專題03二次函數(shù)圖像與系數(shù)關(guān)系的三種考法類型一、函數(shù)圖像與a，b，c關(guān)系例．如圖，拋物線與x軸相交于點，，與y軸相交于點C，小紅同學得出了以下結(jié)論：①；②；③當時，；④．其中正確的個數(shù)為（
）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可判斷②，直接觀察圖像可判斷③，根據(jù)時，y的值的正負可判斷④．【詳解】∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，∴①正確；∵拋物線與x軸相交于點，，∴拋物線的對稱軸為，，，∴②正確；觀察圖像可知當時，，∴③正確；由得，時，，由圖知，時，，∴，
∴④錯誤．綜上，正確的有3個，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識．掌握數(shù)形結(jié)合思想，以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③（m為任意實數(shù)）；④若點和點在該圖象上，則．其中正確的結(jié)論是（
）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】由拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，可得，，，故①不符合題意；當與時的函數(shù)值相等，可得，故②符合題意；當時函數(shù)值最大，可得，故③不符合題意；由點和點在該圖象上，而，且離拋物線的對稱軸越遠的點的函數(shù)值越小，可得④符合題意．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，∴，，，∴，∴，故①不符合題意；∵對稱軸為直線，∴當與時的函數(shù)值相等，∴，故②符合題意；∵當時函數(shù)值最大，∴，∴；故③不符合題意；∵點和點在該圖象上，而，且離拋物線的對稱軸越遠的點的函數(shù)值越小，∴．故④符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)的開口方向，與y軸的交點坐標，對稱軸方程，增減性的判定，函數(shù)的最值這些知識點是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練2】如圖，已知拋物線與直線交于和兩點，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④當時，；⑤當時，，其中正確的序號是（
）
A．①②⑤ B．①③④ C．②③④ D．②③⑤【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口向上，與軸交于正半軸，對稱軸大于0，得出，即可判斷①；由拋物線與軸無交點，可得，判斷②；當時，，即可判斷③；當時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，可得來求解④；把和兩點代入求出拋物線解析式，進而求出拋物線與雙曲線的交點坐標，分第一象限內(nèi)和第三象限內(nèi)來求解⑤．【詳解】解：∵拋物線開口向上，與軸交于正半軸，對稱軸大于0，得出，∴，故①不正確；∵拋物線與x軸無交點，∴，故②正確；當時，，即，故③正確；∵當時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，∴，∴，故④正確；把和兩點代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為，當時，，，拋物線和雙曲線的交點坐標為，∴當時，或，故⑤不正確．綜上所述，正確的有②③④．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】如圖，二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，與軸交于，兩點，若，則下列四個結(jié)論：①，②，③，④．正確結(jié)論的個數(shù)為（
）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可判斷①；由開口方向和對稱軸即可判斷②；根據(jù)拋物線與x軸的交點有兩個即可判斷③；根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸，與y軸的交點即可判斷④．【詳解】解：∵對稱軸為直線，，∴，①正確，∵=1，∴，∴，∵，∴，②正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，③正確；∵拋物線開口向上，與y軸的交點在x軸下方，∴，∴，即④錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查圖像與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系、二次函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓練4】如圖，拋物線的對稱軸是直線，并與x軸交于A，B兩點，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④若m為任意實數(shù)，則，其中正確的是（
）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，判定；對稱軸的位置，判定；拋物線與y軸的交點，判定，從而判定；根據(jù)對稱軸是直線，確定；根據(jù)，得，求出點B的坐標，從而得到，確定，可以判定②③；計算函數(shù)的最小值為：，從而得到，代入化簡，判定④．【詳解】解：因為拋物線的開口方向，所以；因為對稱軸是直線，所以，；因為拋物線與y軸的交點位于負半軸，所以，所以；故①錯誤；因為，
所以，，所以，即，所以，所以，所以，即②正確；所以，即③正確；根據(jù)題意，得拋物線有最小值，且最小值為：，所以，所以，所以，所以，④正確．故選B．【點睛】本題考查了拋物線的圖像及其性質(zhì)、對稱軸、最值、拋物線與x軸的交點坐標等知識點，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，特別是對稱性和最值是解題的關(guān)鍵．類型二、二次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)系例．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的圖象可能是（
）
B．
C．
D．
【答案】D【分析】對比各個選項中二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的規(guī)律，可分別得到各個函數(shù)系數(shù)的取值范圍；通過函數(shù)系數(shù)對比，即可得到答案．【詳解】解：A選項中，開口朝上，與y軸交點在原點下方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而增大，與y軸交點在原點下方，∴，，∴A選項不符合題意；B選項中，開口朝上，與y軸交點在原點上方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而減少，與y軸交點在原點上方，∴，，∴B選項不符合題意；C選項中，開口朝下，與y軸交點在原點下方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而減少，與y軸交點在原點上方，∴，，∴C選項不符合題意；D選項中，開口朝下，與y軸交點在原點上方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而增大，與y軸交點在原點下方，∴，，∴D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，從而完成求解．【變式訓練1】一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象可能為（）A．
B．
C．
D．
【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，分析解析式中的的符合，即可求解．【詳解】解：A.一次函數(shù)中，二次函數(shù)中，，矛盾，不合題意；B.一次函數(shù)中，二次函數(shù)中，，符合題意；C.一次函數(shù)中，二次函數(shù)中，，矛盾，不合題意；D.一次函數(shù)中，二次函數(shù)中，，矛盾，不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練2】函數(shù)與的圖象可能是（）A．
B．
C．
D．
【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象和系數(shù)的關(guān)系進行判斷；【詳解】解：當時，，二次函數(shù)開口向上，當時一次函數(shù)過一，二，四象限，當時一次函數(shù)過二，三，四象限；當時，，二次函數(shù)開口向下，當時一次函數(shù)過一，二，三象限，當時一次函數(shù)過一，三，四象限．所以B正確．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式訓練3】在同一坐標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)，的圖象可能是(
)A．
B．
C．
D．
【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的和二次函數(shù)的即可判斷出二次函數(shù)的開口方向和一次函數(shù)經(jīng)過軸正半軸，從而排除A和C，分情況探討的情況，即可求出答案.【詳解】解：二次函數(shù)為，，二次函數(shù)的開口方向向上，排除C選項.一次函數(shù)，，一次函數(shù)經(jīng)過軸正半軸，排除A選項.當時，則，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，二次函數(shù)經(jīng)過軸正半軸，排除B選項.當時，則，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，二次函數(shù)經(jīng)過軸負半軸，D選項符合題意.故選：D.【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握圖像性質(zhì)中系數(shù)大小與圖像的關(guān)系.【變式訓練4】函數(shù)與在同一直角坐標系中的大致圖象可能是（
）A．
B．
C．
D．
【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：∵，∴經(jīng)過一、三象限；當時，二次函數(shù)開口向上，與y軸的交點在負半軸上，當時，二次函數(shù)開口向下，與y軸的交點在正半軸上，∴只有選項C符合題意；故選：C．【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的判斷，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型三、二次函數(shù)與反比例函數(shù)例．已知二次函數(shù)的圖像如圖，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，確定二次函數(shù)中系數(shù)的符號，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，二次函數(shù)中，，對稱軸，∴，∴，∵二次函數(shù)與軸有交點，∴，從圖像可知時，二次函數(shù)，∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限，∴選項，一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，不符合題意；選項，一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，不符合題意；選項，一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，不符合題意；選項，一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)，一次函數(shù)，反比例函數(shù)圖像的綜合，掌握二次函數(shù)圖像、一次函數(shù)圖像、反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的大致圖象為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置及拋物線與y軸交點位置判斷a，b，c的符號，從而可得直線與反比例函數(shù)圖象的大致圖象．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，∴，∴∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴，∴直線經(jīng)過第一，三，四象限，反比例函數(shù)圖象分布在第二、四象限，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【變式訓練2】在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象如右圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（
）
A．B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象可得，根據(jù)反比例函數(shù)可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，∴，∵反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，∴，∴拋物線的開口向上，對稱軸在軸的右側(cè)，與軸交于負半軸，故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷，熟練掌握以上函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】如圖，二次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可知，二次函數(shù)圖象與y軸交點為時，即二次函數(shù)圖象過原點．再分兩種情況即，時結(jié)合二次函數(shù)中a，b同號對稱軸在y軸左側(cè)，a，b異號對稱軸在y軸右側(cè)來判斷出二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象所在象限，找到符合題意的即為正確答案．【詳解】解：①當時，二次函數(shù)開口向上，過原點，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在一、二、三象限，反比例函數(shù)在一、三象限；②當時，二次函數(shù)開口向下，過原點，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在二、三、四象限，反比例函數(shù)在二、四象限，觀察圖象可知只有D符合，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)中a的取值確定二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象．【變式訓練4】如圖，一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像，則二次函數(shù)的圖像可能是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象位置，確定出的正負，進而利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：觀察圖象可得：，二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，與軸交點在負半軸，則二次函數(shù)的圖象可能是
，故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，以及二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各自圖象的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．課后訓練1．已知拋物線經(jīng)過點和，下列結(jié)論：①；②；③當時，拋物線與x軸必有一個交點在點的右側(cè)；④拋物線的對稱軸為．其中結(jié)論正確的個數(shù)有（
）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】把點代入拋物線的解析式即可確定①，根據(jù)的值的情況即可確定②，根據(jù)拋物線的對稱軸和即可確定③，根據(jù)拋物線的對稱軸的公式即可確定④．從而可得答案.【詳解】解：把點代入中，得：，故①正確，由，得，即a＝，②錯誤，當時，拋物線開口向下，而，∴拋物線的對稱軸，又∵拋物線經(jīng)過，∴另一個交點到y(tǒng)軸的距離大于1，∴拋物線與x軸必有一個交點在的右側(cè)，∴③正確，④正確，正確的為①③④，共個故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與同號時，對稱軸在y軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于．2．某二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中一定成立的有（
）①；②；③；④．
A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷與0的關(guān)系，由拋物線與軸的交點判斷與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】解：①函數(shù)的對稱軸在軸右側(cè)，則，拋物線與軸交于負半軸，則，則，故①正確；②函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)和軸的一個交點是，則另外一個交點為，當時，，故②錯誤；③函數(shù)的對稱軸為，即，故③錯誤；④由②③得，，，故，而拋物線開口向上，則，即，故，故④正確；故選：B．【點睛】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求與的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．3．某足球隊在某次訓練中，一隊員在距離球門處挑射，正好射中了高的球門橫梁．若足球運動的路線是拋物線，如圖所示，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（
）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出a，b的符號，再利用圖上點的坐標得出a，b關(guān)系，進一步即可作出判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，即，∴，，由拋物線過點，，代入得：，，得，而，解得：，故此選項①正確，②錯誤；，∵，∴，∴無法判斷與0的大小關(guān)系，故③錯誤；由圖象可知，拋物線的對稱軸的橫坐標小于6即，∵，∴，∴，故此選項④正確；綜上可知，①④正確，故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得出圖象上的點進而得出a，b的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖是一次函數(shù)的圖象，則二次函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定，進而確定二次函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，由此即可得到答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限且與y軸交于y軸的正半軸，∴，∴二次函數(shù)的圖象的開口向上，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴二次函數(shù)的對稱軸在y軸左側(cè)，∴四個選項中只有C選項中的函數(shù)圖象符合題意，故選C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象綜合判斷，正確求出是解題的關(guān)鍵．5．二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)（）與反比例函數(shù)（）在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（
）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二次函數(shù)的圖象可得：，，，可得一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限，的圖象在二，四象限，從而可得答案．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可得：，，，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限，的圖象在二，四象限，∴B，C，D不符合題意，A符合題意；故選A【點睛】本題考查的是由二次函數(shù)的圖象判斷各項系數(shù)的符號，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，熟記一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．如圖，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是填序號．
【答案】②③⑤【分析】根據(jù)拋物線的開口向下，對稱軸及與y軸交點位置判斷出，，，據(jù)此可判斷①；根據(jù)圖當時所對應(yīng)點的位置可判斷②；由拋物線的對稱性以及圖象可判斷③；由對稱軸為及時的函數(shù)值可判斷④；由于拋物線的頂點坐標及時的函數(shù)值可判斷⑤．【詳解】解：
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