排列（第1課時）高二下學(xué)期數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修第三冊）

第六章計數(shù)原理6.2排列與組合6.2.1排列（第1課時）1.分類加法計數(shù)原理：

完成一件事，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法…在第n類方案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有

種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理：

完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法…，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有

種不同的方法.一、回顧舊知

N＝m1＋m2＋…＋mn

N＝m1×m2×…×mn問題1:從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？二、探究新知:

上午

下午相應(yīng)的排法甲乙丙乙丙甲乙甲丙分析:要完成的一件事情是“選出2名同學(xué)參加活動,1名參上午的活動,另1名參加下午的活動”,可以分步完成.圖6.2-1解:從3名同學(xué)中選出2名同學(xué)參加活動，1名上午,另1名下午,可以分兩個步驟完成:第1步,確定參加上午活動的同學(xué)，從3人中任選1人,有3種選法；第2步,確定參加下午活動的同學(xué),當(dāng)參加上午活動的同學(xué)確定后，參加下午活動的同學(xué)只能從剩下的2人去選,有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同選法的種數(shù)N=3×2=6.

6種選法如圖6.2-1所示乙甲乙丙丙甲丙乙甲乙甲丙探究1：若把上面問題中被取的對象叫做元素,于是問題１就可以敘述為：

從3個不同的元素a,b,c中任取2個,然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？不同的排列:ab,ac,ba,bc,ca,cb不同的排列方法種數(shù):N=3×2=6.問題2:從1，2，3，4這4個數(shù)中,每次取出3個排成一個三位數(shù),共可得到多少個不同的三位數(shù)？敘述為:

從4個不同的元素a,b,c,d中任取3個,然后按照一定的順序排成一列

共有多少種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.由此可寫出所有的三位數(shù)：123,124,132,134,142,143;213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342;412,413,421,423,431,432.百位十位個位不同的排列方法種數(shù):N=4×3×2=24.問題1

從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加某天的一項活動,其中1名參加上午的活動，1名參加下午的活動,有哪些不同的排法?

實質(zhì)是:從3個不同的元素中,任取2個,按一定的順序排成一列,有哪些不同的排法.問題2

從1，2，3，4這4個數(shù)中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？實質(zhì)是:從4個不同的元素中,任取3個,按照一定的順序排成一列,寫出所有不同的排法.一般地說,從n個不同的元素中,任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列.排列：

從n個不同元素中取出m(m

≤

n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。注意：1).元素不能重復(fù)。2).“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個問題是否是排列問題的關(guān)鍵。3).兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。4).m＜n時的排列叫選排列,m＝n時的排列叫全排列。5).為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，

最好采用“樹形圖”。（有序性）（互異性）1.判斷下列問題是排列問題嗎？（1）從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其不同結(jié)果有多少種？（2）從1，2，3三個數(shù)字中，任選兩個做除法，其不同結(jié)果有多少種？（3）從1到10十個自然數(shù)中任取兩個組成點的坐標(biāo)，可得多少個不同的點的坐標(biāo)？（4）平面上有5個點，任意三點不共線，這五點最多可確定多少條射線？可確定多少條直線？（5）10個學(xué)生排隊照相，則不同的站法有多少種？（從中歸納這幾類問題的區(qū)別）不是排列是排列是排列不是排列是排列三、鞏固新知:例1.某省中學(xué)生足球賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進行多少場比賽？分析:每組任意2支隊之間進行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選2支，按“主隊、客隊”的順序排成一個排列.解:可以先從6支隊選1支隊為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支隊為客隊，按分步乘法計數(shù)原理，每組進行的比賽場數(shù)為:6×5=30.三、鞏固新知:例2.(1).一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？(2).學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？.

分析:3名同學(xué)每人從5盤不同菜中取1盤菜，可看作從5盤菜中任取3盤放在3個位置(給3名同學(xué))的一個排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個排列.解:(1).可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲,然后從剩下4盤菜中取1盤給同學(xué)乙,最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為:5×4×3=60.

(2).可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種,有5種選法;再讓同學(xué)乙從從5種菜中選1種，有5種選法;最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種,有5種選法.按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為:5×5×5=125.三、鞏固新知:2).寫出從5個元素a,b,c,d,e中任取2個元素的所有排列．解決辦法是先畫“樹形圖”,再由此寫出所有的排列,共20個.思考：若把這題改為:寫出從5個元素a,b,c,d,e中任取3個元素的所有排列,結(jié)果如何呢？方法仍然照用,但數(shù)字將更大,寫起來更“麻煩”.變式.1).在A、B、C、D四位候選人中選舉正、副班長各一人共有幾種不同的選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果．AB

AC

AD

BA

BC

BD

CA

CB

CD

DA

DB

DC

研究一個排列問題，往往只需知道所有排列的個數(shù)而無需一一寫出所有的排列，那么能否不通過一一寫出所有的排列而直接“得”出所有排列的個數(shù)呢？接下來我們將來共同探討這個問題：排列數(shù)及其公式．排列數(shù)：

思考：“排列”和“排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？“一個排列”是指:從n個不同元素中,任取m個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù);

問題2:中是求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)，記為，已經(jīng)算出問題１:中是求從３個不同元素中取出２個元素的排列數(shù)，記為,已經(jīng)算得問題3:從n個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)是多少?呢？呢？

……第1位第2位第3位第m位n種(n-1)種(n-2)種(n-m+1)種探究:得出結(jié)論：(1)排列數(shù)公式（1）：特別地：當(dāng)m＝n時，階乘定義：正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用

表示。所以n個不同元素的全排列公式：(2)排列數(shù)公式（2）：說明:①排列數(shù)公式的第一個常用來計算,第二個常用來證明.為了使當(dāng)m＝n時上面的公式也成立，規(guī)定：0！=1②.對于

這個條件要留意,往往是解方程時的隱含條件.!n例3.計算:（1）

（2）

（3）

解：（1）

（3）

（2）

（4）

（4）

例4．證明：證明:右邊變式練習(xí)：由n=18，n