專練04 幾何綜合（B卷解答題）（解析版）

專練04幾何綜合（B卷解答題）1．如圖1，在中，已知是邊上的高，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，且，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使，請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)10(2)見(jiàn)解析(3)DG=2DE【詳解】（1）解：在直角△ADC中，∵，∴；（2）解：在直角△BCE中，，∴，∵∠BFD=∠AFE，∠AEF=∠BDF=90°，∴∠EAF=∠EBC，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA），∴AF=BC；（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥EG于T，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，∵BE=BG，BT⊥GE，∴GT=ET，∵，∴，

∴EM=EN，∴DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠BDT=45°，∴BT=DT，∵，即，∴，∴，∴，，∴DG=2DE；2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．(1)如圖1，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C恰好落在AB邊上，求CD的長(zhǎng)；(2)如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求證：AE＝AC；(3)如圖3，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱為點(diǎn)C′，是否存在異于圖1的情況的C′、B、D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出BC′長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)【解析】(1)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，∵點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C′恰好落在AB邊上，∴AC'=AC=4，∴BC'=1，在Rt△BC'D中，由勾股定理得，（3-CD）2=12+CD2，解得：CD=；(2)證明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，∵EB'∥AC，∴∠B'=∠B'CA=∠B，∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC；(3)存在，BC'=，∵∠ADC＞45°，∴∠BDC'不可能為90°，當(dāng)BC'⊥BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC，交BC'延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，∴四邊形ACBE為矩形，設(shè)BC'為x，則C'E=4-x，∵△ACD翻折后得到△AC'D，∴AC'=AC=4，∵AE=BC=3，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，∴（4-x）2+32=42，解得：x=，∵x＜4，∴x=，即BC′長(zhǎng)為．3．如圖，點(diǎn)A在直線l上，在直線l右側(cè)做等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線l軸對(duì)稱，連接CD交直線l于點(diǎn)E，連接BE．(1)求證：∠ADC=∠ACD；(2)求證：∠BEC=α；(3)當(dāng)α=60°時(shí)，連接BD交直線l于點(diǎn)F，若，求．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)．【解析】（1）證明：∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線l軸對(duì)稱，∴直線l是DB的垂直平分線，∴AD=AB，DE=BE，∵AB=AC，∴AD=AC，∴∠ADC=∠ACD；（2）證明：如圖，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)O，∵AD=AB，DE=BE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE（SSS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC=∠ACD，∴∠ACD=∠ABE，∵∠AOD=∠ACD+∠BAC=∠ABE+∠BEC，∴∠BEC=∠BAC=α；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD于H，∵∠BEC=α=60°，∴∠DEB=120°，∵DE=BE，EF⊥BD，∴∠DEF=∠BEF=60°，∴∠AEC=60°，∠EBF=30°，∴BF=EF，BE=2EF，∵5，∴設(shè)BF=a，AF=5a，∴EF=a，BE=a=DE，AE=AF-EF=5a-a，∵∠AEH=60°，AH⊥DC，∴∠EAH=30°，∴EH=AE=-a，

∴DH=DE+EH=+a，∵AD=AC，AH⊥CD，∴CH=DH=+a，∴EC=5a+a，∴．4．如圖，AB=AC=3，∠BAC=α，連接BC，點(diǎn)D在邊BC上（點(diǎn)D不與B，C重合），連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接CE，DE．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)若α＝90°，且AD與BD的數(shù)量關(guān)系滿足AD＝BD＋2，求△DCE的面積；(3)若α＝60°，連接BE，試說(shuō)明△ABE的面積是一個(gè)定值，并求出該定值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)S△DCE=；(3)△ABE的面積是一個(gè)定值，定值為．【解析】(1)證明：∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，∴AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；(2)解：∵AB=AC，α=90°，∴∠B=∠BCA=45°，∵△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE=45°，∴∠DCE=90°，在Rt△ABC中，AB=AC=3，∴BC==6，設(shè)BD=x，則CE=x，CD=6-x，∵AD=BD+2，∴AD=x+2，∴DE=（x+2），在Rt△CDE中，由勾股定理得，x2+（6-x）2=[（x+2）]2，∴x=，∴CD=，CE=，∴S△DCE=××=；(3)解：當(dāng)α=60°時(shí)，△ABC和△ADE都是等邊三角形，由（1）同理得，△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE=60°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=120°，∵∠ABC=60°，∴∠ABC=∠BCE=180°，∴AB∥CE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于G，CH⊥AB于H，∴GE=CH，∴CH=BH=×=，∴S△ABE=AB×CH=×3×=，∴△ABE的面積是一個(gè)定值，為．5．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：∠MBN＝30°，點(diǎn)A為射線BM上一點(diǎn)，且AB＝4，點(diǎn)C為射線BN上動(dòng)點(diǎn)，連接AC，以AC為邊在AC右側(cè)作等邊三角形ACD，連接BD．當(dāng)AC⊥BN時(shí)，求BD的長(zhǎng)．小明發(fā)現(xiàn)：以AB為邊在左側(cè)作等邊三角形ABE，連接CE，能得到一對(duì)全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，從而將問(wèn)題解決（如圖1）．請(qǐng)回答：(1)在圖1中，小明得到的全等三角形是△≌△；BD的長(zhǎng)為．(2)動(dòng)點(diǎn)C在射線BN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到AC時(shí)，求BD的長(zhǎng)；(3)動(dòng)點(diǎn)C在射線BN上運(yùn)動(dòng)，求△ABD周長(zhǎng)最小值．【答案】(1)ABD，ACE，；(2)BD的長(zhǎng)為；(3)＋4．【解析】（1）解：∵△ACD和△ABE是等邊三角形，∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AD＝AC，∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝4，∠MBN＝30°，∴AC＝2，∴BC＝，∴BD＝CE＝，故答案為：ABD，ACE，；（2）解：如下圖，作AH⊥BC于點(diǎn)H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，連接CE，∵AB＝4，∠MAN＝30°，∴AH＝2，BH＝，∵AC＝，∴HC＝，∴BC＝BH＋HC＝＋＝，∴CE＝，由（1）可知BD＝CE，∴此時(shí)BD的長(zhǎng)為；（3）解：如圖，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，延長(zhǎng)EB至F，使BF＝EB，連接AF交BN于C'，連接EC'，∵EC'＝FC'＝BD，∴此時(shí)BD＋AC'有最小值即為AF，∴此時(shí)△ABD周長(zhǎng)＝AD＋BD+AB＝AF＋AB最小，作AG⊥BE于G，∴AG∥BN，∴∠BAG＝30°，∴BG＝AB＝2，AG＝，∴GF＝BG＋BF＝2＋4＝6，由勾股定理得AF＝，∴此時(shí)△ABD周長(zhǎng)為：＋4．6．在中，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且．(1)如圖1，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，且與點(diǎn)E不重合，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)在（1）的條件下，如果，且，則求的值；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)12(3)【解析】(1)證明：根據(jù)題意可知．∵，∴，∴；(2)解：設(shè)A點(diǎn)到BC的距離為h，則，，∴，∴．∵，∴．∴在和中，，∴，∴，∴；(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．∵，∴．∵，，，∴．又∵AC=AB，∴，∴．∵，，∴為等腰直角三角形，∴．7．已知，如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形，且∠ABC＝∠AED＝90°；(1)如圖1，當(dāng)△ADE的AD邊與△ABC的AB邊重合時(shí)，連接CD，求∠BCD的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)A，B，D不在一條直線上時(shí)，連接CD，EB，延長(zhǎng)EB交CD于F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EB，垂足為點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DT⊥EB，垂足為點(diǎn)T，求證：EG＝FT；(3)在（2）的條件下，若AF＝3，DF＝2，求EF的長(zhǎng)．【答案】(1)22.5°(2)見(jiàn)解析(3)【解析】(1)解：∵△ABC和△ADE是兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形，∴AB=CB，∠BAC=∠BCA=45°，AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=（180°-45°）=67.5°，∴∠BCD=∠ACD-∠BCA=67.5°-45°=22.5°；(2)證明：∵△ABC和△ADE是兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形，∴AB=AE=DE，AD=AC，∠BAC=∠DAE=45°，∴∠ACD=∠ADC，∠ABE=∠AEB，∠CAD=∠BAE，∴∠FDA=∠FEA，∴∠ADC=∠AEB，∴∠DFT=∠DAE=45°，∵AG⊥EB，DT⊥EB，∴∠EGA=∠DTE=90°，∴△DFT為等腰直角三角形，∴DT=FT，∵∠DET+∠AEG=∠GAE+∠AEG=90°，∴∠DET=∠GAE，∴△DTE≌△EGA（AAS），∴DT=EG，∴EG=FT；(3)如圖3，過(guò)E作EH⊥EF，交FA的延長(zhǎng)線于H，由（2）可知，EG=FT，△DTE≌△EGA，∴ET=AG，∴FG=ET=AG，∴△AGF為等腰直角三角形，∴∠AFG=45°，∵EH⊥EF，∴∠FEH=90°，∴△FEH為等腰直角三角形，∴EF=EH，∵∠AED=∠FEH=90°，∴∠DEF=∠AEH，又∵DE=EA，∴△DEF≌△AEH（SAS），∴DF=AH=2，∴FH=AF+AH=3+2=5，∵EF2+EH2=FH2，∴EF2+EF2=52，解得：EF=（負(fù)值已舍去），即EF的長(zhǎng)為．8．如圖，△ABC與△ACD為正三角形，點(diǎn)O為射線CA上的動(dòng)點(diǎn)，作射線OM與射線BC相交于點(diǎn)E，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到射線ON，射線ON與射線CD相交于點(diǎn)F．(1)如圖1，點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CD上，求證：△OEC≌△OFD；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，E，F(xiàn)分別在線段BC的延長(zhǎng)線和線段CD的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)證明：OC+CE＝CF；(3)點(diǎn)O在線段AC上，若AB＝6，BO＝2，當(dāng)CF＝1時(shí)，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)3或5【詳解】（1）證明：∵△ABC與△ACD為正三角形，∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，∵將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠EAF＝60°，∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°，∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD，在△AEC與△AFD中，，∴△AEC≌△AFD（ASA），（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH∥BC，交CF于H，∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°，∴△COH是等邊三角形，∴OC＝CH＝OH，∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°，∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，OH＝OC，在△OHF與△OCE中，，∴△OHF≌△OCE（ASA），∴CE＝FH，∵CF＝CH+FH，∴CF＝CO+CE；（3）作BH⊥AC于H，∵AB＝6，AH＝CH＝3，∴BH＝AH＝3，當(dāng)點(diǎn)O在線段AH上，點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，∵OB＝2，∴OH＝＝1，∴OC＝3+1＝4，過(guò)點(diǎn)O作ON∥AB，交BC于N，∴△ONC是等邊三角形，∴ON＝OC＝CN＝4，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF，∴∠NOE＝∠COF，ON＝OC，∠ONC＝∠OCF，在△ONE與△OCF中，，∴△ONE≌△OCF（ASA），∴CF＝NE，∴CO＝CE+CF，

∵OC＝4，CF＝1，∴CE＝3，∴BE＝6﹣3＝3，當(dāng)點(diǎn)O在線段CH上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，同法可證：OC＝CE+CF，∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1，∴CE＝1，∴BE＝6﹣1＝5，綜上所述，滿足條件的BE的值為：3或5．9．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合，連接BD并延長(zhǎng)，在BD延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使AE=AB，連接CE．(1)若∠AED＝20°，則∠DEC＝度；(2)若∠AED＝α，試探索∠AED與∠AEC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；(3)如圖2，延長(zhǎng)EC到點(diǎn)H，連接BH2+CH2＝2AE2，連接AH與BE交于F，試探究BE與FH的關(guān)系．【答案】(1)45(2)∠AEC-∠AED=45°，證明見(jiàn)解析(3)BE⊥FH，BE=2FH．【解析】（1）解：∵AB=AC，AE=AB，∴AB=AC=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠ACE=∠AEC，∵∠AED=20°，∴∠ABE=∠AED=20°，∴∠BAE=140°，且∠BAC=90°，∴∠CAE=50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，∴∠AEC=∠ACE=65°，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=45°，故答案為：45；（2）猜想：∠AEC-∠AED=45°，理由如下：∵∠AED=∠ABE=α，∴∠BAE=180°-2α，∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，∴∠AEC=45°+α，∴∠AEC-∠AED=45°；（3）解：BE⊥FH，BE=2FH．理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴BC2=AB2+AC2=2AB2，∵AE=AB，BH2+CH2=2AE2，∴BH2+CH2=2AB2=BC2，∴∠BHC=90°，由（2）得：∠DEC=45°，∴∠HBE=45°，∴BH=EH，∵AB=AE，∴AH垂直平分BE，∴BE⊥FH，BE=2FH．10．在中，，，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且．(1)如圖1，點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，與在圖示位置時(shí)，求證：平分；(3)如圖3，若，，將圖3中的（從與重合時(shí)開(kāi)始）繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．【答案】(1)25°(2)見(jiàn)解析(3)16或或【解析】（1）解：如圖：，，，，，，，，；（2）證:，在與，，，，平分；（3）解：如圖：①，重合，②，，，，在中，，，在中，③，，，，在中，，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，旋轉(zhuǎn)、考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，勾股定理，，解題的關(guān)鍵是利用特殊三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．11．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．（1）如圖1，連接BE，求證：AD＝BE．（2）如圖2，連接AE，CF⊥AE交AB于F，T為垂足，①求證：FD＝FB；②如圖3，若AE交BC于N，O為AB中點(diǎn)，連接OC，交AN于M，連FM、FN，當(dāng)，求OF2+BF2的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②【詳解】證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∴∠ACB=90°，∵CD⊥CE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CF于H，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CF，交CF的延長(zhǎng)線于G，∵CF⊥AE，∴∠ATC=∠ATF=90°，∴∠ACT+∠CAT＝90°，又∵∠ACT+∠BCG＝90°，∴∠CAT＝∠BCG，在△ACT和△CBG中，，∴△ACT≌△CBG（AAS），∴CT＝BG，同理可證△DCH≌△ECT，∴CT＝DH，∴DH＝BG，在△DHF和△BGF中，，∴△DHF≌△BGF（AAS），∴DF＝BF；②如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥BC于K，∵等腰Rt△ABC，CA＝CB，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴AO＝CO＝BO，CO⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠OCF+∠OFC＝90°，∵AT⊥CF，∴∠ATF=90°，∴∠OFC+∠FAT＝90°，∴∠FAT＝∠OCF，在△AOM和△COF中，，∴△AOM≌△COF（ASA），∴OM＝OF，又∵CO⊥AO，∴∠OFM＝∠OMF＝45°，，∴∠OFM＝∠ABC，MF＝OF，∴MFBC，∴∠MFK=∠BKF=90°，∵∠ABC＝45°，F(xiàn)K⊥BC，∴∠ABC＝∠BFK＝45°，∴FK＝BK，∵，∴FK＝BF，∵S△FMN＝5，∴×MF×FK＝5，∴OF×BF＝10，∴OF×BF＝10，∵（BF﹣OF）2≥0，∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，∴BF2+OF2≥2×10＝20，∴BF2+OF2的最小值為20．12．如圖1，已知RtABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．(1)如圖1，若AB＝2AC，求AE的長(zhǎng)；(2)如圖2，若∠B＝30°，求CEF的面積；(3)如圖3，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝BD，連接PF，求證：PF+AF＝BC．【答案】(1)；(2)；(3)見(jiàn)解析【詳解】（1）∵AB＝2AC，AC＝8，∴AB＝16，∵∠BAC＝90°，∴BC＝，∵AE⊥BC，∴S△ABC＝，∴AE＝．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∠B＝30°，，,，,,,AE⊥BC，，設(shè)，則，，，，，，解得（3）證明：如圖3中，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥CD于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，連接DN．∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴DN＝CN，∴∠NDM＝∠NCM，∵AE⊥BC，∴∠ECF＋∠EFC＝∠MAF＋∠AFM＝90°，∵∠AFM＝∠EFC，∴∠MAF＝∠ECF，∴∠MAF＝∠MDN，∵∠AMF＝∠DMN，∴△AMF≌△DMN（ASA），∴AF＝DN＝CN，∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴∠NAP＝∠CDB＝135°，∵∠MAF＝∠MDN，∴∠PAF＝∠BDN，∵AP＝DB，∴△APF≌△DBN（SAS），∴PF＝BN，∵AF＝CN，∴PF＋AF＝CN＋BN，即PF＋AF＝BC．13．如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)．（1）如圖1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．①求證：BD＝CM；②若∠CMD＝90°，求的值；（2）如圖2，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的長(zhǎng)．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（2）【詳解】解：（1）①證明：如圖1，∵∠BAC＝∠DAM＝120°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAM，∵AB＝AC，AD＝AM，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴BD＝CM；②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝30°，由①知：△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°，∴∠DCM＝60°，∵∠CMD＝90°，∴∠CDM＝30°，∴CM＝CD，∵BD＝CM，∴；（2）解：解法一：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于G，過(guò)A作AF⊥BC于F，Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，∴EG＝CE＝，CG＝，∵AC＝AB＝，∴AG＝AC﹣CG＝，∵AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴AF＝AC＝，∵∠DAE＝∠FAC＝60°，∴∠DAF＝∠EAG，∵∠AFD＝∠AGE＝90°，∴△ADF∽△AEG，∴，即，∴DF＝，由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，∴，解得：EF＝2或﹣2（舍），∴DE＝DF+EF＝+2＝；解法二：如圖3，線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到AM，連接CM，EM，過(guò)M作MQ⊥BC于Q，由（1）同理得△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，∴∠MCQ＝60°，Rt△QMC中，CQ＝CM，設(shè)CQ＝x，則CM＝2x，QM＝x，∴EQ＝x﹣1，∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，∴∠DAE＝∠EAM，∵AD＝AM，AE＝AE，∴△ADE≌△AME（SAS），∴EM＝DE＝5﹣2x，由勾股定理得：EM2＝EQ2+QE2，∴（x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，解得：x＝，∴DE＝5﹣2x＝．14．如圖，與為等邊三角形，點(diǎn)O為射線上的動(dòng)點(diǎn)，作射線與直線相交于點(diǎn)E，將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到射線，射線與直線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段，上，求證：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在的延長(zhǎng)線上時(shí)，E，F(xiàn)分別在線段的延長(zhǎng)線和線段的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)寫(xiě)出，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）點(diǎn)O在線段上，若，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析；（3）1或3或5或7【詳解】（1）證明：如圖1中，∵與為正三角形，∴，，∵將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴，，∴，∴，且，，∴在與中，，∴．（2）解：，理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)O作，交于H，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，且，∴在和中，，∴，∴，∴，∴．（3）解：作于H，∵，，∴，如圖（1）中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)F在上，點(diǎn)E在線段上時(shí)，∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)O作，交于N，∴為等邊三角形，∴，，∴，且，，∴在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；如圖（2）中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段上時(shí)，同法可證：，∴，∴；如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)F在線段上，點(diǎn)E在線段上時(shí)，同法可證：，∵，，∴，∴；如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)F在線段延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段上時(shí)，同法可知：，∴，∴，綜上，的值為1或3或5或7．15．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，連接DE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F．（?。┣笞C：CE＝AF；（ⅱ）試探究線段AF，DE，BE之間滿足的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在△BDC內(nèi)部時(shí)，連接AE，若DB＝5，DE＝3，，求線段CE的長(zhǎng)．【答案】（1）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ），理由見(jiàn)解析；（2）【詳解】證明：（1）（?。?，，，，，，，，，在與中，，，；（ⅱ）連接，，，，是等腰直角三角形，，，，，在中，，．（2）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作交于，，，，，，，，，，，，，，在與中，，，在中，，，，，在中，，，．16．【背景】在△ABC中，分別以邊AB、AC為底，向△ABC外側(cè)作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°．【研究】點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，連接DM，EM，研究線段DM與EM的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．（1）如圖（1），當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，延長(zhǎng)EM到點(diǎn)F，使得MF＝ME，連接BF．此時(shí)易證△EMC≌△FMB，D、B、F三點(diǎn)在一條直線上．進(jìn)一步分析可以得到△DEF是等腰直角三角形，因此得到線段DM與EM的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖（2），當(dāng)∠BAC≠90°時(shí)，請(qǐng)繼續(xù)探究線段DM與EM的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）【應(yīng)用】如圖（3），當(dāng)點(diǎn)C，B，D在同一直線上時(shí)，連接DE，若AB＝2，AC＝4，求DE的長(zhǎng)．【答案】（1）DM⊥EM，DM＝EM；（2）DM⊥EM，DM＝EM；見(jiàn)解析；（3）DE＝＋【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)EM到點(diǎn)F，使得MF＝ME，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，又∵∠BMF＝∠CME，∴△ECM≌△FBM（SAS），∴BF＝CE，∠FBM＝∠ECM，∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∴DF∥EC，∴∠DBC＋∠ECM＝180°，∴∠DBC＋∠FBM＝180°，∴點(diǎn)D，點(diǎn)B，點(diǎn)F共線，∵AE＝CE，∴BF＝AE，∵AD＝DB，∴DF＝DE，∴△DEF是等腰直角三角形，又∵EM＝FM，∴DM⊥EM，DM＝EM；（2）如圖2，延長(zhǎng)EM到F，使FM＝EM，連接BF，DF，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△EMC和△FMB中，，∴△EMC≌△FMB（SAS），∴BF＝CE，F(xiàn)M＝ME，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴DA＝DB，EA＝EC，∠ABD＝∠BAD＝∠ACE＝∠CAE＝45°，∴FB＝EA．∴∠DAE＝∠BAD＋∠CAE＋∠BAC＝90°＋∠BAC，又∠FBM＝∠ECM，∴∠DBF＝360°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠FBM＝360°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣（∠ACB＋∠ACE）＝90°＋∠BAC，∴∠DAE＝∠DBF，在△DAE和△DBF中，，∴△DAE≌△DBF（SAS），∴DF＝DE，∠BDF＝∠ADE，∵∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，又∵EM＝FM，∴DM⊥EM，DM＝EM；（3）如圖3，取BC中點(diǎn)M，連EM，BE，設(shè)AB與ED交于點(diǎn)N，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，AB＝2，AC＝4，∴AB＝AD，AC＝AE，∴AB＝2，AE＝CE＝2，在（