2021年高考數(shù)學(xué)真題逐題揭秘第2題 復(fù)數(shù)的兩大熱點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的運(yùn)算（原卷版）

第2題復(fù)數(shù)的兩大熱點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的運(yùn)算

一、原題呈現(xiàn)

【原題】已知z=2-i,則z(2+i)=()

A.6-2iB.4-2ic.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

解法一：因?yàn)閦=2-i,所以』=2+i，所以z1+i)=(2—i)(2+2i)=4+4i—2i—2i?=6+2i

故選C.

解法二：因?yàn)閦=2-i，z(z+i)=|z『+zi=5+2i+l=6+2i,故選C.

【就題論題】去年新高考試卷復(fù)數(shù)考查的是復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查內(nèi)容單一，今年把共拆復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)

合在一起考查，背景有所創(chuàng)新，為降低難度，把除法運(yùn)算改為乘法運(yùn)算，可見新高考試卷入手依然比較容易.

二、考題揭秘

【命題意圖】本題考查共規(guī)復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容易.

【考情分析】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識(shí)點(diǎn)，一般以容易題面目呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的位置上，考查熱點(diǎn)一

是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義,如復(fù)數(shù)的模、共聊復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義等,二是復(fù)數(shù)的加減乘除

運(yùn)算.

【得分秘籍】

1.解決復(fù)數(shù)概念問題及復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)注意的問題

(1)復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)的相等，復(fù)數(shù)的模，共軌復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)概念有

關(guān)的問題時(shí),需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即為(〃力GR)的形式，再根據(jù)題意求解.

(2)F/Y'(其中。/611),團(tuán)表示復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.e—22|表示兩點(diǎn)的距離,即表示

復(fù)數(shù)Z1與Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離.

2.求解復(fù)數(shù)運(yùn)算問題的常見類型及解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作

另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共加復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡形式.

(3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，一般化為R)的形式，再結(jié)合相關(guān)

定義解答.

（4）復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，一般化為。+歷5/wR）的形式，再結(jié)合

復(fù)數(shù)的幾何意義解答.

（5）復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算.分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，要先算乘除，后算加減，有括

號(hào)要先算括號(hào)里面的.

【易錯(cuò)警示】

⑴對(duì)于復(fù)數(shù)。+歷，如果（或沒有明確界定MGR）廁不可想當(dāng)然地判定“為CR.

（2）易誤認(rèn)為），軸上的點(diǎn)與純虛數(shù)一一對(duì)應(yīng)（注意原點(diǎn)除外）.

（3）對(duì)于a+/?i（a,Z?eR）為純虛數(shù)的充要條件，只注意了a=0而漏掉了厚0.

（4）進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算，誤認(rèn)為i?=1,導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤

（5）設(shè)2=。+/（a,/?eR），注意z=a-bi,zz=a2+從，不要出現(xiàn)z=-a+Ai,zz=的錯(cuò)誤

三、以例及類

（以下所選試題均來自新高考I卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）

一、單選題

I.（2021廣東省珠海市第二中學(xué)高三6月熱身）若4=署（〃€A）是純虛數(shù),z?滿足Z2（a+l+zJ=5^J

復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（2021江蘇省南京師范大學(xué)《數(shù)學(xué)之友》高三下學(xué)期一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4,（i是虛數(shù)單位），

則|z|等于（）

A.石B.5C.用D.7

3.（2021江蘇省南通學(xué)科基地高三下學(xué)期高考全真模擬（四））已知，?是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=^~-（?>0）,

1+萬

若|z|=3,則。的值為（）

A.1B.3C.6D.9

4.（2021湖南省衡陽市第八中學(xué)高三下學(xué)期考前預(yù)測（二））已知復(fù)數(shù)i-2是關(guān)于X的方程

f+px+q=0（p,qGR）的一個(gè)根，則加i+q|=（）

A.25B.5C.向D.41

5.（2021江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三下學(xué)期最后一模）已知z（2+i）=3+4i,其中i為虛數(shù)單位，記I為z的共物復(fù)

數(shù)，則同=（

)

A.叵B.非C.叵D.公

353

6.（2021山東省淄博市高三三模）已知zeC,且|z—|=l,i為虛數(shù)單位，則|z-1］的最大值是（）

A.2B.夜+1C.V2-1D.V2

7.（2021福建省廈門市高三5月二模）已知i為虛數(shù)單位,a+3i=T+初（a,8eR）廁|。+4［=（）

A.5B.7C.9D.25

8.（2021湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三下學(xué)期高考熱身訓(xùn)練）已知復(fù)數(shù)滿足|z+i|=|z-i|,則|z-24的最小值

為（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2021福建省廈門市雙十中學(xué)高三高考熱身）已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為32（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）,3彳與實(shí)軸正

向的夾角為120。,且復(fù)數(shù)Z的模為2,則復(fù)數(shù)2為（）

A.1+eB.2C,-1-V3zD,-1+73/

10.（2021湖北省黃岡中學(xué)高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試）已知I是復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)，若z+2l在復(fù)平面上的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，則z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.（2021廣東省高州市高三二模）已知復(fù)數(shù)z滿足：i）（l+2i）=i3（其中i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的虛

部為（）

4.4.44

A.---1B.-iC.---D.一

5555

12.（2021河北省滄州市高三三模）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足z（2+i）=2-i,則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

13.（2021河北省唐山市高三三模）已知i是虛數(shù)單位,aeR,若復(fù)數(shù)二三為純虛數(shù)，則。=（）

l-2z

八廠11

A.—2B.2C.---D.一

22

二、多選題

14.（2021江蘇省泰州市高三下學(xué)期考前練筆）設(shè)z為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)z、［對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、Q,坐標(biāo)

原點(diǎn)為。，則下列命題中正確的有（）

A.當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí),P,O,Q三點(diǎn)共線

B.當(dāng)z=l+i時(shí),△POQ為等腰直角三角形

C.對(duì)任意復(fù)數(shù)Z,而W的

D.當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，麗=而

15.（2021湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三下學(xué)期二模）設(shè)4，Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）

A.若[Z]—z?|=0,則Z]=Z]

B.若Z1=z2,則4=z2

C.若閔=區(qū)|,則Z[F=Z2?Z2

D.若聞=%|,則z；=z；

16.（2021江蘇省南通市高三下學(xué)期5月四模）下列結(jié)論正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z滿足z+2=0,則z為純虛數(shù)

B.若復(fù)數(shù)z滿足則zeR

Z

C.若復(fù)數(shù)Z滿足z?30,則zeH

D.若復(fù)數(shù)Z1,z2滿足z；+z；=0,則zt=z2=0

17.（2021山東省臨沂市高三二模）1487年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公

式8嗔cosd+isin。,這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)中有非常重要的地位，即著名的“歐拉公式