第十一章 三角形考點(diǎn)訓(xùn)練（解析版）（人教版）

第十一章三角形壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練評(píng)卷人得分一、單選題1．如圖，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的關(guān)系為（）A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°【答案】B【分析】分析題意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形的內(nèi)角和、等量代換求解即可．【詳解】解：連接AD，在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，∵AB⊥AF，∴∠BAF＝90°，∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，將圖形中角的關(guān)系利用三角形的內(nèi)角和等于180°進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用等量代換是解題的關(guān)鍵．2．一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】首先求出截角后的多邊形邊數(shù)，然后再求原來(lái)的多邊形邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)截角后的多邊形邊數(shù)為n，則有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，∴由下面的圖可得原來(lái)的邊數(shù)為10或11或12：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的綜合運(yùn)用，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的剪拼是解題關(guān)鍵．3．在多邊形內(nèi)角和公式的探究過(guò)程中，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（

）A．化歸思想 B．分類(lèi)討論 C．方程思想 D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想【答案】A【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n為整數(shù)）的推導(dǎo)過(guò)程即可解答．【詳解】解：多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n為整數(shù)），該公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n-3）條對(duì)角線，將n邊形分割為（n-2）個(gè)三角形，這（n-2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和，體現(xiàn)了化歸思想．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想，弄清推導(dǎo)過(guò)程是解答此題的關(guān)鍵.4．如圖①，將一副三角板中的兩個(gè)直角疊放在一起，其中，，，，現(xiàn)按住三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，圖②是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的某一位置，當(dāng)B、C、E三點(diǎn)第一次共線時(shí)旋轉(zhuǎn)停止，記（k為常數(shù)），給出下列四個(gè)說(shuō)法：①當(dāng)時(shí)，直線與直線相交所成的銳角度數(shù)為；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先證明，然后求出當(dāng)時(shí)，，由此按照?qǐng)D①求解即可判斷（1）；當(dāng)時(shí)，求得，，則，即可判斷（2）；當(dāng)時(shí)，先求出，則，，即可判斷（3）；根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，只有如圖②一種情況，據(jù)此判斷（4）即可．【詳解】解：當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)角度小于度時(shí)，如題干圖②，設(shè)直線與直線交于F，∴，∴，當(dāng)時(shí)，即，如圖①所示，∴，∴；當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)角度大于時(shí)，如圖②所示，∴，∴當(dāng)時(shí)，即，∴，∴此時(shí)在圖中的位置，∴，故（1）正確；當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)角度小于度時(shí)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴，∴；當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)角的大于時(shí)，如圖④所示，同理可得，∴，∴，∵，∴，故（2）錯(cuò)誤；如圖⑤所示，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，，∴，∴，故（3）正確；由于順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B、C、E共線時(shí)停止，∴當(dāng)時(shí)，只有如下圖⑥一種情況，∴，∴，∴，∴，故（4）正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角板中角度的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．5．在中，分別是高和角平分線，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①；②；③，④；其中正確的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根據(jù)，，由直角三角形銳角互余可證明；②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確；③根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的定義，進(jìn)行等量代換，即可證明結(jié)論正確；④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確．【詳解】解：有題意可知，①正確；是角平分線，②正確；③正確；，④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，正確運(yùn)用三角形的高、中線和角平分線的概念以及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，△ABC中，角平分線AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，過(guò)H點(diǎn)作HG⊥AC，垂足為G，那么∠AHE和∠CHG的大小關(guān)系為（）A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE=∠CHG D．不一定【答案】C【分析】先根據(jù)AD、BE、CF為△ABC的角平分線可設(shè)∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，由三角形內(nèi)角和定理可知，2x+2y+2z=180°

即x+y+z=90°在△AHB中由三角形外角的性質(zhì)可知∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，故可得出結(jié)論．【詳解】∵AD、BE、CF為△ABC的角平分線∴可設(shè)∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，∴2x+2y+2z=180°

即x+y+z=90°，∵在△AHB中，∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，∴∠AHE=∠CHG，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和180°，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．7．如圖，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)到射線的距離為，點(diǎn)在射線上，．若的形狀，大小是唯一確定的，則的取值范圍是（

）

A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)的形狀，大小是唯一確定的，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖：

∵點(diǎn)到射線的距離為，∴，∵垂直平分，∴，當(dāng)，即點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）或點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），不能唯一確定；當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，可唯一確定為直角三角形；當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合或點(diǎn)與點(diǎn)重合，∵點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)不能構(gòu)成三角形，故能唯一確定；當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，故能唯一確定；綜上，若的形狀，大小是唯一確定的，則的取值范圍是或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于點(diǎn)G，則下列結(jié)論①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正確的結(jié)論是(

)A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷③；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出，即可判斷④⑤；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法推出②．【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，，∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故③正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴，∴，∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，∴，故④正確；∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正確；根據(jù)現(xiàn)有條件，無(wú)法推出CA平分∠BCG，故②錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．9．已知中，是邊上的高，平分．若，，，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】題目由于在三角形中未確定大小，所以需要進(jìn)行分類(lèi)討論：（1），作出符合題意的相應(yīng)圖形，由圖可得：，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：，在中，，故可得；（2）時(shí)，由圖可得：，，在中，，故可得；綜上可得：．【詳解】解：（1）如圖1所示：時(shí)，圖1∵CD是AB邊上的高，∴，，∵，，∴，∵CE平分，∴，在中，，∴；（2）如圖2所示：時(shí)，圖2∵CD是AB邊上的高，∴，，∵，，∴，∵CE平分，∴，在中，，∴；綜合（1）（2）兩種情況可得：．故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查對(duì)三角形分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合思想，主要知識(shí)點(diǎn)是三角形的角平分線、高線的基本性質(zhì)及圖形內(nèi)角的運(yùn)算，題目難點(diǎn)是在依據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論的情況下，作出相應(yīng)的三角形圖形．10．如圖，DC∥AB，AE⊥EF，E在BC上，過(guò)E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分∠AEC．若∠EAD＋∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，則下列結(jié)論：①∠EAB＝2∠FEG；②∠AED＝45°＋∠GEF；③∠EAD＝135°－4∠GEC；④∠EAB＝15°，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：∵EG平分∠FEC，∴∠FEG＝∠CEG，設(shè)∠FEG＝∠CEG＝α，∴∠FEC＝2α，∵∠EDA＝3∠CEG，∴∠EDA＝3α，∵EC⊥DC，，∴EB⊥AB，∠C＝90°，∴∠B＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEC＝∠AEF＋∠FEC＝90°＋2α，∵∠AEC＝∠B＋∠EAB＝90°＋∠EAB，∴90°＋2α＝90°＋∠EAB，∴∠EAB＝2α＝2∠FEG，故①正確；∵ED平分∠AEC，∴∠AED＝∠AEC＝（90°＋2α）＝45°＋α＝45°＋∠GEF，故②正確；∵∠AED＝45°＋α，∠EDA＝3α，∴∠EAD＝180°?∠AED?∠EDA＝180°?（45°＋α）?3α＝135°?4α＝135°?4∠GEC，故③正確；∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠EAB＋∠DAE＋∠EAD＝180°，∴2α＋2（135°?4α）＝180°，∴α＝15°，∴∠EAB＝2α＝30°，故④錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，熟記三角形角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分二、填空題11．如圖，小紅作出了面積為1的正△ABC，然后分別取△ABC三邊的中點(diǎn)A1，B1，C1，作出了正△A1B1C1，用同樣的方法，作出了正△A2B2C2，….由此可得，正△A8B8C8的面積是．【答案】【詳解】試題解析：∵△ABC三邊的中點(diǎn)A1，B1，C1，∴B1C1=BC，A1B1=AB，A1C1=AC，∴△A1B1C1∽△ABC，∴S△A1B1C1=S△ABC=，同理：S△A2B2C2=S△A1B1C1=，∴S△AnBnCn=，∴正△A8B8C8的面積是：．12．小明同學(xué)在社團(tuán)活動(dòng)中給發(fā)明的機(jī)器人設(shè)置程序：（a，n）．機(jī)器人執(zhí)行步驟是：向正前方走am后向左轉(zhuǎn)n°，再依次執(zhí)行相同程序，直至回到原點(diǎn)．現(xiàn)輸入a=4，n=60，那么機(jī)器人回到原點(diǎn)共走了m．【答案】24m【詳解】機(jī)器人轉(zhuǎn)了一周共360度，360°÷60°=6，共轉(zhuǎn)了6次，機(jī)器人走了4×6=24米．故答案為24．13．一個(gè)凸多邊形最小的一個(gè)內(nèi)角為100°，其他的內(nèi)角依次增加10°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為．【答案】8【詳解】設(shè)該凸多邊形的邊數(shù)為n(n為正整數(shù)且n>2).將該多邊形的內(nèi)角按角度從小到大排列后，第n個(gè)內(nèi)角的角度為.按從小到大以及從大到小的順序分別寫(xiě)出該多邊形的各個(gè)內(nèi)角的角度：；.可以發(fā)現(xiàn)，上下兩行對(duì)應(yīng)角度之和均等于，像這樣的和共有n個(gè).因此，該凸多邊形的內(nèi)角和為.根據(jù)凸多邊形的內(nèi)角和公式，該凸多邊形的內(nèi)角和為.根據(jù)上述結(jié)論，可以列出關(guān)于n的方程：，解之，得n1=9，n2=8.①當(dāng)n=9時(shí)，該凸多邊形最大的內(nèi)角的角度為，不符合題意.②當(dāng)n=8時(shí)，該凸多邊形最大的內(nèi)角的角度為，符合題意.故本題應(yīng)填寫(xiě)：8.點(diǎn)睛：本題考查了凸多邊形內(nèi)角和的相關(guān)知識(shí).本題的難點(diǎn)在于如何獲得該多邊形內(nèi)角角度的表達(dá)式以及由這些表達(dá)式得到的內(nèi)角和的表達(dá)式.本題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)在于忽略對(duì)所得最終結(jié)果合理性的檢驗(yàn).另外，運(yùn)用將兩列排列順序相互顛倒的內(nèi)角角度相加的方式求解內(nèi)角和的表達(dá)式，是數(shù)學(xué)中的重要方法.14．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在三邊上，E是AC的中點(diǎn)，AD、BE、CF交于一點(diǎn)G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，則△ABC的面積是．【答案】30【分析】由于BD=2DC，那么結(jié)合三角形面積公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中點(diǎn)，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，從而易求S△ABC．【詳解】解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD．∵E是AC的中點(diǎn)，∴S△AGE=S△CGE．又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30．故答案為30．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、三角形之間的面積加減計(jì)算．注意同底等高的三角形面積相等，面積相等、同高的三角形底相等．15．已知中，邊上的高所在的直線交于H，則度．【答案】或．【分析】分兩種情況考慮：①是銳角三角形時(shí)，先根據(jù)高線的定義求出，，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；②是鈍角三角形時(shí)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出即可．【詳解】解：①如圖1，是銳角三角形時(shí)，、是的高線，，，在中，，，；②是鈍角三角形時(shí)，、是的高線，，，，，綜上所述，的度數(shù)是或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線，解題的關(guān)鍵是分是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論．16．如圖，在中，，，若的面積為4，則四邊形的面積為．【答案】14【分析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接AF，∵，的面積為4，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴，∴．故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角形的中線求面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握等底等高的三角形面積相等．17．AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=6，AC=4，則邊BC的取值范圍是，中線AD的取值范圍是．【答案】2＜BC＜10；

1＜AD＜5【詳解】∵在△ABC中，AB=6，AC=4，

∴6﹣4＜BC＜6+4，∴2＜BC＜10；延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，如圖所示：∵AD為中線，∴BD=DC，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB=6，BE=4，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案是：2＜BC＜10，1＜AD＜5．18．如圖，有一塊直角三角板X(qián)YZ放置在△ABC上，三角板X(qián)YZ的兩條直角邊XY、XZ改變位置，但始終滿足經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．如果△ABC中，∠A＝52°，則∠ABX＋∠ACX=．

【答案】38°【詳解】∠A＝52°，∠ABC+∠ACB=128°，∠XBC+∠XCB=90°，∠ABX＋∠ACX=128°-90°=38°.評(píng)卷人得分三、解答題19．已知a、b、c滿足(a﹣3)2|c﹣5|=0．求：（1）a、b、c的值；（2）試問(wèn)以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，求出三角形的周長(zhǎng)；若不能構(gòu)成三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）a=3，b=4，c=5；（2）能構(gòu)成三角形，且它的周長(zhǎng)=12．【分析】（1）根據(jù)平方、算術(shù)平方根及絕對(duì)值的非負(fù)性即可得到答案；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系可判斷構(gòu)成三角形，三邊相加求周長(zhǎng).【詳解】（1）∵，又∵(a﹣3)2≥0，，|c﹣5|≥0∴a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0，∴a=3，b=4，c=5；（2）能構(gòu)成三角形，∵3＜4＜5,3+4＞5根據(jù)三角形三邊關(guān)系能構(gòu)成三角形，其周長(zhǎng)為3+4+5=12．【點(diǎn)睛】此題考查平方、算術(shù)平方根及絕對(duì)值的非負(fù)性，三角形形，三邊關(guān)系，線段和差.20．如圖所示，AB、CD相交于點(diǎn)O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數(shù)；(2)若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數(shù)．

【答案】（1）47°；（2）43°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得出，由平分線的定義可得出、，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出，代入度數(shù)即可得出結(jié)論；（2）由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)結(jié)合角平分線可得出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)結(jié)合（1）中即可得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出，代入度數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），，，，，，．平分交于，平分交于，，．，，，．（2），平分交直線于，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定義、角平分線、三角形的外角性質(zhì)、對(duì)頂角以及鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理找出；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理找出．本題屬于中檔題，難度不大，但重復(fù)用到三角形內(nèi)角和定義稍顯繁瑣．21．材料1：反射定律當(dāng)入射光線AO照射到平面鏡上時(shí)，將遵循平面鏡反射定律，即反射角（∠BOM）的大小等于入射角（∠AOM）的大小，顯然，這兩個(gè)角的余角也相等，其中法線（OM）與平面鏡垂直，并且滿足入射光線、反射光線（OB）與法線在同一個(gè)平面．材料2：平行逃逸角對(duì)于某定角∠AOB=α（0°＜α＜90°），點(diǎn)P為邊OB上一點(diǎn)，從點(diǎn)P發(fā)出一光線PQ（射線），其角度為∠BPQ=β（0°＜β＜90°），當(dāng)光線PQ接觸到邊OA和OB時(shí)會(huì)遵循反射定律發(fā)生反射，當(dāng)光線PQ經(jīng)過(guò)n次反射后與邊OA或OB平行時(shí)，稱(chēng)角為定角α的n階平行逃逸角，特別地，當(dāng)光線PQ直接與OA平行時(shí)，稱(chēng)角β為定角α的零階平行逃逸角．（1）已知∠AOB=α=20°，①如圖1，若PQ∥OA，則∠BPQ=°，即該角為α的零階平行逃逸角；②如圖2，經(jīng)過(guò)一次反射后的光線P1Q∥OB，此時(shí)的∠BPP1為α的平行逃逸角，求∠BPP1的大??；③若經(jīng)過(guò)兩次反射后的光線與OA平行，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出α的二階平行逃逸角為°；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，歸納猜想對(duì)于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n為自然數(shù)）階平行逃逸角β=（用含n和a的代數(shù)式表示）．【答案】（1）①20；②∠BPP1=40°③60；（2）（n+1）α．【分析】（1）①兩直線平行，同位角相等；②由“反射定律”可得∠AP1Q=∠PP1O，再由P1Q∥OB可得∠AP1Q=∠PP1O=∠AOB=20°；③先作PQ∥AO，再根據(jù)“反射定律”先畫(huà)出P2P1，再畫(huà)出P1P；（2）分別從零階、一階、二階逃逸角與∠α的關(guān)系中歸納一般關(guān)系.【詳解】解：（1）①如圖①中，∵PQ∥OA，∴∠BPQ=∠AOB=20°，故答案為20．②如圖2中，∵P1Q∥OB，∴∠AP1Q=∠PP1O=∠AOB=20°，∴∠BPP1=∠AOB+∠PP1O=40°．③如圖3中，如圖所示，α的二階平行逃逸角為，20°×3=60°，故答案為：60；（2）由（1）可知：α的零階平行逃逸角為α，α的1階平行逃逸角為2α，α的二階平行逃逸角為3α，…，由此可以推出，α的n階平行逃逸角為（n+1）α，故答案為（n+1）α．【點(diǎn)睛】題目主要考查角度的計(jì)算，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，理解題目中的新定義是解題關(guān)鍵．22．【閱讀材料】：（1）在中，若，由“三角形內(nèi)角和為180°”得．（2）在中，若，由“三角形內(nèi)角和為180°”得．【解決問(wèn)題】：如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．已知軸，交y軸于點(diǎn)E，連接CE，CF是∠ECO的角平分線，交AB于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)D．過(guò)E點(diǎn)作EM平分∠CEB，交CF于點(diǎn)M．（1）試判斷EM與CF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，過(guò)E點(diǎn)作PE⊥CE，交CF于點(diǎn)P．求證：∠EPC=∠EDP；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，作EN平分∠AEP，交OC于點(diǎn)N，如圖③．請(qǐng)問(wèn)隨著C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，∠NEM的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其值：若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）EM⊥CF，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不變，且∠NEM=45°，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）EM⊥CF，分別利用角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求證即可；（2）根據(jù)垂直定義和三角形的內(nèi)角和定理證得∠DCO+∠CDO=90°，∠ECP+∠EPC=90°，再利用等角的余角相等和對(duì)頂角相等即可證得結(jié)論；（3）不變，且∠NEM=45°，先利用平行線的性質(zhì)得到∠AEC=∠ECO=2∠ECP，進(jìn)而有∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP，再由角平分線的定義∠NEP=∠AEN=45°+∠ECP，再根據(jù)同角的余角相等得到∠ECP=∠MEP，然后等量代換證得∠NEM=45°，是定值．【詳解】解：(1)EM⊥CF，理由如下：∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，∴∠ECF=∠FCO=，∠FEM=∠CEM=∵AB∥x軸∴∠ECO+∠CEF=180°∴∠EMC=180°-（∠CEM+∠ECF）=180°-90°=90°∴EM⊥CF（2）由題得，∠EOC=90°∴∠DCO+∠CDO=180°-∠EOC=180°-90°=90°∵PE⊥CE∴∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=180°-∠CEP=180°-90°=90°∵∠DCO=∠ECP∴∠CDO=∠EPC又∵∠CDO=∠EDP∴∠EPC=∠EDP(3)不變，且∠NEM=45°，理由如下：∵AB∥x軸∴∠AEC=∠ECO=2∠ECP∴∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP∵EN平分∠AEP∴∠NEP=∠AEN===45°+∠ECP∵∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=90°又∵∠EMC=90°∴∠MEP+∠EPC=90°∴∠ECP=∠MEP∴∠NEP=∠NEM+∠MEP=∠NEM+∠ECP又∵∠NEP=45°+∠ECP∴∠NEM=45°．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合探究題，涉及有平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、同（等）角的余角相等、對(duì)頂角相等、垂線性質(zhì)等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，結(jié)合圖形，尋找相關(guān)聯(lián)信息，確定解題思路，進(jìn)而探究、推理、論證．23．已知，點(diǎn)在直線、之間，連接、．

(1)探究發(fā)現(xiàn)：探究，，之間的關(guān)系．如圖1，過(guò)作，（）（已知）（）；(2)解決問(wèn)題：①如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，作的角平分線和的角平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，試判斷與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；②如圖3，若，分別作，，、分別平分，，則的度數(shù)為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，平行于同一條直線的兩直線平行，，(2)①，理由見(jiàn)解析；②【分析】（1）過(guò)作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得，再由平行于同一條直線的兩直線平行推出，則，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）①過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由平行于同一條直線的兩直線平行推出，則，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得，再根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系可得，進(jìn)而得出結(jié)論；②作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)，設(shè)，，先推出，則，由角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得，再由三角形外角的性質(zhì)求得，即可求得．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)作，

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（已知）（平行于同一條直線的兩直線平行），；故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，平行于同一條直線的兩直線平行，，；（2）解：①過(guò)點(diǎn)作，

，，，，，的角平分線和的角平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，，，由（1）可得，，，；②如圖，作，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)，

，，，，，同理可得，，設(shè)，，，，，，，由（1）知，，，，、分別平分，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．24．如圖1，在中，平分平分

(1)若．①求的度數(shù)；②如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線，交邊于點(diǎn)D、E，則_______°；(2)若，小明將（1）中的直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，分別交線段于點(diǎn)D，E，如圖3，試問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①；②70(2)不變，【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；【詳解】（1）①∵，平分平分故答案為②∵，平分平分，，，．故答案為∶70；（2）的度數(shù)不變，，故在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的度數(shù)不會(huì)發(fā)生改變．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)點(diǎn)．25．將含角的三角板（）和含角的三角板及一把直尺按圖方式擺放在起．使兩塊三角板的直角頂點(diǎn)，重合．點(diǎn)，，，始終落在直尺的邊所在直線上．將含角的三角板沿直線向右平移．

(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，并