重慶市七校2024屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市七校2024屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題1已知集合，，且，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C.或1 D.0〖答案〗A〖解析〗∵集合，，，∴由集合元素的互異性及子集的概念可知，解得實(shí)數(shù)．故選：A．2.命題的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗量詞命題的否定步驟為：“改量詞，否結(jié)論”，所以命題的否定為.故選：C.3.定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以的周期?，令，則，又為奇函數(shù)，所以，∴，，，∴.故選：B.4.若隨機(jī)變量，且，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，解得：；.故選：B.5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè),則函數(shù)在上遞增，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，可得函數(shù)的遞增區(qū)間為，由，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選C.6.若,則在“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡臈l件下,“函數(shù)為奇函數(shù)”的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗用所有的有序數(shù)對表示滿足的結(jié)果，則所有的情況為:,共9種,記“函數(shù)的定義域?yàn)椤睘槭录嗀,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以,恒成立,即,即,其中滿足的基本事件有:共6種,故．記“函數(shù)為奇函數(shù)”為事件B．已知是奇函數(shù),且定義域?yàn)?則,即,即,解得或．滿足或的情況有共3種,所以,即同時(shí)滿足事件A和事件B的情況有共3種,故,所以.故選:C7.已知，則的最小值是（）A.1 B.4 C.7 D.〖答案〗C〖解析〗∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故選：C.8.已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b〖答案〗A〖解析〗由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.二、多選題9.為研究女兒身高與母親身高的關(guān)系，現(xiàn)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得成對樣本數(shù)據(jù)，，下列說法正確的是（）A.落在回歸直線上的樣本點(diǎn)越多，回歸直線方程的擬合效果越好B.樣本相關(guān)系數(shù)越大，變量線性相關(guān)程度越強(qiáng)C.決定系數(shù)越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好D.決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好〖答案〗BD〖解析〗對于A：回歸直線方程擬合效果的好壞是由決定系數(shù)來判斷的，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，且相關(guān)系數(shù)越接近，變量線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故B正確；對于C：決定系數(shù)越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越差，故C錯(cuò)誤；對于D：決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故D正確.故選：BD．10.已知的展開式中共有7項(xiàng)，則（）A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)D.有理項(xiàng)共4項(xiàng)〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)榈恼归_式中共有7項(xiàng)，所以，對于A，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以A正確，對于B，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為，所以B錯(cuò)誤，對于C，由于二項(xiàng)式的展開項(xiàng)共有7項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以C正確，對于D，的展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，展開式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)有4項(xiàng)，所以D正確，故選：ACD11.一個(gè)籠子里關(guān)著10只貓，其中有4只黑貓?6只白貓，把籠子打開一個(gè)小口，使得每次只能鉆出1只貓，貓爭先恐后地往外鉆，如果10只貓都鉆出了籠子，事件表示“第只出籠的貓是黑貓”，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題，，事件表示“第1，2只出籠的貓都是黑貓”，則，故A錯(cuò)誤；事件表示“第1只或第2只出籠的貓是黑貓”，則，故B正確；則，故C正確；事件表示“第2，10只出籠的貓是黑貓”，則，則，故D正確，故選：BCD12.已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)滿足，，則（）A.函數(shù)在上為增函數(shù) B.是函數(shù)的極小值點(diǎn)C.函數(shù)必有2個(gè)零點(diǎn) D.〖答案〗BD〖解析〗函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，，故在上為增函數(shù)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，B正確；若，則沒有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤：在上為增函數(shù)，則，即，化簡得，D正確.故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題13.不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.〖答案〗〖解析〗由題意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則滿足，即，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.14.成都將于2023年7月28日至8月8日舉辦第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會．若將6名志愿者分到3個(gè)場館，一個(gè)1名，一個(gè)2名，一個(gè)3名，則有_________種不同的分法．〖答案〗360〖解析〗根據(jù)先選后排的方法，即先從6人中選出3人成一組，再從剩下的3人選出兩人成一組，最后1人自成一組，然后再進(jìn)行全排列，則知共有.故〖答案〗為：360.15.已知隨機(jī)變量,且，若,則的最小值為_________．〖答案〗〖解析〗，可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為，又，，即．則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故〖答案〗為：.16.定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________．〖答案〗11〖解析〗因?yàn)椋?，則的周期為2，又為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以可利用的周期性與奇偶性作出的大致圖像，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)與函數(shù)的大致圖像如圖所示，考慮特殊位置，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，所以由圖像可知函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為11個(gè).故〖答案〗為：11.四、解答題17.已知非空集合．（1）若，求．（2）若“”是“”的既不充分也不必要條件，求a的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)榛颍?，故．?）因?yàn)椤啊笔恰啊钡募炔怀浞忠膊槐匾獥l件，所以，同時(shí)不是的子集，也不是的子集，因?yàn)椋?，所以，則，又或，所以必不是的子集，因?yàn)椴皇堑淖蛹?，解得，又，故，所以a的取值范圍為．18.實(shí)驗(yàn)杯足球賽采用七人制淘汰賽規(guī)則，某場比賽中一班與二班在常規(guī)時(shí)間內(nèi)戰(zhàn)平，直接進(jìn)入點(diǎn)球決勝環(huán)節(jié)，在點(diǎn)球決勝環(huán)節(jié)中，雙方首先輪流罰點(diǎn)球三輪，罰中更多點(diǎn)球的球隊(duì)獲勝；若雙方在三輪罰球中未分勝負(fù)，則需要進(jìn)行一對一的點(diǎn)球決勝，即雙方各派處一名隊(duì)員罰點(diǎn)球，直至分出勝負(fù)；在前三輪罰球中，若某一時(shí)刻勝負(fù)已分，尚未出場的隊(duì)員無需出場罰球（例如一班在先罰球的情況下，一班前兩輪均命中，二班前兩輪未能命中，則一班、二班的第三位同學(xué)無需出場）.由于一班同學(xué)平時(shí)踢球熱情較高，每位隊(duì)員罰點(diǎn)球的命中率都能達(dá)到0.8，而二班隊(duì)員的點(diǎn)球命中串只有0.5，比賽時(shí)通過抽簽決定一班在每一輪都先罰球.（1）定義事件為“一班第三位同學(xué)沒能出場罰球”，求事件發(fā)生的概率；（2）若兩隊(duì)在前三輪點(diǎn)球結(jié)束后打平，則進(jìn)入一對一點(diǎn)球決勝，一對一球決勝由沒有在之前點(diǎn)球大戰(zhàn)中出場過的隊(duì)員主罰點(diǎn)球，若在一對一點(diǎn)球決勝的某一輪中，某對隊(duì)員射入點(diǎn)球且另一隊(duì)員未能射入，則比賽結(jié)束；若兩名隊(duì)員均射入或者均射失點(diǎn)球，則進(jìn)行下一輪比賽.若直至雙方場上每名隊(duì)員都已經(jīng)出場罰球，則比賽亦結(jié)束，雙方通過抽簽決定勝負(fù)，本場比賽中若已知雙方在點(diǎn)球大戰(zhàn)，以隨機(jī)變量記錄雙方進(jìn)行一對一點(diǎn)球決勝的輪數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）（2）隨機(jī)變量的可取值為1，2，3，4，，，故隨機(jī)變量的分布列如下：則的數(shù)學(xué)期望為：（輪）19.國防科技大學(xué)是我國軍事學(xué)院的最高學(xué)府，被稱為“軍中清華”學(xué)校擬計(jì)劃對今年招收的部分新生做一個(gè)測試，抽取40名新生對關(guān)于報(bào)考志愿的首要考慮因素進(jìn)行調(diào)查，所得統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：男生女生總計(jì)以祖國的國防事業(yè)為首要考慮因素1026以實(shí)現(xiàn)自己的軍人夢為首要考慮因素4總計(jì)2040（1）完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95％的把握認(rèn)為新生報(bào)考志愿的首要考慮因素與性別有關(guān)；（2）若測試調(diào)查共設(shè)置2個(gè)環(huán)節(jié)，新生需要參加全部環(huán)節(jié)的測試，每個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)置兩個(gè)項(xiàng)目，若新生每通過一個(gè)項(xiàng)目積2分，未通過積分．已知新生甲第1環(huán)節(jié)每個(gè)項(xiàng)目通過的概率均為第2環(huán)節(jié)每個(gè)項(xiàng)目通過的概率為，各環(huán)節(jié)、各項(xiàng)目間相互獨(dú)立．求甲經(jīng)過兩個(gè)環(huán)節(jié)的測試后所得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解：（1）補(bǔ)充2×2列聯(lián)表如下所示：男生女生總計(jì)以祖國的國防事業(yè)為首要考慮因素101626以實(shí)現(xiàn)自己的軍人夢為首要考慮因素10414總計(jì)202040∴∴有95%的把握認(rèn)為“新生報(bào)考志愿的首要考慮因素與性別有關(guān)”（2）ξ的所有可能取值為，2，5，8，，，，.所以，的分布列為ξ258P∴20.已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程（2）若函數(shù)，恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：（1）因?yàn)?，所?所以又所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（5分）（2）由題意得，，所以.由，解得，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以.又，，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組為了獲得茶水溫度℃關(guān)于時(shí)間的回歸方程模型，通過實(shí)驗(yàn)收集在25℃室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如下所示散點(diǎn)圖．73.53.85表中：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，①與②哪一個(gè)更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程：（3）已知該茶水溫度降至60℃口感最佳，根據(jù)（2）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感?附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：②參考數(shù)據(jù)：．解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，其變化趨勢不是線性的，而是曲線的，因此，選②更適宜此散點(diǎn)的回歸方程.（2）由有：，