，點P是射線CB上一動點．（1）求拋物線F2和直線BC的函數表達式．（2）如圖2，過點P作PE上BC交拋物線Fl第一象限部分于點E，作EF∥AB交BC于點F，求△PEF面積的最大值及此時點E的坐標．（3）拋物線Fl與F2在第一象限內的圖象記為“圖象Z”，過點P作PG∥y軸交圖象Z于點G，是否存在這樣的點P，使△CPG與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點P的橫坐標．

參考答案1．解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是關于x的一元二次方程，∴|m|＝2，且m﹣2≠0．解得m＝﹣2．故選：B．2．解：∵點（a，﹣3）關于原點的對稱點是（2，3），∴a＝﹣2，故選：A．3．解：∵點A（a，﹣2）與點B（3，b）關于原點對稱，∴a＝﹣3，b＝2，∴a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5．故選：C．4．解：根據題意得60（1﹣x）2＝28．故選：A．5．解：A.不是軸對稱圖形，是中線對稱圖形，不符合題意；B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C.既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；D.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：C．6．解：∵α，β是方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數根，∴α+β＝3．故選：B．7解：拋物線y＝﹣0.5x2的頂點坐標為（0，0），把點（0，0）向左平移2個單位，再向下平移5個單位得到點的坐標為（﹣2，﹣5），所以平移后的拋物線解析式為y＝﹣0.5（x+2）2﹣5．故選：D．8．解：x2＝2x，x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，∴x＝0，x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2，故選：D．9．解：甲說：“正五邊形是旋轉對稱圖形，但不是中心對稱圖形”正確；乙說：“等腰三角形是旋轉對稱圖形”說法錯誤；丙說：“圓是旋轉對稱圖形，且有很多個旋轉角”正確．故選：C．10．解：①x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程；②a＝0時，ax2+bx+c＝0是一元一次方程；③+3x﹣5＝0是分式方程；④﹣x2＝0是一元二次方程；⑤（x﹣1）2+y2＝2是二元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2是一元一次方程，故選：B．二、填空題（共7小題）11．解：用樹狀圖表示如下：共有9種可能的結果，其中甲、乙兩人選擇的2個景點恰好相同的有3種結果，∴甲、乙兩人選擇的2個景點恰好相同的概率是，故答案為：．12．解：如圖，AB與BD的垂直平分線的交點即為旋轉中心P，連接PD，過P作PF⊥x軸于F，∵點C在BD上，∴點P到AB.BD的距離相等，都是BD，即×4＝2，∴∠PDB＝45°，PD＝×2＝2，∵∠BDO＝15°，∴∠PDO＝45°+15°＝60°，∴∠DPF＝30°，∴DF＝PD＝×2＝，∵點D的坐標是（6，0），∴OF＝OD﹣DF＝6﹣，由勾股定理得，PF＝＝，∴旋轉中心的坐標為（6﹣，）．故答案為：（6﹣，）．13．解：畫樹狀圖如下：共有24種等可能的情況，其中甲和乙相鄰的情況有12種，∴甲和乙相鄰的概率為，故答案為：．14．解：∵y＝（x+2）2﹣9，∴圖象的開口向上，對稱軸是直線x＝﹣2，∴B（﹣5，y2）關于直線x＝﹣2的對稱點是（1，y2），∵1＜3＜7，∴y2＜y1＜y3，故答案為：y2＜y1＜y3．15．解：∵Rt△ABC繞直角邊AC的中點H旋轉，得到△EFD，∴，∠A＝∠E，∴∠A＝∠ADH，∴∠GHE＝∠A+∠ADH＝2∠A，∵△EGH恰好是以GH為底邊的等腰三角形，∴∠EGH＝∠EHG＝2∠A，∵∠EGH+∠EHG+∠E＝180°，∴2∠A+2∠A+∠A＝180°，∴∠A＝36°．故答案為：36°．16．解：連接OA，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°，∵PA＝4，PB＝2，在Rt△PAO中，PO2＝PA2+AO2，即（BO+2）2＝42+AO2，∴（AO+2）2＝42+AO2，解得AO＝3，故答案為：3．17．解：∵點A（3，n）關于y軸對稱的點的坐標為（﹣3，2），∴n＝2，∴A坐標為（3，2），∴點A關于原點對稱的坐標是（﹣3，﹣2）．故答案為：（﹣3，﹣2）．18．解：（1）16（x+3）2﹣16＝0移項，得16（x+3）2＝16，則（x+3）2＝1，∴x+3＝±1，解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4；（2）x（2x+3）＝4x+6則x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，∴（x﹣2）（2x+3）＝0，∴x﹣2＝0或2x+3＝0，解得：．19．解：（1）方程分解因式得：（x+2）（x﹣6）＝0，可得x+2＝0或x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6；（2）方程變形得：（x+3）2﹣2（x+3）＝0，分解因式得：（x+3）（x+1）＝0，可得x+3＝0或x+1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1．20．解：根據題意可得：點Q（35，300）表示的實際意義為：當銷售單價為35元/件時，每個月的銷售量為300件，故答案為：當銷售單價為35元/件時，每個月的銷售量為300件；（2）由題意可得：a＝20+20×50%＝30，設y＝kx+b，把（30，400），（35，300）代入得：，解得：，∴y＝﹣20x+1000（30≤x＜50）；（3）設銷售利潤為W元，則根據題意可得：W＝（x﹣20）（﹣20x+1000）＝﹣20（x﹣35）2+4500，∵﹣20＜0，且30≤x＜50，∴當x＝35時，W有最大值，最大值為4500；故答案為：35，4500．21．解：（1）直線AD與圓O相切．理由如下：連接OA，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABD＝30°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與圓O相切；（2）連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴OH＝OB＝3，在Rt△BOH中，BH＝＝＝3，∴BC＝2BH＝6．22．（1）證明：連接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，則AD為圓O的切線；（2）∵CD＝AE＝2，AC＝2，∴AD＝＝4，∵AD為圓O的切線；∴AD2＝AE?AB，∴16＝2AB，∴AB＝8，∴BE＝AB﹣AE＝6，∴OB＝3，∴⊙O的半徑為3．23．解：（1）設每件的售價為x元，依題意得：1500﹣60（x﹣45）≥1200，解得：x≤50．答：每件售價最高為50元．（2）設每件應降價y元，則每件的銷售利潤為（50﹣y﹣30）元，每周的銷售量為（1200+120y）件，依題意得：（66﹣y﹣40）（240+20y）＝25920，解得：y1＝2，y2＝8．又∵要盡快減少庫存，∴y＝8．答：每件應降價8元．24．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于點A（6，0），B（﹣1，0），∴拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣6）＝ax2﹣5ax﹣6a，∴﹣6a＝﹣3，∴a＝，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣3；（2）令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵A（6，0），∴OA＝6，直線AC的解析式為：y＝x﹣3，∴AC＝3，tan∠OAC＝，cos∠OAC＝；如圖，分別過點A，P作y軸的平行線，分別交AC于點Q，交PE于點G，∵PE∥AC，∴四邊形PQAG是平行四邊形，∴AG＝PQ；∵PQ∥y軸，∴∠OCA＝∠PQF，∴∠OAC＝∠FPQ，∴cos∠OAC＝cos∠FPQ＝；∴PF＝PQ，∵PE∥AC，∴∠AEG＝∠OAC，∴tan∠AEG＝tan∠OAC＝，∴AE＝2AG＝2PQ，∴AE+PF＝PQ+2PQ；設點P的橫坐標為t，則P（t，t2﹣t﹣3），Q（t，t﹣3），∴PQ＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣3）2+，∴當t＝3時，PQ的最大值為；∴AE+PF的最大值為：+9；此時P（3，﹣6）；（3）將拋物線y＝x2﹣x﹣3沿射線CB方向平移個單位長度，即先向左平移1個單位，再向上平移3個單位，∵拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣；∴y′＝（x﹣+1）2﹣+3＝（x﹣）2+；令（x﹣）2﹣＝（x﹣）2+，解得x＝﹣1，∴M（﹣1，0）；將線段CP沿直線AC平移到線段C'P'，則設C′（﹣2m，﹣3﹣m），則P′（3﹣2m，﹣6﹣m），∵M（﹣1，0），∴C′P′＝3，C′M2＝（2m﹣1）2+（m+3）2，C′P＝（2m﹣4）2+（6+m）2，若以C'、P'、M為頂點的三角形是等腰三角形，則需要分以下三種情況：①當C′P′＝C′M時，18＝（2m﹣1）2+（m+3）2，整理得，5m2+2m﹣8＝0，解得m＝﹣+或m＝﹣﹣，∴P′（，）或（，）；②當C′P′＝C′P時，18＝（2m﹣4）2+（6+m）2，整理得，5m2﹣4m+34＝0，無解；③當C′M＝C′P時，（2m﹣1）2+（m+3）2＝（2m﹣4）2+（6+m）2，解得m＝7，∴P′（﹣11，﹣13）；綜上，符合題意的點P′的坐標為：（，）或（，）或（﹣11，﹣13）．25．解：（1）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝﹣1或x＝3，令x＝0得y＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴拋物線F2的函數表達式y(tǒng)＝x2﹣x﹣，設直線BC解析式為y＝tx+