卡爾曼濾波介紹

卡爾曼濾波卡爾曼濾波的來源談到信號的分析與解決，就離不開濾波兩個字。普通，信號的頻譜處在有限的頻率范疇內(nèi)，而噪聲的頻譜則散布在很廣的頻率范疇內(nèi)，為了消除噪聲，能夠把FIR濾波器或者IIR濾波器設(shè)計成適宜的頻帶濾波器，進(jìn)行頻域濾波。但在許多應(yīng)用場合，需要直接進(jìn)行時域濾波,從帶噪聲的信號中提取有用信號。即使這樣的過程其實也算是對信號的濾波，但其所根據(jù)的理論，即針對隨機(jī)信號的預(yù)計理論,是自成體系的.人們對于隨機(jī)信號干擾下的有用信號不能“確知”，只能“預(yù)計”.為了“預(yù)計"，要事先擬定某種準(zhǔn)則以評定預(yù)計的好壞程度.最小均方誤差是一種慣用的比較簡樸的典型準(zhǔn)則。對于平穩(wěn)時間序列的最小均方誤差預(yù)計的第一種明確解是維納在1942年2月首先給出的.當(dāng)時美國的一種戰(zhàn)爭研究團(tuán)體發(fā)表了一種秘密文獻(xiàn)，其中就涉及維納有關(guān)濾波問題的研究工作，這項研究是用于防空火力控制系統(tǒng)的.維納濾波器是基于最小均方誤差準(zhǔn)則的預(yù)計器。為了謀求維納濾波器的沖激響應(yīng),需規(guī)定解出名的維納–霍夫方程。這種濾波理論所求的是使均方誤差最小的系統(tǒng)最佳沖激響應(yīng)的明確體現(xiàn)式。從維納–霍夫方程來看，維納濾波算法是十分低效的。這種算法規(guī)定設(shè)立大量的存儲器來保存過去的測量數(shù)據(jù),一種新的數(shù)據(jù)到來后，要進(jìn)行刷新，重新計算自有關(guān)和互有關(guān)序列。再者，求解這個方程需要耗費大量時間對高階矩陣求逆。因此,維納濾波算法難以運(yùn)用于實時解決中，特別是無法用于軍事、航空航天等領(lǐng)域。為此,許多科技工作者進(jìn)行了多方探索，但在解決非平穩(wěn)過程的濾波問題時,能給出的辦法極少。到20世紀(jì)50年代中期，隨著空間技術(shù)的發(fā)展，規(guī)定對衛(wèi)星軌道進(jìn)行精確地測量，這種辦法越來越不能滿足實際應(yīng)用的需要。為此，人們將濾波問題以微分方程表達(dá),提出了一系列適應(yīng)空間技術(shù)應(yīng)用的精煉算法。1960年和1961年，卡爾曼（R.E.Kalman）和布西（R.S。Bucy)提出了遞推濾波算法，成功的將狀態(tài)變量引入到濾波理論中來，用消息與干擾的狀態(tài)空間模型替代了普通用來描述它們的協(xié)方差函數(shù)，將狀態(tài)空間描述與離散數(shù)間刷新聯(lián)系起來，適于計算機(jī)直接進(jìn)行計算，而不是去謀求濾波器沖激響應(yīng)的明確公式。這種辦法得出的是表征狀態(tài)預(yù)計值及其均方誤差的微分方程，給出的是遞推算法。這就是出名的卡爾曼理論?？柭鼮V波不規(guī)定保存過去的測量數(shù)據(jù)，當(dāng)新的數(shù)據(jù)到來時，根據(jù)新的數(shù)據(jù)和前一時刻的儲值的預(yù)計，借助于系統(tǒng)本身的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，按照一套遞推公式，即可算出新的估值。這一點闡明卡爾曼濾波器屬于IIR濾波器的范疇。這就是說，與維納濾波器不同，卡爾曼濾波器能夠運(yùn)用先前的運(yùn)算成果，再根據(jù)現(xiàn)在數(shù)據(jù)提供的最新消息,即可得到現(xiàn)在的估值?？柭f推算法大大減少了濾波裝置的存儲量和計算量,并且突破了平穩(wěn)隨機(jī)過程的限制,使卡爾曼濾波器合用于對時變信號的實時解決?？柭鼮V波的原理卡爾曼濾波的含義是現(xiàn)時刻的最佳預(yù)計為在前一時刻的最佳預(yù)計的基礎(chǔ)上根據(jù)現(xiàn)時刻的觀察值作線性修正?？柭鼮V波在數(shù)學(xué)上是一種線性最小方差統(tǒng)計估算辦法，它是通過解決一系列帶有誤差的實際測量數(shù)據(jù)而得到物理參數(shù)的最佳估算.其實質(zhì)要解決的問題是要尋找在最小均方誤差下的預(yù)計值。它的特點是能夠用遞推的辦法計算，其所需數(shù)據(jù)存儲量較小，便于進(jìn)行實時解決。具體來說，卡爾曼濾波就是要用預(yù)測方程和測量方程對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)計。設(shè)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程分別為：上兩式子中，是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，和是k—1時刻到k時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是k時刻的測量值，是測量系統(tǒng)的參數(shù)，和分別表達(dá)過程和測量的噪聲，他們被假設(shè)成高斯白噪聲。如果被預(yù)計狀態(tài)和觀察量是滿足上述第一式，系統(tǒng)過程噪聲和觀察噪聲滿足第二式的假設(shè),k時刻的觀察的預(yù)計可按下述方程求解.進(jìn)一步預(yù)測:（1)狀態(tài)預(yù)計：（2)濾波增益矩陣：（3)一步預(yù)測誤差方差陣：（4)預(yù)計誤差方差陣：(5）上述就是卡爾曼濾波器的5條基本公式，只有給定初值和,根據(jù)k時刻的觀察值，就能夠遞推計算得k時刻的狀態(tài)預(yù)計（K=1，2，N）?？柭鼮V波的發(fā)展自卡爾曼濾波提出以來，通過40數(shù)年的發(fā)展，卡爾曼濾波已經(jīng)形成了一種比較完整的理論體系,并且成功應(yīng)用于航空航天、工業(yè)控制等領(lǐng)域，美國空軍還將卡爾曼濾波定為原則濾波器。但是,隨著應(yīng)用領(lǐng)域的不停擴(kuò)大，濾波對象不擬定性的不停提高,傳統(tǒng)KF已經(jīng)不能滿足更高的規(guī)定，它的重要局限性在于：(1）濾波限制條件比較苛刻，它規(guī)定系統(tǒng)模型精確以及系統(tǒng)誤差模型和觀察誤差模型已知,這在實際應(yīng)用中是很難滿足的，或者在系統(tǒng)工作過程中，模型發(fā)生變化，這些都造成傳統(tǒng)KF的濾波發(fā)散或精度下降。(2）計算機(jī)字長的限制,這種狀況可能造成計算過程中出現(xiàn)舍入誤差，從而造成方差陣P(k｜k)不對稱引發(fā)濾波發(fā)散.(3)觀察數(shù)據(jù)發(fā)生突變，由于傳感器故障或外部條件發(fā)生變化，極有可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)突變，即野值,這會對濾波器的收斂性產(chǎn)生嚴(yán)重影響，甚至造成發(fā)散，能夠說，野值是對濾波器穩(wěn)定性的一種考驗。針對上述局限性,諸多學(xué)者提出了不同的辦法加以克服，如限定記憶法、平方根濾波、漸消記憶濾波、自適應(yīng)卡爾曼濾波（AdaptiveKalmanFiltering,AKF)、抗野值濾波等.其中,AKF由于含有自適應(yīng)特性非常適合動態(tài)系統(tǒng)濾波而受到廣泛重視。因此，在采用卡爾曼濾波解決動態(tài)測量數(shù)據(jù)時，普通都要考慮采用適宜的自適應(yīng)濾波辦法來解決這一問題。自適應(yīng)卡爾曼濾波最新發(fā)展的幾個分支涉及:有關(guān)自適應(yīng)卡爾曼濾波、多模型自適應(yīng)卡爾曼濾波、基于信息的自適應(yīng)卡爾曼濾波、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)卡爾曼濾波、含糊邏輯自適應(yīng)卡爾曼濾波。有關(guān)法是最基本的一種AKF辦法,在許多文獻(xiàn)中都有具體的敘述,有關(guān)法分為兩類：輸出有關(guān)法和信息有關(guān)法。輸出有關(guān)法的重要思想是運(yùn)用觀察向量的有關(guān)性M（k)=E［Z(k)ZT（k)]自適應(yīng)調(diào)節(jié)增益矩陣K（k)，這種辦法的重要缺點是計算復(fù)雜,實時性難以滿足規(guī)定.對于高動態(tài)系統(tǒng)(如GPS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)）,這種復(fù)雜性就更加突出.信息有關(guān)法自適應(yīng)濾波的重要思想是運(yùn)用信息的有關(guān)性M(k)=E［（V（k）VT(k）］自動調(diào)節(jié)增益矩陣K（k），其中V（k）=Z(k)—C（k）X^（k）。信息有關(guān)法比輸出有關(guān)法更加有效，由于信息更能反映觀察數(shù)據(jù)特性，但是信息有關(guān)法計算復(fù)雜度卻有所增加，很難滿足工程需要。但是在高動態(tài)系統(tǒng)中(如GPS/INS組合導(dǎo)航、靶場數(shù)據(jù)測量等)，測量數(shù)據(jù)經(jīng)常發(fā)生突變產(chǎn)生野值，造成狀態(tài)預(yù)計明顯偏離真實狀態(tài)?？挂爸档腁KF通過對信息的監(jiān)測判斷與否有野值出現(xiàn)，當(dāng)有野值出現(xiàn)時，通過自適應(yīng)調(diào)節(jié)增益矩陣，達(dá)成消除野值影響的目的,虛警概率為4.5%。這種辦法不僅能夠消除野值的影響，并且還能夠用于對傳感器的故障診療。但是它僅僅解決了由于野值引發(fā)濾波發(fā)散的狀況，而對其它因素引發(fā)的濾波發(fā)散無能為力。如果將這種辦法與其它AKF辦法結(jié)合,那么將得到更完善的自適應(yīng)濾波辦法.多模型AKF(MultipleModelAKF）最早由Magill在1965年提出的。它由一組卡爾曼濾波器構(gòu)成，每一種卡爾曼濾波器使用不同的系統(tǒng)模型，各個卡爾曼濾波器并行運(yùn)行,根據(jù)觀察向量預(yù)計各自的狀態(tài)。隨著時間的不停增加,系統(tǒng)會選出最優(yōu)的一種濾波器并將其權(quán)值增大，而其它權(quán)值對應(yīng)減小.多模型AKF性能最優(yōu)的前提條件是所用的模型集包含了系統(tǒng)全部可能的模式，但是這個前提條件往往是很難滿足的?；谛畔⒌腁KF重要是通過調(diào)節(jié)噪聲統(tǒng)計特性達(dá)成自適應(yīng)的目的，解決了由于噪聲統(tǒng)計特性不明確或噪聲發(fā)生變化的狀況。但是對于系統(tǒng)其它模型發(fā)生變化不能達(dá)成自適應(yīng)的目的?？柭鼮V波器需要精確已知系統(tǒng)模型才干得到系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)預(yù)計，但是這種規(guī)定在實際當(dāng)中很難得到。在上述辦法中,大部分辦法只是對噪聲的統(tǒng)計特性進(jìn)行了自適應(yīng)預(yù)計，如果系統(tǒng)的其它模型不對的或發(fā)生變化時，就不能自適應(yīng)預(yù)計了。將人工智能技術(shù)和濾波技術(shù)融合是濾波技術(shù)的發(fā)展趨勢。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為人工智能技術(shù)中的一種領(lǐng)域,其重要優(yōu)點在于它對系統(tǒng)的模型沒有特別規(guī)定，只要有足夠的用于訓(xùn)練的先驗數(shù)據(jù)，就能夠用訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似替代原系統(tǒng).神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)AKF正是為了滿足這一需求而提出的。AKF是一種很有效的狀態(tài)濾波技術(shù)，已經(jīng)在目的跟蹤、組合導(dǎo)航、故障診療、圖像解決等方面得到成功應(yīng)用。隨著AKF的應(yīng)用范疇不停擴(kuò)大,AKF已經(jīng)成為解決工程濾波（預(yù)計）問題的重要研究方向。AKF的發(fā)展趨勢大概有下列幾個方面：（1）進(jìn)一步研究NNAKF.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與AKF結(jié)合不僅能夠解決模型不擬定問題,并且由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的并行計算，使NNAKF的實時性得到確保。在應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時,尚有許多問題需要進(jìn)一步解決：NNAKF的構(gòu)造、訓(xùn)練樣本的獲取及其魯棒性研究.(2）AKF與其它智能辦法結(jié)合。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、含糊邏輯與AKF結(jié)合使我們看到智能辦法與AKF的結(jié)合是一種很有前途的研究方向。其它的智能辦法涉及專家系統(tǒng)、遺傳算法以及小波變換等.（3）AKF與新辦法的結(jié)合。(4)AKF與自適應(yīng)控制的結(jié)合.(5）尋找對放松假設(shè)條件系統(tǒng)的濾波辦法，如考慮噪聲有關(guān)模型等?，F(xiàn)在的AKF均是在一定的假設(shè)條件下的濾波算法。如果假設(shè)條件發(fā)生變化,或假設(shè)條件不能滿足,AKF就可能失效，即濾波發(fā)散、精度達(dá)不到規(guī)定等。（6）自適應(yīng)算法性能評定。面對如此眾多的AKF，針對特定的濾波對象，如何選擇恰當(dāng)?shù)臑V波算法是另外一種研究方向.其中濾波器的濾波精度、魯棒性、實時性是性能評定的三個重要原則.從工程應(yīng)用角度考慮，魯棒性、實時性規(guī)定比精度規(guī)定更高.卡爾曼濾波的應(yīng)用卡爾曼濾波器（KalmanFilter）是一種最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)解決算法（optimalrecursivedataprocessingalgorithm），它的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超出30年,涉及航空器軌道修正、機(jī)器人系統(tǒng)控制、雷達(dá)系統(tǒng)與導(dǎo)彈追蹤等.近年來更被應(yīng)用于組合導(dǎo)航與動態(tài)定位，傳感器數(shù)據(jù)融合、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用研究領(lǐng)域。特別是在圖像解決領(lǐng)域如頭臉識別、圖像分割、圖像邊沿檢測等現(xiàn)在熱門研究領(lǐng)域占有重要地位.卡爾曼濾波作為一種數(shù)值預(yù)計優(yōu)化辦法，與應(yīng)用領(lǐng)域的背景結(jié)合性很強(qiáng).因此在應(yīng)用卡爾曼濾波解決實際問題時,重要的不僅僅是算法的實現(xiàn)與優(yōu)化問題,更重要的是運(yùn)用獲取的領(lǐng)域知識對被認(rèn)識系統(tǒng)進(jìn)行形式化描述，建立起精確的數(shù)學(xué)模型，再從這個模型出發(fā)，進(jìn)行濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)工作.濾波器實際實現(xiàn)時,測量噪聲協(xié)方差R普通能夠觀察得到，是濾波器的已知條件。它能夠通過離線獲取某些系統(tǒng)觀察值計算出來.普通，難擬定的是過程激勵噪聲協(xié)方差的Q值，由于我們無法直接觀察到過程信號。一種辦法是通過設(shè)定一種適宜的Q，給過程信號“注入”足夠的不擬定性來建立一種簡樸的能夠產(chǎn)生可接受成果的過程模型。為了提高濾波器的性能，普通要按一定原則進(jìn)行系數(shù)的選擇與調(diào)節(jié)。基本卡爾曼濾波（KF）器限定在線性的條件下，在大多數(shù)的非線性情形下,使用擴(kuò)展的卡爾曼濾波(EKF)器來對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)計。隨著卡爾曼濾波理論的發(fā)展，某些實用卡爾曼濾波技術(shù)被提出來，如自適應(yīng)濾波，次優(yōu)濾波以及濾波發(fā)散克制技術(shù)等逐步得到廣泛應(yīng)用.其它的濾波理論也快速發(fā)展，如線性離散系統(tǒng)的分解濾波（信息平方根濾波,序列平方根濾波，UD分解濾波），魯棒濾波（H∞波）。下面給出幾個具體應(yīng)用的例子.GPS變形監(jiān)測動態(tài)數(shù)據(jù)解決中的應(yīng)用：現(xiàn)階段GPS用于變形觀察中，普通是在擬定的瞬間靜態(tài)研究監(jiān)測點的狀態(tài)，而沒有考慮到監(jiān)測點隨時間變化位移的動態(tài)特性。并且在觀察過程中,觀察數(shù)據(jù)往往不持續(xù)，這樣就無法對動態(tài)變形進(jìn)行實時精確描述?？柭鼮V波(Kalman，1960）是現(xiàn)在應(yīng)用最廣的一種動態(tài)數(shù)據(jù)解決辦法，它含有最小無偏方差。在GPS變形監(jiān)測中，如果將變形體視為一種動態(tài)就能夠用來描述這個變形體的運(yùn)動狀況。并能在這個系統(tǒng)中分別找出表達(dá)它們的狀態(tài)參數(shù)與其觀察值之間的函數(shù)關(guān)系,那么就能夠運(yùn)用卡爾曼濾波來削弱隨機(jī)噪聲的干擾，進(jìn)而達(dá)成提高GPS變形觀察數(shù)據(jù)精度的目的.當(dāng)代汽車中的懸架分為從動懸架和主動懸架兩種.從動懸架即傳統(tǒng)式的懸架，是由彈簧、減震器、導(dǎo)向機(jī)構(gòu)等構(gòu)成，它的功效是削弱路面?zhèn)鹘o車身的沖擊力，衰減由沖擊力而引發(fā)的承載系統(tǒng)的震動.其中彈簧重要起減緩沖擊力的左右，減震器的作用是衰減震動.從動懸架是由外力驅(qū)動而起作用的.主動懸架是近十幾年發(fā)展起來的由電腦控制的一種新型懸架。主動懸架的控制環(huán)節(jié)中安裝了能夠產(chǎn)生主動力的裝置,采用一種以力克制力的方式來克制路面對車身的沖擊力及車身的傾斜力.汽車的液壓主動懸架系統(tǒng)在控制過程中不可避免的受到噪聲的影響。應(yīng)用卡爾曼濾波對系統(tǒng)的狀態(tài)向量做最優(yōu)預(yù)計，并應(yīng)用到系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋控制中，能夠有效的提高系統(tǒng)的魯棒性,以探測搜索、捕獲跟蹤、激光瞄準(zhǔn)為技術(shù)依靠的機(jī)載光電穩(wěn)定跟蹤系統(tǒng)已成為發(fā)展新一代光電裝備的戰(zhàn)略基點之一，對于國防安全、社會穩(wěn)定、當(dāng)代化生產(chǎn)和生活有著非常重要的意義。在機(jī)載光電穩(wěn)定跟蹤系統(tǒng)中，圖像跟蹤是一種核心技術(shù),直接決定了跟蹤系統(tǒng)的性能。同時，圖像跟蹤也是計算機(jī)視覺領(lǐng)域的一種熱點研究問題，在視覺監(jiān)控、人機(jī)互動、機(jī)器人導(dǎo)航等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.圖像跟蹤辦法大致可分為兩大類:概率跟蹤辦法和擬定性跟蹤辦法。概率跟蹤辦法由于跟蹤性能穩(wěn)定、可靠,已成為圖像跟蹤的主流辦法，卡爾曼濾波和粒子濾波是這類辦法的典型代表?？柭鼮V波對系統(tǒng)模型和后驗分布有嚴(yán)格限制,只能解決線性、高斯、單模態(tài)的狀況。我對卡爾曼濾波的體會通過對卡爾曼濾波有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我對卡爾曼濾波的來源、原理、發(fā)展過程以及在實際中的廣泛應(yīng)用有了全新的認(rèn)識。由于專業(yè)因素，平時在專業(yè)有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)、仿真和項目研究過程中還沒有在實際中用到卡爾曼濾波,在課堂上的學(xué)習(xí)和這次大作業(yè)有關(guān)資料的查閱之后，我總結(jié)了自己對卡爾曼濾波的某些認(rèn)識。下面拋開卡爾曼濾波的公式，用一種簡樸的例子來進(jìn)行闡明。假定我們研究的對象是某個物品在市場上的平均價格，根據(jù)我們的經(jīng)驗，該物品的平均價格不會發(fā)生變化，即是恒定不變的，某天的平均價格和前一天的同樣。但是我們對于我們的經(jīng)驗也不是百分之百的必定,就可能出現(xiàn)上下幾元的偏差，能夠把這個偏差當(dāng)做是我們做信號解決中所碰到的噪聲，若這些偏差和前后時間沒有關(guān)系并且服從高斯分派的，就把這個偏差當(dāng)作是高斯白噪聲。同時，我們會有專門的人員來